32_PiskunovT1 (523111), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Действительно, при перемещении вдоль луча «р= О имеем Л« = 2 (ЛР)'[А+2а, ЛР1 > О; при движении вдоль этого,луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча«р=ф, такого, что тц«р,= — А,«В, то прн А > О будет Л[= ~ (Лр)'[~~ ~ щ ' р,+2«х,Лр~ < О; при движении вдоль этого луча функция убывает. 3") Пусть АС вЂ” В'< О, А < О. В этом случае функция тоже н е и м е е т н и м а к с и м у м а, н и м и н и м у м а. Исследование проводится так же, как и в случае 3'. 3'") Пусть АС вЂ” В*< О, А=О. Тогда ВчьО, и равенство (2) можно переписать в виде Л7 = — (Лр)'[з«п «р (2В соз ф+ С з«п «р) + 2а, Лр1.
При достаточно малых значениях «р выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет знак, так как оно близко к 2В, а множитель е»ункции нескольких неременных (гл. шн з)п ф меняет знак в зависимости от того, будет ли ф больше нуля или меньше нуля (после выбора 1р > 0 и у< 0 мы можем р взять настолько малым, что 2оз» не будет изменять знак всей квадратной скобки). Следовательно, и в этом случае Л/ меняет знак при различных ~р, т. е.
при различных Лх и Лу, следовательно, и в этом случае нет ни максимума, ни минимума. Таким образом, каков бы ни был знак А, имеем всегда следующее положение: Если АС вЂ” В'(0 в точке (х„у,), то функция не имеет в этой точке ни максимума, ни минимума. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например, форму седла (см. выше рис. (87). Говорят, что функция имеет в этой точке»иинимакс.
4) Пусть АС вЂ” В'= О. В этом случае на основании формул (2) и (3) сделать заключение о знаке Л/ нельзя. Так, например, при Ать О будем иметь 1 (о )г( (А соз»р+ВЗ1п»р) ( 2а д — Р ь1 А а Р)» при 1р = агс(~ ( — А/В) знак Л7' определяется знаком 2сс„здесь требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким-либо иным способом). Таким образом, теорема 2 полностью доказана. П р имер 3.
Исследовать на максимум и минимум функцию а= ха — ху+уз+Зх — йу+1. Решение. !) Находим критические точки: дг дг — = 2х — у+ 3, — = — х+ 2у — 2. дх ду Решая систему уравнений 2х †у+3,\ х+2у — 2=0, 1 получаем х= — 4/3, у=1/3. 2) Находим производные второго порядка в критической точке (-4/3; 1/3) я определяем характер критической точки: дзг дгг Рг А= — =2, В= — — 1. С= — =2 дхз ' дх ду ' дуа АС вЂ” Вз = 2.
2 — ( — 1) а = 3 ) О. Следовательно, в точке ( — 4/3; 1/3) данная функции имеет минимум, а именно: ге1а = 4/3. Пр имер 4. Исследовать ца максимум и минимум функцию г = х'+ у' — Зху. МАКСИМУМ И МИНИМУМ $ !71 271 Решение, 1) Найдем критические точки, пользуясь необходимыми ус. ловиями экстремума: дг — =Зхз — Зу=О, дх — Зуг — Зх = О. дг ду Отсюда получаем две критические точки: ад=1, д,=! и х, О, у,=О. 2) Найдем производные второго порядка: д'г свг дэг — =бх, — = — 3, — =6у. дхз дх ду * ду' 3) Исследуем характер первой критической точки: дпг 1 дэг 1 дзг ~ А= — =6, В= — = — 3, С= — ~ =6! дхз ~х=! ' даду~а ! ' дуэ ~х=! ум ! н ! э=! АС вЂ” Вз = 36 — 9 =27 > 0; А > О.
Следовательно; в точке. (1; 1) данная функции имеет минимум, именно! гм!и = — 1 ° 4) Исслндуем характер второй критической точки М,(0, 0)! А=О, В= — 3, С=О; АС вЂ” Вз= — 9 < О. Следовательно, во второй критической точке функция не имеет нн максимума, нн минимума (мнннмакс).
Пр имер 6. Рааложнть данное положительное число а на трн положительных слагаемых так, чтобы нх произведение имело наибольшее значение. Решенке. Обозначим слагаемые! первое через х, второе через у; тогда третье будет а —.«-у. Произведение этих слагаемых равно и=ху(а — х — д). По условию задаян х>0, у>О„а — х — у > О„т.е. х+у < а, и > О, Следовательно, х и у могут принимать значения, принадлежащие области, ограниченной прямыми х=О, у=О, х+у=а. Найдем частные производные функции и: ди ди — =у (а — 2х — у), — =ах (а — 2у — х».
дх ду Приравнивая производные нулю, получим систему уравнений у(а — 2х — у) =О, х.(а — 2у — х) =О. Решая зту систему, находим критические точки: х! =О, уг = О, М, (О, 0); хп =О, уп =а, Мп(0, а); хэ=а1 уз=О, Мз (а, О); хп =а/3, уп =а/3, Мп(а/3, а/3».
