32_PiskunovT1 (523111), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Обозначим че! рез1объем внутреннего цилиндра, тогда1=пКзН. Это— Рис. 175. функция двух переменных )7 и Н. Если увеличим Я и Й па й, то фуикция 1 получит приращение 51! ио это и будет искомый объем и, т. е. о=51. На основании соотношения (1) имеем приближенное равенство о щ а1, или о ш — аЯ+ — пН. Но так как — =2пКН, — =п)(з, йК=ЬН=й, то д1 д1 д1 дН д)т ' дН получаем о щ п(2КНл+ К%). (6) Сравнивая результаты (5) и (6), видим, чго оии отличаются иа величину п(нй+2гслз+йз), состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительно й.
Применим зги формулы к числовым примерам. Пусть )7=4 см, Н=20 см, а=0,1 см, Применяя (5), йолучим точно о=п(2 4 20 О,!+4'0,1+20 0,1з+2 4 0,1з+0,1э)=17,881п, Применяя формулу (6), получим приближенно в ю и (2. 4 20 0,1+4з 0,1) = 17,6п. Следовательно, приближеиизя формула (6) дает ответ с погрешностью, мень- 0,3п шей О,зп, что составляет 100- — ' е4, т. е. менее 2е4 измеренной величииы. 17,881п й 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях Пусть некоторая величина и является функцией величин х, у, г, ..., 1: и = 1(х, у, г, ..., 1), причем, определяя каким-то способом значения величин х, у, г, ...
...> 1, МЫ дОПуСКаЕМ ПОГрЕШНОСтИ Гзл, Лу,..., о(. ТОГда ЗиаЧЕНИЕ и, вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с Функции нвсколькнх наряженных (гл. чш 246 6. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС катет Ь=121,56 м, угол А = 25'21'40", пря ятом максимальная абсолютная погрешность прн определенна катета Ь равна (аьь)=0,05 м, максимальная абсолютная погрешность прн определении угла А равна 16*А)=!2". Определить максямальную абсолютную погрешность прн вычнсленнн катета а по формуле а=ь16 А, Решение, По формуле (2) находим (ьча1 =116 А)16'ь1+-а=4) — 16'А(, Подставляя соответствующие значения (н помня, что (бчА1 нужно выразить в радианах), пплучнм (д а1=1225'21'40" 0,05+,25.'21,40„° ~ 65 — — 0,0237+ 0,0087 = 0,0324 м, 121,56 12 Отношение погрешности Лх некоторой величины к приближенному значению х этой величины называется относительной погрешностью величины.
Будем его обозначать бх: бх= х Максимальной относительной погрешностью величины х называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине х и обозначается (бах): (3) Для оценки максимальной относительной погрешности функции и разделим все числа равенства (2) на 1и1=11'(х, у, г, ..., 1)~: ~ д( ) ~-"-1- = — ((сачх~ = ~ ~ ~1Лчу1+... +~ — 1Лч1~, (4) но ду — =д-1п~ 71, д дх Поэтому равенство (3) д( д( 7 =д 1~!П." ~, 1г1й можно переписать так и~=! д„!п11фй'х)+~ д 1п11фй'У!+ " ... + ~ — 1и ) ) ( ~ ~ 6*1 ~..., (6) или коротко ) 6'и ~ = ) Л'1п ~ 7 ~ ).
(6) Из формул как (3), так и (6) следует, что максимальная относи- тельная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции. й !е) ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ Из формулы (6) следуют правила, применяемые в приближенных вычислениях. 1. Пусть и=ху. Пользуясь результатами примера 3, получим (Ььи ~ = ' * + * = — + =16'х)+16*у), ) у) ) Льх) )х) ) 6*у) ! Льх( )/теу) )ху) (ху! !х! (у) т.
