32_PiskunovT1 (523111), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Рассмотренный метод распространяется на исследование условного экстремума функции любого числа переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции а переменных и=~(х,, х„..., х„) при условии, что переменные л„х„..., х„связаны т (т ( а) уравнениями <р,(х„х„..., х„) =О, ~р,(х„х„..., х„) =О, (8) юр (х„х„..., х„) =О. Для того чтобы найти значения х„х„..., х„, при которых могут быть условные максимумы и минимумы, нужно составить функцию Р(х„хм ..., х„Лп ..., Л„) =г'(х„..., х„)+Л,~р,(х„..., х„) + +Лр,(хп ..., х,)+... +Л ср (хп ..., х„), УСЛОВНЫЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ й 1з1 275 ПрнраниятЬ НУЛЮ ЕЕ ЧаетНЫЕ ПрОИЗВОдНЫЕ ПО Хю Х„..., Х„1 — +),— +...+й.— =О, д) дчч дф, дхг г дх~ ' ' м дхг дха т дхт ' ' ' и дха (9) +),, +... ( д„==о ~ дг д<рт д(р,„ дх„ г дх„ ' '' дх„ И ИЗ Пг+Л ураВНЕНИй (8) И (9) ОПрЕдЕЛИтЬ Хю Х„..
„Хч И ВСПОМОГатЕЛЬНЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ Аю ..., А„. ТаК жЕ КаК И ДЛЯ ФУНКЦИИ двух переменных, вопрос о том, будет ли при найденных значениях функция иметь максимум или минимум или не будет иметь нн того, ни другого, мы в общем случае оставляем открытым. Этот вопрос мы будем решать на основании вспомогательных соображений. П р и м е р !. Вернемся к задаче, сформулированной в начале этого параграфа: найти максимум функции о= хуг при условии, что ху+хг+уг — а=О (х > О, у > О, г > 0). 00) Составим вспомогательную функцию г" (х, у, А)=луг+А(ху+хг+уг — а). Найдем ее частные производные и приравняем их нулюз у +Д(у+ )=О, 1 хг+А (х+2) =О, (11) ху+А(х+у) =О. Задача сводится к решению системы четырех уравнений (10) и (11) с четырьмя неизвестными (х, у, г и А).
Для решения этой системы умножим первое из уравнений (11) ва х, второе — на у, третье — на г и сложим ях; Зху2 принимая во внимание равенство (10), находим А= — —. Вставлия в уран. 2а пения (11) найденное значение )о получим уг (1 — (у+2)1 =О, хг ~ 1 — (х+2)1 =О, ху ~1 — (х+у)~ =О. Так как х, у, г по смыслу задачи отличны от нуля, то из последних уравнений имеем хв-(д+г)=1, — (х+г)=1, — (х+у)=1. Зх Зу Зг Из первых двух уравнений находим х=у, из второго и третьего уравнений у=г.
Но в таком случае из уравнения (10) получаем х=у г= аг а/3. Это— единственная система значений х, у и г, при которых может быть максимум нли минимум. Можно доказать, что полученное решение дает максимум. Впрочем, зто ясно и из геометрических соображений (в условиях задачи объем коробки ие может быть неограниченно большим; следовательно, естественно ежидать, что при каких-то определеннык значениях, дорон этот объем будет наибольшим). (гл. уш Функции нескольких пеРеменных Итак, для того чтобы объем коробки был наябольшим, зта коробка должна быть кубом, ребро которого равно У а/3.
П р и мер 2. Определить наибольшее значение корня л-й степени из произведения чисел х„х„..., х„при условии, что их сумма равна данному числу а. Следовательно, задача ставится так: требуется найти максимум функции и= )/ х,...х„при условии хг+хе+... +х„— а=О (хг > О, хз > О, ..., х„> 0). Образуем вспомогательную функцию Е (х„ .. .
