32_PiskunovT1 (523111), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Замечание. Если кривая лежит в плоскости, то, не наруптая общности, можно предположить, что она лежит в плоскости Охд (этого всегда можно добиться преобразованием координат). Если же кривая лежит в плоскости Охд, то г=0; но тогда и й'㠄—,=0 и, следовательно, вектор та лежит также в плоскости Охд. *) Мы использовали тождество азЬз — (ав)з=(аХЬ)з, в справедливости которого левко убедиться, если переписать тождество в следующем виде! а'Ь' — (аЬ соз зр)з = (аЬ з!п ~р)з, $ 51 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ. ВИНОРМАЛЬ.

КРУЧЕНИЕ 305 изводная от вектора скорости по времени: ао то =— =ее' (15) Но и = —, следовательно, ле й ' Если будем исходить из формулы (14), то получим ао а (ьо) тп = — =— ж вг Раскрывая последнюю производную по формуле (П1) й 3, получим чп= — а+о —. ко ао (17) Преобразуем производную — „, пользуясь формулами (7) и (5): ао оо ао се и — = — — =- — О. а'г й сы й Подставляя в равенство (17), окончательно получаем то= — а+пь —. ес и й й' (18) -= ~'( — ":)'+(-")' й 5.

Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. (19) Определен не 1. Плоскость, проходящая через касательную прямую и главную нормаль к заданной кривой в точке А, называется соприкасающейся плоскостью в точке А. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. Если же кривая не плоская, то, взяв на ней две точки Р и Р„ мы получим две различные соприкасающиеся плоскости, образующие между собой двугранный угол р. Здесь и — единичный вектор, направленный по касательной в сторону движения, и — единичный вектор, направленный по главной нормали. Формула (18) словами формулируется так. Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от абсолютной величины скорости, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке.

Так как векторы а и и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения определяется формулой Зоа пеиложе ния диееееенцилльного исчисления ягл. гл Чем больше угол р, тем сильнее кривая по своей форме отличается от плоской кривой. Для того чтобы это уточнить, введем еще одно определение.

О п р е д е л е н и е 2. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бияормалью. Возьмем на бинормали единичный вектор Ь и направим его так, чтобы вектор о, а, Ь образовывали тройку той же ориентации, что и единичные векторы 4, /, й, лежащие на осях координат (рис.

204, 205), Рис. 204. Рис. 205. В силу определения векторного и скалярного произведений векторов имеем Ь=оха, ЬЬ=1. Найдем производную — „. По формуле (7) й 3 аь иь а(аха) яа аа — = — = —,ха+о х —. ая яя Фя йя (2) Но — = — (см. з 4), поэтому — ха= — ахи=О, и формула аа а Иа ! яя яс ня (2) принимает вид — =ох —,. ав аа ия ия (3) Отсюда следует (на основании определения векторного произвеаь денна), что — есть вектор, перпендикулярный к вектору каса- тельной о. С другой стороны, так как Ь вЂ” единичый вектор, то — перпендикулярен к Ь (см.

$ 3, следствие), аь ня гь Значит, векто𠆄 перпендикулярен и к о и к Ь, т. е. кол- линеарен вектору а. Обозначим длину Йа 1 вектора — через — т. е. положим ая 1т1' ~ — „,1= —; тогда иь — = — и ая Т (4) $51 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ, БИНОРМАЛЬ КРУЧЕНИЕ 397 1 Величина — называется кручением данной кривой. т Двугранный угол р между соприкасающимися плоскостями, соответствующими двум точкам кривой, равен углу между бинормалями.

По аналогии с формулой (4) й 4 можно написать Итак, кручение кривой в точке А по абсолютной величине равно пределу, к которому стремится отношение угла р между соприкасающимися плоскостями в точке А и соседней точке В к длине 1ЛБ~ дуги АВ, когда Лз- О. Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость не меняет своего направления и, следовательно, кручение равно нулю. Из определения кручения ясно, что оно является мерой отклонения пространственной кривой от плоской кривой. Величина Т называется радиусом кручения кривой. Найдем формулу для вычисления кручения. Из формул (3) и (4) следует 1 ди — п=ах —, т Умножив скалярно обе части на п, будем иметь ди ~ — пп=и ох д, ~ т В правой части последнего равенства мы получили так называемое смешанное (или тройное) произведение трех векторов п, дп и и †.