е. максимальная относительная погрешность произведения равняется сумме максимальных относительных погрешностей сомножителей. 2. Если и = —, то, пользуясь результатами примера 4, находим ~ 6'и ~ = ~ Ь*х ) + ) Ь*у ). Замечание. На основании примера 2 следует, что если и=х — у, то )Ь'и(= * .
Если х и у близки, то мо(6*х(+(а'у! )х — у) жет оказаться, что ~ Ь'и ~ будет очень велика по сравнению с определяемой величиной х — у. Это обстоятельство следует учитывать при производстве вычислений. П р и м е р 7. Период колебания маятника равен Т=2я $/ //у, где1 — длина маятника, у — ускорение силы тяжести, Какую относительную погрешность в определении Т мы допустим но атой формуле, принимая и ш 3,14 (с точностью до 0,005), 1=- ! м (с точностью до 0,01 и), 8=9,8 м/се (с точностью до 0,02 м/са). Решение.
По формуле (6) максимальная относительная погрешность ! ! равна ) 6'Т ) = ( Л* )п Т ). Но 1и Т = 1п 2+ !п и+ — )п 1 — — 1п у. 2 Вычислим ) /!е 1пТ(. Учитывая, что и ш 3,14, Лая=0,005, 1= ! и, Ле/= =О,О! м, 8=9,8 м/с', /хая=0,02 м/се, получим; Лап Л"1 Л'д 0,005, 0,01 0,02 а* 1п Т вЂ” — + — + — — -! — + — — 0,0076. 21 28 3,14 2 2.
9,8 Итак, максимальная относительная погрешность равна ЬьТ вЂ” 0 0076 — 0 76 од й 1О. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции Предположим, что в уравнении г=Р(и, о) и и о являются функциями независимых переменных х и у: и = ср (х, у), о = ф (х, у). (2) В этом случае г есть сложная функция от аргументов х и у. Конечно, г можно выразить и непосредственно через х, у, а именно: г=й(<р(х, у), ф(х, у)). (3) Пример 1.
Пусть а=иана+и+1, и=хе+ух, о=ах+а+1, тогда г=(хе+уа)а (ах+я+ 1)а+(ха+ус)+1 е ункцин наскольких пвнвмвнных !гл. тц! Ьз= ди Ьхи+ д, Ь~о+уаЬ~и+уаЬ~о дР дР Разделим все члены этого равенства на Лх: Ьг дР Ь„и дР Ь„о Ь„и Ьхо х 1 х 1,.: 1, х Ьх ди Ьх до Ьх т Ьх а Ьх Если Ьх — О, то Л„и — О и Ь„о — О (в силу непрерывности функций и и п). Но тогда 7, и у, тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при Лх О, получим Ьг дг . Ь„и ди . Ьхо до 1пп — = —, 1!ш —" = —, Иш дх,.о Ьх дх ' дк-~,о Ьх дх дк о Ьх дх 11ш у =О, 1пп у =О дх- о дх- о и, следовательно, дг дР ди 'дР до — = — — + — — ° (4) дх ди дх до дх ' Если бы мы дали приращение Лу переменной у, а х оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы дг дР ди дР до — = — — + — — ° ду диду до ду ' Пример 2 г=1п(из+о), и=ел~У', о=ха+у; дг 2и дг 1 ди и'+о ' до и'+о ' ди, до до — =2уе"+У', — =2х, ду * дх ' ду ди а — =е" +У дх Используя формулы (4) и (4'), находим дг 2и а 1 2 — ехьга+ 2х — (иех+Уа+х), дх из+о из+о иа+ о — = — 2уе" +У + — = — (4иуех+У'+!), дг 2и 1 1 ду из+о иа+ о и" + о В последние выражения вместо и и о необходимо подставить ел+Уз н ха+у соответственно.
Предположим, что функции Р(и, о), !р(х, у), зр(х, у) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам и дг дг поставим задачу: вычислить — и —, исходя из уравнений (1) и дх ду ' (2) и не пользуясь уравнением (3). Дадим аргументу х приращение Ьх, сохраняя значение у неизменным. Тогда в силу уравнения (2) и и о получат приращения Ь„и и Л„о.