х„, Л) = 1/ х, ...х„-1- Л (хг +х,+ ... +х„ — а). Находим ее частные производные: хэхз хч г' = — ''' " +Л= — — +Л=О„или и= — лЛхн л и-г л х 1 (хт...х„) 1 и г" = — — +Л='О, или и = — лЛхзю л хз (12) = — — +Л=О, 1 и л х„ или а = — лЛха Это неравенство справедливо для любых положительных чисел хо хе ... х„. Выражение, стоящее в левой части соотношения (14), называется средлйм геоиешричесхим этих чисел. Таким образом, среднее геометряческое нескольких положительных чисел не больше их среднего арифметцческого. 9 !9.
Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов Пусть на основании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х: у = ю (х) . (() Пусть в результате эксперимента получено л значений функции у при соответствующих значениях аргумента. Из последних равенств находим ах=хе=... =х„, а на основании уравнения (14) получаем хг~хе=...=ха=а/л. лх По смыслу задачи эти значения дают максимум функции )г хг... х„, равный а/л, Таким образом, дли любых положительных чисел хы х„..., х„, связан. ных соотношением хг+х,+...
+х„=а, выполняется неравенство )г хг... х„ а" а/л (13) а так как, по доказанному, — является наибольшим значением этой функции) . ' л Подставляя теперь в неравенство (13) вместо а его значение, полученное из равенства (12), найдем а ха+...+ха хххэ...хи~ (14) л МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 277 Результаты записаны в таблицу: Вид функции у = ф (х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. (Эти точки будем называть «экспериментальнымн точкамнь.) Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 188. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естественно предположить, что искомую функцию у = ф (х) можно искать в виде линей нов функции у = ах+ Ь Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис.
189, то естественно искать функцию у=ф(х) в виде у=ахь и т. д. Рнс. !зз. Ряс. !З9. При выбранном виде функции у=ф(х, а, Ь, с, ...) остается подобрать входящие в нее параметры а, Ь, с, ... так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс. Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших коадратоо. Этот метод заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений уо даваемых экспериментом, и функции ф (х, а, Ь, с, ...) в соответствующих точках: и О(а, Ь, с, ...)=~(у! — ф(х;, а, Ь, с, ...Ц*.
(2) 1=! Подбираем параметры а, Ь, с, ... так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение: « 8(а, Ь, с, ...)=.5,'1уь-ф(х!, а, Ь, с, ...)1«=ш(п. (3) !=! (гл. чс!! фрикции нескольких первмвиных Итак, задача свелась к нахождению значений параметров а, Ь, с,..., при которых функция 8(а, Ь, с, ...) имеет минимум. На основании теоремы 1 ($ 17) следует, что эти значения а, Ь, с, ...
удовлетворяют системе уравнений или в развернутом виде: л [у! — !р(хс, а, Ь, с=! ,х,[у, — !р (х!з а, Ь, с=! ~ [у! — <р (х!з а, Ь, 1д~р(х!, а, Ь да 1д!р(х!, а, Ь (5) )тд!р (хь а, Ь, с, ° ..) сэ дс Л Л л ~ урх,. — а ~ х,'- — Ь ~ х! — — О, р=! !=! г=! а и ~~'.!у! — а ~, х! — Ьа=О. с=! ! ! Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и Ь.
Очевидно, что система имеет определенное решение и что Здесь имеется столько уравнений, сколько и неизвестных. В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения системы уравнений (5) и о существовании минимумафункции 3 (а, Ь, с, ...). Рассмотрим несколько случаев определения функции у = =!р(х, а, Ь, с, ...). 1. Пусть у =ах+Ь. Функция 3 (а, Ь) в этом случае имеет вид (см. выражение (2)) л 3 (а, Ь) = ~~~, [у! — (ах, + ЬЯ'.
(6) Это функция о двумя переменными а и Ь (х; и у! — заданные числа; см. таблицу на с. 277). Следовательно, — = — 2 ~~, [у! — (ах, + Ь)1 х, = О, дд !=! с ® — — — 2,~ [у! — (ах!+ Ь)1=0, !=! т. е. система уравнений (5) в этом случае принимает вид $191 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ при найденных значениях а и Ь функциями (а, Ь) имеет минимум *).
