32_PiskunovT1 (523111), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Так, например, для эллипса ха уа +Ь» 1 О а» очевидно, ха у» дР 2х дР 2у Р(х у) =- — е+ — — 1 ае Ь» ' дх аа ' ду Ьа' дР дР производные — х и — обращаются в нуль только при х=О, у= О, но эти значения х и у не удовлетворяют уравнению эллипса. Следовательно, эллипс не имеет особых точек. Не предпринимая подробного исследовании поведения кривой вблизи особой точки, рассмотрим несколвко примеров кривых, имеющих особые точки. Пример 1.
Исследовать особые точки кривой у' — х (х — а)'=0 (а > 0). Решение. В данном случае Р(х, у)=уа — х(х — а)а, поэтому дР дР— =(х — а) (а — Зх), — = 2у. дх ду= Решая совместно три уравнения дР дР Р(х, у)=0, — =О, — =О, дх ' ду находим единственную удовлетворяющую им систему значений х и у; ха=а, уз=о. Следовательно, точка М,(а, 0) есть особая точка крявой. Исследуем поведение кривой вблизи особой точки и построим кривую.
Перепишем данное уравнение в виде у= ~ (х — а) у' х. Из этой формулы следует, что кривая: !) определена лишь прн х)0; 2) симметрична'относительно (гл. чш функции нескольких переменных оси Ох; 3) пересекает ось Ох в точках (О, 0) н (а, 0). Последняя точка, как было указано, является особой. Мы рассмотрим сначала ту часть кривой, которая соотвектвует знаку +1 у=(х — а) у х, Найдем первую и вторую производные от у по х: Зк — а Зх+а У = — ° У == ° 2)~х 4хУх Прн х=О имеем у'=ее.
Следовательно; кривая касается оси Оу в начале координат. При х=а/3 имеем у'=О, у" > О, т. е. при к=а~3 функ- 2а /а ция у имеет минимум: у= — — у —. На отрезке 0 < х < а имеем у < 0; ЗУ З при к > а/3 будет у' > 0; при х — ь со будет у — е ез.
При к=а имеем у' = = у'а, т. е. в особой точке Ме(а, 0) ветвь кривой у=(х — а) у'х имеет касательную у= у' а (х — а). Так как вторая ветвь кривой у= — (к — а) у~ к симметрична с первой относительно оси Ок, то, следовательно, в особой точке кривая имеет и вторую касательную (ко второй ветви) у= — )/а (х — а). Через особую точку кривая проходит дважды. Такая точка называетси Заковой лычкой.
Рассмотренная кривая изображена на рис. 191. Пример 2. Исследовать на особые точки кривую (полукубическая парабола) уа — ха=О. Решен не. Координаты особых точек определяются из системы уравнений: уз — ха=О, Эхе=О, 2У=О. Саедовательно Ме (О, 0) есть особая точка. Перепишем данное уравнение в виде у= ~ у хз. Для построения кривой исследуем сначала ветвь, которой в уравнении соответствует знак плюс; ветвь кривой, соответствующая знаку минус, симметрична с.первой относительно аси Ок. Функция у определена только при х ~ -"ьО, нвотрицательна и возрастает при возрасинии х.
Рис. 192. Рис. 191. найдем первую и вторую производные от функции у= Р хз1 3 3 1 у'= — у х у'= — =, 2 ' 4 Ук' ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ 283 При х=0 имеем у=О, у'=О. Следовательно, рассматриваемая ветвь кривой имеет в начале координат касательную д=О. Вторая ветвь кривой у= — у хе также проходит через начало координат и имеет ту же касательную у=О. Таким образом, две различные ветви кривой встречаются в начале координат, имеют одну н ту же касательную и расположены от касательной по разные стороны. Такая особая точка называется шочхой гавроша лгргого рода (рис. 192). 3 а меч ание.
Кривую уз — ха=О можно рассматривать как предельный случай кривой у'=х(х — а)з (рассмотренной в примере 1), когда а — ~0, т. е. когда петля кривой стягивается в точку. П р и м е р 3. Исследовать кривую (у — хз)з — х'=О. Р е ш е н не. Координаты особых точек определяются системой уравнений — 4х(у — хз) — 5хг=О, 2(д — хг)=0, которая имеет единственное решение: х=О, у=О. Следовательно, начало координат есть особая точка. Перепишем данное уравнение в виде у=ха ш у' х'. Из етого уравнения следует, что х может принимать значения от 0 до +со. Определим производные первого и второго порядка: у'=2х~ — Р хз, у" — „— 2 ~ — ф х. 5 — 15 2 ' " 4 Исследуем ветви кривой, соответствующие знакам плюс н.минус, в отдельности.
В обоих случаях при х=0 имеем: у=О, у' =О, т. е. для обеих ветвей ось Ох является касательной. Рассмотрим сначала ветвь у=хз+Гг хз. При возрастании х от 0 до го у возрастает от 0 до ее. Вторая ветвь у=га†д хз пересекает ось Ох в точках (О, 0) и (1, О). При х=15/25 фуниция у=ха — )гхь имеет максимум.
