32_PiskunovT1 (523111), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Оте. 1/2. 16. Составить формулу, дающую при малых абсолютных аначениин величин х, У н г пдиблнженное выдаженне длн ей/ -/ 1+х 1 Оте. 1+-(х-У вЂ” г). 2 / 1+х 16. То же длн е⻠†. Отв. 1+ — (х — У-г). 1+ у+г 2 26. Найти — и —, если а=и+ох, и=ха+айву, о=1п(х+у). дг дг дх ду' Онм. — =2»+2 = — ~-, — =сову+2 —. дг 1п (х+у) дг 1п (х+у) дх х+у ' ду х+у е(г 21. Найти — , если г= ав/ — , и=- сов х, о=сов х. дх = У !+о' дг 1 Оте. — = —. д» х 2 соза— 2 дг дг дг 22.
Найти — н — „если г=ех-ае, и=в1пх, о=»а+уз. Оте.— дх ду" дг ' дд =еи-ат(созх — 6»т), — еи-ее(0 — 2.2у) = — 4уеи-вт, где вместо и и о нада подставить в!их н»в+уе. Найти полные производные данных функций: г(г! 23. г=агсв!п(и+о), и=в!и»сова, о=сов ха!па. Оте. — =1, есла Тгг» и и г/г и и 2йп — — < х+ а < 2йи+, — = — 1, если 2йп+ — < х+а < (2й+1) и+ —. 2 2 ' 2 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !гл. ши еах (у г) да 24. а= , у=а зшх, г=созх. Отв. — =еехз1пх.
а»+1 ' ' ' ' ах дг 25. г = 1п (1 — х'), х = )/ зш О. Отв. — = — 218 О. дЕ= Найти производные неявных функций от х, заданных уравнениями: х» у» ау Ь» х х» у» ау Ь» х 26. — + — — 1=О. Оте. — = — — —. 27. — — =1. Оте. = — — —.
а»'Ь» ' 'дх а'у' 'а' Ь» ' 'ах а»у 28. у"=х". Оте. — = . 29. з1п(ху) — е "— х'у=О. 1 у у в» у х 1 к дх ху" » — х" 1пх ау у 1соз (ху) — е«а — 2х1 х» у» г» дг дг Ота. 30. —.+ — + —., =1; найти — и — . дх х)х.+г»" — сов(ху)) ' а«Ь» с» дх) ду ' дг с'х дг с'у дш дез Оте. — = — —, — = — —. 31. и — е1ите=О; найти — и дх азг' ду Рг' да дс ' йе созе те йе з«п 2аш» 2 Ота. — 32. г»+ — = у у' — г'; показат»ь что ди ао ' й« 2ас ' ' х дг 1 дг ! г / у 1 дг дг хз †+ †= . 33.
†~ †); показать, что х — +у — =г, кадх у ду г ' ' х ~ х ) 1 дх ду коза бы ни была дифференцируемая функция г. Вычислить частные производные второго порядка: а»г д»г д»г 34. г = ха — 4х»у+ 5уз. Оте. — =6х — 8у; — = — 8х; — = 10. дх» ' ду дх ' ду» азг в1п у д»г сх соз у 36. г=с»1пу+а1п у!пх. Оте. — =е" 1пу — — » +» дх» х» ' даду у х аза сх — = — — ашу!пх. ау у 1 д»и д»и а»и 36. Доказат»ь что если и= „то —,+ — е+ —,=О.
3/ха ! уз ( г» " дх» дуе дг» х'у' д'г д»г дг 37. Доказать, что если г= — , то х — +у †=2 — . х+у' дх» даду дх ' д'г даг 38. Доказзт»ь что если г=!п (х»+уе/, то — + — =О. дх» ду» , а»г а»г 39. Доказать, что если г=«р(у+ах)+ф(у — ах), то а' — — =О при ду» дхз любых дважды дифференцируемых «р и ф 40. Найти производную от функции г=дх' — ху+у» в точке М(1, 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол в 60'. Оте. 5+11 )«3/2. 41, Найти производную от функции г=5х» — Зх — у — 1 в точке М (2, 1) в направлении, идущем от втой точки к точке й«(5, 5). Олм. 9,4. 42. Найти производную функции /(х, у) в направлении: 1) Биссектрисы 1 /д/ д/) координатного угла Оху.