Первые три точки лежат на границе области, последняя — внутри. На границе области функция и равна нулю, а внутри области она положительна; следовательно, в точке (а/3, а/3) функция и имеет максимум (так как это единственная экстремальная точка внутри треугольника). Максимальное значение произведения есть аз/ а а'! аз импх= — — ~а — — -/!= —. 3 З ~ 3 3~=27' (гл. угн ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Проведем исследование точными условиями.
Найдем дзи — = — 2у дх» характера критических точек, пользуясь достачастные производные второго порядка функции и: о"и даи дх ду — =а — 2х — 2у, — = — 2х. ду» = дзи д»и ови В точке М,(0, 0) имеем А= — =О, В= — =а, С= — а=о, АС вЂ” В»= дхз ' дх ду ' дуа = — аа < О. Следовательно, в точке М, нет ни максимума, ни минимума. д'и д»и д»и В точке М (О, а) имеем А= — = — 2а, В== — а, С= — =О, АС— » дха * дх ду ' ду» — В'= — аа < О. Значит, в точке М» тоже нет ни максимума, йи минимума. В точке Мз(а, 0) имеем А=О, В= — а, С= — 2а, АС вЂ” В»= — а» > О. /а а~ И в точке Мз нет ни максимума, ни минимума. В точке М» ~ —, — ) имеем '1 3' 3) 2а а 2а ., 4аа аа А= — —, В= — —, С= — —, АС вЂ” В»= — — > О, А < О.
Следова- 3' 3' 3' 9 9 тельно, в точке М» имеем максимум. Замечание. Теория максимумов и минимумов функции нескольких переменных является основой для одного метода получения формул для изображения функциональных зависимостей на основании экспериментальных данных. Этот вопрос изложен в 9 19. В 18. Максимум н минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) при условии, что х и у связаны уравнением »р(х, у) =О.
(2) Во миогех задачах на разыскание наибольших и наименьших значений функции вопрос сводится к разысканию максимумов и минимумов функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями (например, они должны удовлетворять данным уравнениям).
Рассмотрим, например, такую задачу. Из данного куска жести площадью 2а надо сделать закрытую коробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший обьем. Обозначим длину, ширину и высоту коробки через х, у, г. Задача сводится к разысканию максимума функции о=хуг п-ри у с л о в н и, что 2ху+ 2хг + 2уг = 2а. Здесь мы имеем задачу на условном» экстремум: переменные х, у, г с вяз а ны условием 2ху+2хг+2уг=2а. В настоящем параграфе мы рассмотрим методы решения таких задач. Рассмотрим сначала вопрос об условном экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны од ни м условием.
Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции и=у(х, у) (1) условнъ|а мАксимумы и минимумы $ |а| При наличии условия (2) из двух переменных х и у независимой будет только одна, например х, так как у определяется из равенства (2) как функция от х.
Если бы мы разрешили уравнение (2) относительно у, то, вставляя в равенство (1) вместо у найденное выражение, получили бы функцию одной переменной х и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум и минимум функции одной независимой переменной х. Но можно решить поставленную задачу, не разрешая уравнения (2) относительно х или у.
При тех значениях х, при которых функция и может иметь максимум или минимум, производная от и по х должна обращаться в нуль. Из (1) находим —, помня, что у есть функция от х: ди дх ' ди д1 д1 ну — = — + — —. их дх ду дх' Следовательно, в точках экстремума (3) Из равенства (2) находим — + — — =О. д|р д|р ду (4) дх ду дх Это равенство удовлетворяется для всех х и у, удовлетворяющих уравнению (2) (см. $ 11). Умножив члены равенства (4) на неопределенный пока коэффициент А и сложив их с соответствующими членами равенства (3), получим или (5) Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберем Х так, чтобы дли значений х и у, соответствующих экстремуму функции и, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль *): +Х вЂ” =О.
Но тогда при этих значениях х и у из равенства (5) следует равенство — +Л вЂ” О. ') Дли определенности будем предполагать, что а критических точках — ~ о. д|р ду ~гл. юц оункции нескольких паеаманиых Таким образом, получается, что в точках экстремума удовлетво. ряются три уравнения: — +Л вЂ” =О, дг' д(р дх дх — "+ Л вЂ”,=О, <р (х, у) = О (6) с тремя неизвестными х, у, Л. Из этих уравнений определяем х, у и Л, которое играло только вспомогательную роль и нам в дальнейшем не требуется. Из вывода следует, что уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума, т.
е. в точках экстремума удовлетворяются уравнения (6). Но не при всяких х и у (и Л), удовлетворяющих уравнениям (6), будет иметь место условный экстремум. Требуется дополнительное исследование характера критической точки. При решении конкретных задач иногда удается установить характер критической точки на основании существа задачи. Заметим, что левые части уравнений (6) суть частные производные функции г (х, у, Л) = ~ (х, у) + Ьр (х, у) по переменным х, у, Л. Таким образом, для того чтобы найти значения х и у, удовле. творяющие условию «2), при которых функция и = р(х, у) может иметь условный максимум или условный минимум, нужно составить вспомогательную функцию (7), приравнять нулю ее производные по х, у и Л и из полученных трех уравнений (6) определить искомые х, у (и вспомогательный множитель Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
