32_PiskunovT1 (523111), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Уи Уи П р и мер 4. Найти — и =, если и=ехгвю г. дхдудг дудгдх' Решение. ди даи дх ' дхду — =уЕхгэгиг, — =Ехгши г+Хуг аз1П г=гхг(1+Ху) Миг, Уи ди даи дх дуда — ехг (1+ху) соа г, — =хеха вгп г, — =хетг совг, ду ' дхдг дви — =е"г сов а+хуста сов г =еха (1+ ху) соа г. ду дг дх Следовательно, Уи Уи дхдудг дудг дх (см., кроме того, примеры 1 — 2 этого параграфа). $13.
Поверхности уровня Пусть в пространстве (х, у, г) имеется область Р, в которой задана функция и = и (х, у, г). В этом случае говорят, что в области Р задано скалярное поле. Если, например, и (х, у; г) обозначает температуру в точке М (х, у, г), то говорят, что задано скалярное поле температур; если область Р заполнена жидкбстью или газом и и (х, у, г) обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т.
д. Рассмотрим точки области Р, в которых функция и (х, у, г) имеет постоянное значение гд и(х„у, г)=с. (2) Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение с, то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
Пример 1. Пусть задано скалярное поле х' у' га и(х, у, г)= — + — + —. 4 9 16 Здесь поверхиостяии уровия будут поверхности ха у' г' — + — + — =с, 4 9 16 т. е. эллипсоиды с полуосями 2 )Г с, 3 у' с, 4 фг с. 9 Н. С. Пискунов,т. 1 (гл. юц еункции нвскольких пврвминных Если функция и есть функция двух переменных х и у! и=и(х, у), чо «поверкностямн» уровня будут линии на плоскости Охуа и(х, у)=с, (2') которые называются линиями урввил. Если значения и мы будем откладывать по оси Ог: г=и(х, у), то линиями уровня на плоскости Оху будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности г=и(х, у) с плоскостями г = с (рис. 176). Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности г = =и(х, у).
Рис. 177. Рис.. 176. Пример 2. Определить линии уровня функции г=1 — ха — уа. Линиями уровня будут линни с уравнениями 1 — х' — у"=с. Это (рис. 177) окружности с радиусом у 1 — в. В частности, при с=о получаем окружность ха+у»=-1. $ !4. Производная по направлению Рассмотрим в областн Р функцию и=и(х, у, г) и точку М (х, у, г). Проведем из точки М вектор Я, направляющие косинусы которого сова, совр, сову (рис. 178). На векторе 8 на расстоянии газ от его начала рассмотрим точку М, (х+ Лх, у+ Ау, г+!)г). Таким образом, !ьз =)'япх«+Ау»+Ага. Будем предполагать, что функция и(х, у, г) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области В. 259 пгоизводнея по нлпгевлвнию Аналогично тому, как это делалось в 9 7, полное приращение функции представим так: Ли = — Лх+ — „" Ку+ — иАг+е,Ах+его+в,йг, (1) где е,, е, и е, стремятся к нулю при Лв — О.
Разделим все члены равенства (1) на Лз: Очевидно, что Лх Лу Лг — =сова — =созр — =сову. а в а г Рис. !79. Рис. !78. функиии и=и(х, у, г) в точке (х, у, г) но направлению вектора ди Я и обозначается —, т. е. дг ' йи ди 1пп — =— ь,-оаг дг (4) Таким образом, переходя к пределу в равенстве (3), получим ди ди ди ди — = — сова + — соз() + — сову. дг дк ду дг (5) Из формулы (5) следует, что, зная частные производные, легко найти производную по любому направлению 8. Сами частные производные являются частным случаем производной по направ- Следовательно, равенство (2) можно переписать так! — = — сова + — соз р+ — сову+в, сов а+ег совр+е, сову. (3) ду дг Предел отношения — при Лв- О называется производной от йг (гл.
уп1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ лению. Так, например, при се=О, р= —, т= — получаем: и и ди ди ди н ди и ди — = — соз О + — соз — + — соз — = — . да дх ду 2 дг 2 дх ' Н р и м е р. Дана функция и =х'+у'+г'. ди Найти производную — в точке М (1, 1, 1); а) в направлении вектора 8г = дз =21+у+За; б) в направлении вектора 8з=1+л+й. Решение. а) Находим направляющие косинусы вектора 8И сова=2/у' 4+ !+9=2/$~ 14, соз р=!/г' !4, соз у=з/у~ 14. Следовательно, ди ди 2 ди 1 ди 3 — = — =+ — =+ — = ° два дх)г14 ду ~ 14 дг р~!4 Частные производные ди ди ди дх ' ду ' дг -=2х, — =2у, — =2г в точке М(1, 1, 1) будут Итак, ди 2 1 3 !2 — =2.