Отв. — ~ — + — ), 2) Отрицательной полу. 1/ 2 ~дх ду) ' д/ оси Ох. Оте. —. дх ' 43. /(х, у)=-хз+Зх»+4ху+у». Показать, что в точке М(2/3, — 4/3) производная в любом направлении равна нулю («функция стационарна»). 44. Из всех треугольников с одинаковым периметром 2р определить треугольник с наибольшей площадью. Оте.
Равносторонний треугольник. 45. Найти прямоугольный параллелепипед, который имеет наибольший объем при данной волной поверхности 3. Оте. Куб с ребром )/3/6. 46. Найти расстояние между двумя прямыми в пространстве, уравнения х — 1 у г х у г )'2 которых — = — = —, — = — = —, Ота. —.
1 2 1' 1 1 1* ' 2 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ УН! 287 Исследовать на максимум и минимум функции: 47. г= хауз (а — х — у). Отв. Максимум г при х=а/2, у=а/3, 48. г=ха+ 1 1 гзх— +ху+уз+ — + —. Отв. Минимум г при х=у=!/1г 3. 49. г=а!пх+ х у +а!ну+а!п (х+у) (О~х ~я/2; О~у~я/2). Отв. Маисимум г при я=у = =л/3. 60. г=в!пхз!пув!п(х+у) (О~а~я„О~у~к). Оим. Максимум г при а=у=я/3. Найти особые точки следующих кривых, исследовать их характер и опоганить уравнении касательных в них: 51. ха+уз — Заху=О.
Отв. Ма(0, 0) — узел; х=О, у=Π— уравнения касательных. 62. а'уз=ха(аа — хз). Отв. В начале координат точка соприкосновения; двойная касательная уа =О. хз 53. уз= —. Отв. Ме(0, 0) — точка возврата первого рода, уз=О— 2а — х ' касательная. 64. уз=ха (9 — х'). Отв. Ме (О, 0) — узел; у=+ Зх — уравнения каса. тельных. 65.
ха — 2ахзу — ахуз+азха = О. Огпв. Ме (О, 0) — точка возврата второго рода; уз=Π†двойн касательная. 66. уз(аз+хе)=хз(аз — хз). Овггь Мз(0, 0) — узел; у=4-х — уравнения касательных. 57. баха+пауз =хауз. Отв. Ме (О, 0) — изолированная точка. 58. Показать, что кривая у=х 1пх имеет концевую точку в начале каор. динат н касательную — ось Оу. х 69. Показать, чта кривая у=, имеет узловую точку в начале каор!+в!/х динат н что касательные в эюй точке: справа у=О, слева у=х. ГЛАВА 1Х ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ $ 1. Уравнения кривой в пространстве Рассмотрим вектор ОА = г, начало которого совпадает с началом координат, а концом является некоторая точка А (х, у, г) (рис.
196). Такой вектор называют радиус-вектором. Выразим этот вектор через проекции на оси координат: г = х1+ уг'+ гй. (1) Пусть проекции вектора г суть функции некоторого параметра 1: х = ф (1), у = ф (г), г = Х (1). (2) Тогда формулу (1) можно переписать так: г= р((И+фЯ3+Х(1)й, или коротко г= г(г'). При изменении 1 изменяются х, у, г, и точка А — конец вектора г — опишет в пространстве некоторую линию, которую называют гсдографом вектора г = г (1).
Уравнение яггугl (1') или (Г) называют векторным уравнением линии в пространстве. Уравнения (2) называются параметрическими уравг нениями линии в пространстве. С помощью этих уравнений для каждого значения г определяются координаты х, у, г соответствующей точки кривой. м Заме чан ие. Кривая в пространстве Рис. 196. может быть также определена как геомет- рическое место точек пересечения двух яо- верхиостей; следовательно, такая кривая может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей: Ф, (х, у, г) = О, Ф, (х, у, г) = О.
