32_PiskunovT1 (523111), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Частной производной по х от функции г=Г(х, у) называется предел отношения частного приращения Ь„г по х к приращению Лх при стремлении Ьх к нулю. Частная производиая по х от функции г=)" (х, у) обозначается одним из символов дг д( Таким образом, по определению, дг йщ агг (1Ш ((г+Ьг, у) — ! (г, у) дг ы-о Лх ь -о Лг Аналогично частная производная по у от функции г=((х, у) определяется как предел отношения частного приращения функции Лгг по у к приращению Лу при стремлении Лу к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов дг д( ду' ду' Таким образом, дг ). агг (.
((г, у+Ау) — Р(г, у) ду ь„,ау „„, ау Заметив, что Л,г вычисляется при неизменном у, а Л г при неизменном х, мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по х от функции г=((х, у) называется производная по х, вычисленная в предположении, что у — постоянная. Частной производной по у от функции г= ~(х, у) называется производная по у, вычисленная в предположении, что х — постоянная. Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций геометрическАя интеРЦРетАция одной переменной, и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная. П р имер К Дана функция г = хг з~п у; требуется найти частные произдг дг водные — и —. дх ду' дг дг Решение. — =2хз~пу, — =ха сову.
' дх ' ду П р и м е р 2. г = х". Здесь — =уха, — =х")пх. дг т дг дх ' ду Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично; Так, если имеем функцию и четырех переменных х, у, г, П и=((х, у, г, (), то — = 1!ш ди 1.
г (х+Лх, у, г, () — ) (х, у, г, () дх — = пп ди 1 г'(х у+ау, г, г)=((х, у, г, г) и т. д. ау П р и не р 3. и = ха+ уз+хггз, — =2х+(га, — =2у, — =Зх(гз, — = хгз. ди ди ди , ди дх ' ду ' дг ' де й 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных Пусть уравнение г=)(х, у) есть уравнение поверхности, изображенной на рнс. 173. Проведем плоскость х = сопи(. В сечении этой плоскости с поверхностью получится линия РТ.
Прн данном х рассмотрим на плоскости Оху некоторую точку М (х, у). Точке М соответствует точка Р (х, у, г), принадлежащая поверхности г = ~(х, у). Оставляя х неизменным, дадим переменной у приращение Лу =Ма( = = РТ'. Тогда функция г получит приращение Лиг= ТТ' (точке У(х, у+Ау) соответствует точка Т (х, у+Ау, г+ Лиг) на поверхности г = ) (х, у)) .
Ьгг Отношение — равно тангенсу угла, образуемого секущей РТ ау с положительным направлением оси Оу: Лгг — "= 1~ ТРТ', ау ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1гл, уш Следовательно, предел а„г дг 1пп — =— ии. и У дУ равен тангенсу угла [1, образованного касательной РВ к кривой РТ в точке Р с положительным направлением осн Оу: — = 1~ [1. дг ду Итак, частная производная дг — численно равна тангенсу уг- ду ла наклона касательной к криРис.
173. вой, получающейся в сечении поверхности г=~(х, у) плоскостью х = сопз1. дг Аналогично частная производная — численно равна таигенсу дк угла наклона а касательной к сечению поверхности г=1(х, у) плоскостью у = сопз1. й 7. Полное приращение и полный дифференциал По определению полного приращения функции г = 1(х, у) имеем (см. з 3) Ьг = 1 (х+ Ьх, у+ Ьу) — г (х, у). (1) Предположим, что 1 (х, у) в рассматриваемой точке (х, у) имеет непрерывные частные производные. Выразим Ьг через частные производные. Для этого в правой части равенства (1) прибавим н вычтем 1(х, у+Ьу): Ьг=[1(х+Ь, у+Ьу) — 1(х, у+Ьу)1+[1(х, у+Ьу) — 1(х, у)1. (2) Выражение 7(х, у+Ьу) — Г(х, у), стоящее во второй квадратной скобке, можно рассматривать как разность двух значений функции одной переменной у (значение х остается постоянным).
Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим 1(х, у+Ьу) — 1(х, у)=Ьу ("' "1, [(3) где у заключено между у и у+Ьу. Точно так же выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства (2), можно рассматривать как разность двух значений ф 7) ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 241 функции одной переменной х (второй аргумент сохраняет одно и то же значение у+Лу).
Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим 1(х+Лх, у+Ау) — 1(х, у+Ьу)=Лх ("' о г~ор, (4) где х заключено между х и х+Лх. Внося выражения (3) и (4) в равенство (2), получим Л2 ЛХд1(х, у+Ау) 1 Л а1(х, у) (б) дк У ау Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то д1 (х, у+ Ау) д1 (х, у) Ар О 1пп д1(х, у) д1(х, у) Аь. О ау ду (6) Сумма двух последних слагаемых правой части является бесконечно малой высшего порядка относительно Ьр = )/ Лхо+ Лу'.
Действительно, отношение — — О при Лр- О, так как у, является тьлх Ьх I! ььХ ! бесконечно малой величиной, а ††ограниче ~~ — ~ ( 1 ) . Ар цлр~- 1 Аналогично проверяется, что — — О. гьау Ар Сумма первых двух слагаемых есть выражение, линейное относительно Лх и Лу.