11. Пусть за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени у = ах'+Ьх+ с. В этом случае выражение (2) имеет вид Л 3 (а, Ь, с) =,.,''„[у; — (ах,'+Ьх;+с)1', (8] 1=1 Это функция трех переменных а, Ь, с. Система уравнений (5) принимает вид ~ [у,. — (ах",+Ьх!+с)|х,' = О. 1=1 л ~ [у. (ах!+Ьх;+ с)) х! =О, 1=! ч~!',[у, — (ахз.+Ьх!+с)1=О, 1=! л л ~у! — а Хх',— 1 ! 1=! Получаем систему линейных уравнений для определения неизвестных а, Ь, с. Из характера задачи следует, что система имеет определенное решение и что при полученных значениях а, Ь, с функция 5(а, Ь, с) имеет минимум.
П р и и е р. Пусть на основании зксперимеита получены четыре значения искомой функции рь ф(х) при четырех значениях аргумента (л=4), которые записаны в таблице: «) Это легко устанавливается и на основании достаточных условий (см. теорему 2 4 17). Действительно, здесь л л д«3 'с~ з дзд ч~ д'3 — =2г х!з — =2~ х, — =2л. дае х ' ' дадЬ ~ Ь дЬ« 1=! !=1 Следовательно, л л з — — ~ †) =4л д ха в 2 г х = 4 ~ (х! — х )з > Ор — > О.
даз дЬ« '1 да дбу' . ' ( . 'г) 7 даз у1>1!! 1(( или в развернутом виде: Л л л ~ у!х*, — а ~ х« — Ь ~и~~~ л л л ,Я у;х! — а ~'., х,'.— Ь Х х,'. — с Хх,',=О, 1=! л х,' — с ~~.", х! — — О, 1=1 л Ь ~ х! — сл=О. 1=! 1ГЛ. УН! Функции нескольких переменных 280 Будем искать функцию Ф в ваде линейной функции у=ах+ь. Составляем выражение 3(а, Ь): 3 (а, Ь)= ч~~', [йт — (ах;+Ь)1'. — — — --е 1=! ! ! Для составления системы (7) для определения коэффициентов а и Ь вЂ” .
° предварительно вычисляем е ~ ~~~ у!я!=21, ~~~ хе!=39! ! ! 1=! с=! 4 4 ! ! Х я!=11, ч; 91= 10. (7 и т=! 4 ! Система (7) принимает вид 21 — 39а — 11Ь=О, 1 10 — 11а — 4Ь=О. 1 Решая ису систему, находим а и Ь: а= — 26/35, Ь=159/35. Искомая прямая (рис. 190) есть 26 159 р= х+ 35 35' й 20. Особые точки кривой Понятие частной производной используется при исследовании крив)ях.
Пусть кривая задана уравнением г (х, у)=0. Угловой коэффициент касательной к кривой определяется по формуле дс др дх дх дс др (см. 9 11). Если в данной точке М (х, д] рассматриваемой кривой по край- дс дс ней мере одна из частных производных — и — не обращается дх ду в нуль, то в этой точке вполне определяется илп — или †.
Криду дх дх ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ э Эе) 28! вая Р (х, у) = 0 в такой точке имеет вполне определенную касательную. В этом случае точка М (х, у) называется обыкновенной точкой. Если же в некоторой точке М,(х„у,) имеем дР! дР1 »-» =0 и 1»» =0 дх 1х=„' ду 1„ то угловой коэффициент касательной становится неопределенным.
Определение. Если в точке М,(х„у,) кривой Р(х, у) =0 дР дР обе частные производные — или — обращаются в нуль, то такая дх ду точка называется особой точкой кривой. Следовательно, особая точка кривой определяется системой уравнений Р=О, — =О, — =О. дР дР дх ' ду Естественно, что не всякая кривая имеет особые точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