=+2 — +2.— ==. б) Находим направляющие косинусы вектора 8,: созм= 1/$/ 3, сов()= 1/)Г 3, соз т= 1/Г 3, Следовательно, ди 1 ! 1 6 — =2 =+2 =+2 ====2 $/ 3. дзз )/'З )г З Г З 3'З Заметим для дальнейщего, что 2 )/ 3 > 12/уг14 (рис. 179). й 15. Градиент В каждой точке области О, в которой задана функция и= = и(х; у, г), определим вектор, проекциями которого на оси ди ди ди координат являются значения частных производных— дх' оу' дз этой функции в соответствующей точке: ага!(и = — (+ — /+ —, й.
ди ди ди (!) Этот вектор называется градиентам функции и (х, у, г). Говорят, что в области 0 определено векигорное поле градиентов. Докажем, $!з) ГРАДИЕНТ далее, следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению. Теорема. Пусть дано скалярное поле и = и (х, у, г) и определено в этом скалярном лоле поле градиентов ди ди . ди йгади = — !+ —,у+ — Ф, дх ду дз ди Производная — по направлению некоторого вектора 8 равняется дз проекции вектора дгад и на вектор 8.
Доказательство. Рассмотрим единичный вектор 8ч, соответствующий вектору 8: 8' =1соза+]соз Р+Ф сову. Вычислим скалярное произведение векторов угад и и 8ч е): ди ди ди (ассад и, 8ч) = — сов се+ — соз)3+ д —, сову. Выражение, стоящее н правой части этого равенства, есть произ- дг. Рнс. 180. Рнс. 181. водная от функции и(х, у, г) по направлению вектора 8. Следо. вательно, мы можем написать (асад и, 8ч) = — .
ди дз Если обозначим угол между векторами ассад и н 8' через (рис. 180), то можем написать ) нгаб и ~ сов ~р =— (з) или пр.э Всади и = д ди (А) Теорема доказана. На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. В данной точке М (х, у, г) строим вектор угад и (рис. 181). Строим сферу, для которой угад и является диаметром. *) Скалярное произведение векторов А н В будет обозначаться через (А, В) нлн просто через АВ. †Пр. ред. 1гл, ун1 ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Из точки М проводим вектор 8.
Обозначим точку пересечения вектора Я с поверхностью сферы через Р. Тогда очевидно, что МРеч = ~дгаг)и!Созгр, если <р — угол между направлениями градиента и пх ди отрезка МР (при этом ~р( — ), т. е. МР= —. Очевидно, что при изменении направления вектора Я на противоположное производная изменит знак, а ее абсолютная величина останется прежней. Установим некоторые свойства градиента. 1) Производная в данной точке по направлению вектора 3 имеет наибольшее значение, если направление векпюра Я совпадает с направлением градиента; зто наибольшее значение производной равно )дгаби). Справедливость этого утверждения непосредственно следует из ди равенства (3): наибольшее значение — будет при ф=О, и в этом дз случае —,=~ягади).
2) Производная но направлению вектора, перпендикулярного к вектору ягад и, равна нулю. Это утверждение следует из формулы (3). Действительно, в этом случае и ди ~р= —, соз~р=О и —,=~йгаг)и~созгр=О. Пример 1. Дана функция и=л'+уз+аз. а) Определим градиент в точке М(1, 1, 1), Выражение градиента атой функции в произвольной точке будет Егад и=2л!+2у/+2зй. Следовательно, бгад и )м = 2)+ 2/+2й, )бгад и 1),н =2 У 3, б) Определим производную от функции и в точке М (1, 1, 1) в направив нви градиента.
Направляющие косинусы градиента будут 2 1 У2з+2з+ 2з У 3 ! 1 соз р==, сазу==. Уз Уз' Следовательно, — =2 =+2=+2 — =2 У 3, ди 1 1 1 Уз Уз Уз — =)йгад ц 1. ди дз $161 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 283 3 а и е ч а н и е. Если функция и = и (х, у) есть функция двух переменных, то вектор ди ди атаби = — 1+ —,/ дх ду лежит в плоскости Оху. Докажем, что дгаг) и направлен перпендикулярно х линии уровня и(х, у)=с, лежащей в плоскости Оху и проходящей через соответствующую точку. Действительно, угловой коэффициент й, касательной к линии уровня и (х, у) = с будет равен йт = †," .
Угловой коэффициент й, градиента равен й,= — "," . Иу и,, Очевидно, что й,й, = — 1. Это и доказывает справедливость нашего Рис. 182. Рис. 183. утвержнения (рис. 182). Аналогичное свойство градиента функции трех переменных будет установлено в 2 б гл. 1Х. у' П р иве р 2. Определить градиент функции и= — + — (рис. 183) 2 3 в точке М (2, 4). Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