В таком произведении, как известно, можно переставлять сомножители в круговом порядке. Учитывая, кроме того, что пп= 1, мы перепишем последнее равенство в следующем виде: или — = — а (п х — „, ) . Фг Но так как п=)т д,, то Да Дзг Д17 Ре — =й — + —— д дез де дез зов ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО'ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ.!Х а так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, то няг г[зг гйз дзз Таким об азом, Р дг Заметив, что о = — „,, и возвращаясь к равенству (5), получаем (В) Если вектор г выражен как функция произвольного параметра [, то можно показать е) аналогично тому, как это делалось в предыдущем парагра, что *) В самом деле, дГ Й' аз б! оз о! Дифференцируем это равенство еще раз по и Снова днфференцируем по П Лзз ( г[т) ![зз от 4[з ) г[з г[[з Составим, далее, смешанное (тройное) произведение: раскрывая зто произведение по правилу умножения многочленов и отбрасывая все те члены, которые содержат хоти бы два одинаковых векторных сомножителя (так как смешанное произведение трех множителей, где хотя бы два множителя равны, есть нуль), получим Наконец, заметив, что (бт) =( и ), или (о ) =~( — ) ~', получаем требуемое равенство.

клслтвльндя плоское~~ и нормлль к поверхности Подставляя это выражение в формулу (б) и заменяя )сз его выражением по формуле (11) й 4, окончательно получаем (7) Эта формула дает возможность вычислить кручение кривой в любой точке, если кривая задана параметрическими уравнениями с произвольным параметром 1. В заключение этого параграфа отметим, что формулы, выражающие производные векторов о, Ь, и, называются формулами Серра — Френи: йт тз аЬ в ам а Ь ав зс ав Т ав 'с Т Последняя из них получается так: н=йхп, атз з((ЬХа) аа аа и и — = — = — хо+Ьх а, — — — хп+Ьх — = ав Т 1 1 = — нхо+ — Ьхн. Т но ахи= — Ь, Ьхн= — о, поэтому Ь и Пример. Вычислить кручение винтовой линии и = га сов 1+го вга 1-1- Ф отй Ре те иве. ~ — ав1п1 асов1 ат з — — Х вЂ” )= — асов1 — ав1п1 О =от, з(1 ~,Цз лез ! авзпс — асовг Π— Х вЂ”,у1 =а'(1+т') (см.

пример 5 4). Следовательно, аз(1+те) а (1+т') азт й 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида Г(х, у, г) =О, (1) Введем следующее определение. Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке Р (х, у, г), если она является зю ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1ГЛ.!Х касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку Р. Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, бесконечное множество. Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности Р(х, у, г) =О.

дР дР дР Если в точке М (х, у, г) все три производные— равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке дР дР дР М (х, у, г) все три производные — , — , — существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой О ат поверхности. Теперь мы можем сформулировать сле- 1 Р дующую теорему. 1 Теорема. Все касательнви прямые к данной поверхности (1) в ее обыкновенной точке Р лежат в одной плоскости. Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию Ь (рис.

206), проходящую через данную точку Р поверхности. Пусть рассматриваемая кривая Рнс. 206. задана параметрическими уравнениями х = ~р (1), у = ф (Г), г = Х (!). (2) Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этой касательной имеют вид Х вЂ” х х' — д х — г от ат т Если выражения (2) подставить в уравнение (!), то это уравнение превратится в тождество относительно Г, так как кривая (2) лежит на поверхности (1). Дифференцируя его по 1, получим") дР дх дР ду дР дх — — + — — + — — =О. дх Ет ду Ет дг ат (з) дг Рассмотрим, далее, векторы йУ и — „, проходящие через точку Р: (ф) ') Мы здесь применяем правило дифференцирования сложной функции трех переменных.

Это правило в данном случае применимо, таи ках все част. дР дР дР ные производные —, —, — по условию непрерывнм. дл ду дг ф б1 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Н НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТН ЗЫ ~М~=~/('") +( — '") +( — '") ~О. Вектор дг дх . ду дг — = — г + —.у+ — й дг 41 щ щ (5) касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора вычисляются на основании уравнений (2) при значении параметра (, соответствующем точке Р. дг Вычислим скалярное произведение векторов М и — „, которое равно сумме произведений одноименных проекций: дг дх" дх дх ду дУ дг М вЂ” = — — + — — + — —.

Характеристики

Список файлов книги