Но если и и о получают приращения Л„и и Л„о, то и функция а=Г(и, о) получит приращение Лг, определяемое формулой (5') 2 7: 9 1О] ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ Для случая большего числа переменных формулы (4) и (4') естественным образом обобщаются. Например, если го=к" (г, и, о, з) есть функция четырех аргументов г, и, о, з, а каждый из ннх зависит от х и у, то формулы (4) и (4') принимают вид дв дв дг дв ди дв до дв да — = — — + — — + — — + — — в дх дг дх ди дк до дк дг дх ' дв дв дг дв ди дв до дв дэ — = — — + — — + — — + — — ° ду дг ду ди дд й~ дд да ду ' Если задана функция г =г"(х, у, и, о), где у, и, о в свою очередь зависят от одного аргумента х: у=~(х), и=1р(х), о=ф(х), то, по сути дела, г является функцией только одной перемендг ной х и можно ставить вопрос о нахождении производной —.
дх ' Эта производная вычисляется по первой из формул (5): дг дг дх дг ду дг ди дг до — = — — + — — + — — + — —: дх дк дх ду дк ди дх до дх ' но так как у, и, о — функции только одного х, то частные производные обращаются в обыкновенные; кроме того, — =1; дх дх поэтому Ыг дг дг ду дг ди дг до — = — + — — + — — + —— ах дк ду дх ди дх й~ дх Эта формула носит название формулы для вычисления полной дг / дг т производной — 1!в отличие от частной производной — ) . дх ! дх) ' Пример 3.
г=ха+ уху, у=в]о х, дд дк ' ду 2 )Гу ' дх Формула (б) дает а этом случае следующий результат: дг дг дг ду 1 ! — = — + — — =2к+= соа х =2х+ соа х, дх дх дд дх 2ф" » 2фв]их Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами (1) и (2). дг дг Подставляем выражения — и —, определенные равенствами (4) и (4'), в формулу полного дифференциала с(г = — г]х+ — 1]у. дг дг дх ду (гл. юп ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Получаем Произведем следующие преобразования в правой части: дР / ди ди 1 дР Г до ею е(г = — ~ — е(х+ — е(у) + — ( — е(х+ — е(у) .
(7) ди (дк ду У до 1 дх ду Но — е(х+ — е(у = е(и ди ди дх ду де до — е(х+ — е(у = 1(о. дх ду (8) равенство (7) с учетом равенств (8) можно переписать так: д +д дР дР (9) ди ди или е(г = — е(и + — е(п. дг дг ди до (9') Сравнивая (6) и (9'), можем сказать, что выражение .полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т. е. форма дифференциала инвариантна, являются ли и и о независимыми переменными илн функциями независимых переменных.
Пример 4. Найти полный дифференциал сложной функции а=изот, и=хе з1п у, о=кзее. Р е ш е н и е. По формуле (9') имеем да = 2иоз ди+Зиьиз до=2иыз (2х з1п у дх+хз соз у ду)+Зиеыз (Зк ех дх+ кает ду). Последнее выражение можно переписать и так: дг=(2иоз. 2х з1п у+Зиеоз Зхзе") дх+(2ыеехз соз у+Зизоехзее) ду = — дх+ — ду, дх ду й 11. Производная от функции, заданной неявно Докажем следующую теорему, е) В 1 11 гл. Н1 мы решали задачу о лифференцированиинеявнойфун1гции одной переменной.
Там мы рассматривали отдельные примеры и не нашли общей формулы, дающей производную от неявной функции, а также не выяснили условйй существования атой производной, Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функции одной переменной *). Пусть некоторая функция у от х определяется уравнением Р(х, у) =О. л м) пгоизводнля от функции, злдлннон нвявно 25! Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