При 1;(х, у) ФО и 1;(х, у)ФО это выражение представляет собой г л а в н у ю часть приращения, отличаясь от Ь2 на бесконечно малую высшего порядка относительно Лр = = Р' Лх'+ Лу'. (так как х и у заключены соответственно между х и х+Лх, у и у-)-Лу, то при Лх О и Лу- Охи устремятся соответственно к х и у). Равенства (б) можно переписать в виде д1 (х, у+Ау) д1 (х у) д +У' д1(, „) а1(х, у)+ (6') ду где величины у, и у, стремятся к нулю, когда Лх и Лу стремятся [7 г „, Ьр-РЬЭ.ррр -Р).
В силу равенств (б') соотношение (б) принимает вид Л2 = Лх+ Лу+ уьЛх+ уоЛу. Функции нескольких переменных (гл.у!и О и ределен ие. Функция г= у (х, у), полное приращение Ьг которой в данной точке (х, у) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно Ьх н Ьу, и величины, бесконечно малой высшего порядка относительно Ьр, называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через с(г или йу. Из равенства (5') следует, что если функция ) (х, у) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то онадифференцнруема в этой точке и имеет полный дифференциал йг=~,'(х, у) Ах+7„'(х, у) Ьу.
Равенство (5') можно переписать в виде Ьг= йг+у, Ах+у, Ьу, и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ьр можно написать следующее п р и б л и ж е н н о е равенство: Ьг еи йг. Приращения независимых переменных Ьх и Ьу мы будем называть дифференциалами независимых переменных х и у и обозначать соответственно через йх и йу. Тогда выражение полного дифференциала приду МЕт Внд с(г = — йх+ — йу.
ду ду дх ду Таким образом, если функция г=)(х, у) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке (х, у), и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих незавиРис. 174. симых переменных. П р и мер 1. Найти полный дифференциал и полное приращение фуннцни г=ху в точке (2; 3) при Ах=0,1, Ау=0,2. Решение. Аг=(х+Ах) (у+Ау) — ху=у Ах+х Ау+Ах Ау, ог= — ах+ — ау=у ах+лев= у Ах+ х Ау. дг дг дх ду Следовательно, Аг=з 0,1+2 0,2+0,1 0,2 0;72, аг=з 0,1+2 0,2=0,7. На рнс.
174 дана иллюстрации н атому примеру. Предыдущие рассуждения и определения соответственным обра- зом обобщаются на функции любого числа аргументов. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА за) Если имеем функцию любого числа переменных гп= 1(х, у, г, и, ..., Г), причем все частные производные — „, —,...,, — непрерывны дг д) дг в точке (х, у, г, и, ..., Г), то выражение сйп= — Нх+ — Иу+ — с(г+... + — Ш д) д) д) д) дх ду дг ' ' ' дЕ является главной частью полного приращения функции и назы- вается полным дифференциалом. Доказательство того, что разность Лю †является бесконечно малой более высокого порядка, чем ~ (Лх)'+(Лу)'+...
+(И)а, проводится совершенно так же, ках н для функции двух переменных. Пример 2. Найти полный дифференциал функции и=ах+" вша г трем переменных х, у, г. Решение. Заметив, что частные производные — =е " 2хвгп г, ди ха+ а в дх — =е" +" 2увювг, ду ди зч. з — г" " .2вю гсов г=а "вы2г хв+ а дг непрерывны при всех значениях х, у, г, находим дн= — ах+ — ду+ — дг =а" +" (2хвюгг дх+2увш'г ау+вы 2г дг). дх ду дг й 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях Пусть функция г=г(х, у) дифференцируема в точке (х, у).
Найдем полное приращение этой функции Лг=у(х+Лх, у-Р.Лу) — ((х, у), откуда ~(х+Лх, у+Лу) =)'(х, у)+Лг. Мы имели приближенную формулу Лг ждг, где с(г = — Лх+ — Лу. д) д) дх ду (з) Подставляя в формулу (1) вместо Лг развернутое выражение для в(г, получим приближенную формулу ~(х+Лх, у+Лу) ж~(х, у)+ ~~~~' У)Лх+ ' У)Лу, (4) еуикции нескольких пвивмиииых 244 !гл.
уи! верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно !)х и Лу. Покажем, как используются формулы (2) и (4) для приближенных вычислений. 3 а д а ч а. Вычислить объем материала, нужного для изготовления цилиидрического стакаиа следующих размеров (рис. 175): радиус внутреннего цилиидра )с, высота внутреннего цилиндра Н, толщина стенок и диа стакана л. ! Решение. Ладим два решения этой задачи: точиое и приближенное. а) Т оч кое ре шеи и е. Искомый объем о -равен Р разности объемов внешнего цилиндра и внутреннего цилиидра. Так как радиус внешнего цилиидра равен К+ +й, а высота Н+й, то о=я Я+а)з(Й+й) — пйзН, или и=п(2ННл+Нзй+Нйт+2Гтвз+йа). (5) ! б) П р и б л и ж е и и о е р е ш е и и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