Если х — ь+го, то у — + — ао, Таким образом, в данном случае в начале координат встречаются две ветви кривой; обе ветви имеют одну к ту же- касательную и расположены по одну сторону от касательной вблизи точки касания. Такая особая точка на- а' зывается вовкой гозграта гшорого рода.
у шг+)(уу График рассматриваемой функции изображен на рис. 193. Пример 4. Исследовать кривую дз, +, =О. ' Решение. Начало координат есть особая точка. Для исследования кривой вблизи втой точки перепишем уран- гу лу пение кривой в виде у= ~ хз )г 1 — х~. Ж Так как уравнение кривой содержит только четные степени переменных, то кривая симметрична относительно у.лй.) д осей координат и, следовательно, достаточно исследовать часть кривой, соот- Рис. 193. ветсгвующую положительяым значениям х и у.
Из последнего уравнения следует, что х может изменяться на отрезке от 0 до 1, т. е. О~хе~1. Вычислим первую производную для той ветви кривой, которая являетсн графиком функции у=ха у' 1 — хз: х (2 — Зхз) у= оункции нескольких переменных !гл. щи При х=О имеем у=О, у'=О, Следовательно, в начале координат кривая касается оси Ох. При х=1 имеем у=О, у'= м; следовательно, в точке (1, 0) касательная параллельна оси Оу. При х= )с 2!3 функция имеет максимум (рис. 194).
В начале координат (в особой точке) две ветви кривой, соответствусощие знакам плюс и минус перед корнем, взаимно касаются. Такая особая точка называется лычкой солрихосмсвеисся. П р и м е р 5. Исследовать кривую у' — х' (х — 1) = О. Рис. 194. Рис. 195. Решение. Напишем систему уравнений, определяющих особые точкиг ув — хз (х — 1) =О, — Зхв+2х= О, 2у= О.
Эта система имеет решение х=О, у=О. Следовательно, точка (О, 0) есть особая точка кривой. Перепишем данное уравнение в виде у= ж х у' х — 1. Очевидно, что х может изменяться от 1 до +со, а также принимать значение 0 (в последнем случае у=О). Исследуем ветвь кривой, соответствующую знаку плюс перед корнем.
При увеличении х от 1 до ос у увеличивается от 0 до со. Производная Зх — 2 При х=! имеем у'=ос; следовательно, в точке (1, О) касательная параллельна оси Оу. Вторая ветвь кривой, соответствующая знаку минус, симметрична с первой относительно оси Ох. Точка (О, 0) имеет координаты, удовлетворяющие уравнению, н, следовательно, принадлежит кривой, но вблизи нее нет других точек кривой (рис.
195). Такая особая точка называется изохироваммой особом" точкой. У пряж сс сии я к главе УШ Найти частные производные следующих функдий: дг дг 1 1. г=х'зюву. Отв. — =2хзшзу, — =хзз1п2у. 2. г=х", дх ' ду Отв. — =узхв, — =ха 2у!пх. 3. и=в~+в ~г. Отв. — =2хсх+" +' дг с дг ,е с в ди е е в ' дх ' ду ' дх ди — =2уех*+в+в =2гек+в гг 4. и=)газ+уз+ха.
Отв. ди е е е ди ду дг дх х дг у дг х 5. г = аго13 (ху). Отв. йг~~ ! „з ) з ' ' ' ' дх ! +гауз ду + хауз ' УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧН11 Оте Оте 6. г= агс!и —. Овм. — = —,„— = —,, 7. г = 1п у дг — у дг х )/хе+де — х х ' ' дх хе+уа' ду хе+у«' ' р"х«( Уе.) х Оте. — =-— дг 2 дг 2х . 8. и=е"/" +е«/". Оте. — = — е™е ди 1 дх= Ух ру ду 'дх у ди х «/е г «/ ди 1 г/ дг ду у' ут ' дг у — = — —,е — — е /, — = — е /".
9. г=агсз!п(х+у). Оте. дх ! де /'х' — уа дг уа — 10. »=ага!б )/ .~,~. Оте. У ! (») )е ду' ' )/ хе+Ув' ' дх »~бах~ — уе дг ду р'хв уе Найти полные дифференциалы от следующих функций: 11. »=хе+»де+з!од. Оте. дг=(2»+ут) дх+(2»у+сову) г!У. 12. г=1п (ху)„ Оте. дг= — + —.
13. г=е« ~в . х у г(»=2е" +" (хдх+д г/у). 14. и=!У(3» — у)+бе+в ди= +~ — +бе+»1пб) г/у+бе+*1пбг(г. Зг/» / 1 созе (3» — у) ~ созе (Зх — у) 1$. м=агсв1п —. Оте. да= х у Ы» — х хг/у У )у! д у' — т' 16. Вычислить /„(2, 3) и /е(2, 3), если /(х, у) =-хе+уз. Оте. /„(2, 3) =4, /~(2, 3)=27. 17. Вычислить д/(х, у) при х=1, У=О, г!»=1/2, г!У=1/4, если /(х, у) = = йхх«+ув.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