(з) уравнения кривой в простнднствв Так, например, уравнения х'+ у'+ г' =- 4, г = 1 являются уравнениями окружности, получающейся в пересечении сферы и плоскости (рис. 197). Итак, кривая в пространстве может быть задана или параметрическими уравнениями (2), или двумя уравнениями поверхностей (3). Если мы исключим параметр г из уравнений (2) и получим два уравнения, связывающие х, у, г, то тем самым осуществим Рис. 19?. переход от параметрического способа задания линии к заданию ее с помощью поверхностей. Обратно, если положим х=<р(г) (гр(1) — произвольная функция) и найдем у и г как функции от г из уравнений Ф,[гр(1), у, г1=0, Ф,[гр(1), у, г|=О, то осуществим переход от задания линии с помощью поверхностей к параметрическому способу задания. Пример 1.
Уравнения х=41 — 1, у=за а=1+2 являются параметрическими уравнениями прямой. Исключая параметр С получим два уравнения,каждое из которых есть уравнение плоскости. Например, если из первого уравнения почлеино вычесть второе и третье, получим х †у †а=. Вычитая же из первого учетверенное третье, получим х — 4х = — 9. Таким образом, заданная прямая является линией пересечения плоскостей х — р — г+3= 0 и х — 4х+9=0.
П р н и е р 2. Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого совпадает с осью Ох (рис. 193). На данный цилиндр будем навивать прямоугольный треуголыгик СртАС так, чтобы вершина А треугольника лежала в точке пересечения образующей цилиндра с осью Ох а катет АС, нанизался на круговое сечение цилиндра, лежащее в плоскости Оху. Тогда гипотенузе образует на цилиндре линию, которая называется винтовой химией. Напишем уравнение винтовой линии, обозначая через х, йт х координаты ее переменной точки М и через Г угол АОР (рис.
198). Тогда х=асозс, у=аз1п Г, г=РЧ=АР100, где через 6 обозначен острый угол треугольни- 10 Н. С. Пискунов, т. 1 29О приложения диеепрннцилльного исчислпния (гл. ги ка СТАС. Заметив, что АР=ай так кзк АР есть дуга круга радиуса а, соответствующая центральному углу й н обозначив !КО через т, получаем параметрические уравнения винтовой линии в виде я=асов|, у=аз!па г=атг (здесь ! — параметр), нлн в векторной форме; Г=гасоа г+,/ащп (+внтк ! Рнс. !99. Из параметрических уравнений винтовой линии легко исключить параметр Г; возводя первые два уравнения в квадрат н складывая вх, найдем х'+ув = =аз. Зто — уравненне цилиндра, на котором расположена винтовая линия.
Далее, деля почленно второе уравнение на перное н подставляя в полученное уравнение значение д найденное нз третьего уравнення, найдем уравнение у г другой поверхности, на которой расположена винтовая линия: — = (К вЂ” ° х ат Зто — так называемая винтовая поверхность (геяихоид). Ее можно получить от движения полупрямой, паралельной плоскости Оху, еслн конец этой полу- прямой находится на осн Ог, прячем сама полупрямая с постоянной угловой скоростью вращается вокруг осн Ог н с постоянной скоростью поднимается вверх так, что ее конец перемещается вдоль осн Ог.
Винтовая линия является линией пересечения этих двух поверхностей. Поэтому ее можно задать э э у двумя уравнениями: хе+у'=аэ, х ат' $ 2. Предел и производная векторной Функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости Вернемся к формулам (1') и (1") предыдущего параграфа: Г-~> (() 1+$ (!)1+К (!) йг ИЛИ Г= Г ((). При изменении 1 вектор Г изменяется в оощем случае по величине и по направлению. Говорят, что Г есть венлгорнал Функция от скалярного аргумента г, Допустим, что 11щ!р(1)=!рса 1ппэй(1) фав Пщу(()=)(„ г" гв э г.
а г г, $23 пгвдел и пгоизводнля ввктогнои функции 291 Тогда говорят, что вектор г,=ф,1+ф,,~+)(,й есть предел вектора г=г (1), и пишут (рис. 199) Ишг(1) =г,. с-м, Из последнего равенства следуют очевидные равенства 1пп~ г(1) — г,! = 1ип$' [ф(1) — фон'+[ф(1) — Фо]'+[Х(1) — ХО1'=0 Иш)г(1) ~ = ~г,~. ~ ««о Перейдем теперь к вопросу о производной векторной функции скалярного аргумента г(1) =ф(1) 1+ф(1)1+у.(1) й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
