32_PiskunovT1 (523111), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первоха хз образных следующие функции: Р(х)= — +1, Р(х)= — — 7 или ха вообще Р (х) = — +С (где С вЂ” произвольная постоянная), так как 3 ( )=' хз — +С) = х'. С другой стороны, можно доказать, что функциями хз вида — +С исчерпываются все первообразные от функции х'. 3 Это вытекает из следующей теоремы. Теорема. Если Рт(х) и Р,(х) — две иервоабразные от 4ункции ) (х) на отрезке [а, Ь), то разность между ними равна постоянному числу.
Доказательство. В силу определения первообразной имеем Р; (х) = ( (х), Р,' (х) =) (х) (1) при любом значении х иа отрезке [а, Ь1; Обозначим Р; (х) — Р, (х) = ~р (х). неопгеделвнныя интвгглл 316 1гл, х Тогда на основании равенств (1) будет г"; (х) — р; (х) = — ~ (х) — 1 (х) =О или ср'(х) =[у,(х) — г,(х)1'— = О при любом значении х на отрезке [а, Ь1. Но из равенства 1?' (х) = О следует, что ср (х) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа (см.
2 2 гл. 1У) к функции ~р(х), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [а, Ь]. Какова бы ни была точка х на отрезке [а, Ь), мы имеем в силу теоремы Лагранжа ф(х) — ф(а) =(х — а) ср' ($), гдеа(5<х. Так как ~р'($) =О, то ~р(х) — ~р(а) =О, или ~р (х) = ~р (а) . (3) Таким образом, функция ~р(х) в любой точке х отрезка [а, Ь| сохраняет значение <р(а), а это и значит, что функция ф (х) является постоянной на отрезке [а, Ь1. Обозначая постоянную <у(а) через С, из равенств (2) и (3) получаем Р,(х) — Р,(х) =С. Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции )'(х) найдена какая-нибудь одна первообразная Р(х), то любая другая первообразная для Г(х) имеет вид Р(х)+С, где С = сопз1. О п р е д е л е н н е 2. Если функция Р (х) является первообразной для Г(х), то выражение Р(х)+С называется неопределенным интегралом от функции )'(х) и обозначается символом ) ~(х) йх.
Таким образом, по определению, ) г (х) йх = Р (х)+С, если Р' (х) =~(х). При этом функцию ~(х) называют подынтегральной функцией, 1'(х) йх — подынпгегральным выражение и, знак ) — знаком интеграла. Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семей ство фу нкцн й у=Г(х)+С.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оу. Естественно возникает вопрос: для всякой лн функции ~ (х) существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что не для всякой.
Заметим, однако, без доказательства, что если функция Г" (х) непрерывна на отрезке [а, Ь1, то для этой функции суи(ествует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл). Выяснению методов, с помощью которых находятся перцообразяые (и неопределенные интегралы) от некоторых классов элементарных функций, посвящена настоящая глава, Нахождение первообразной для данной функции ~ (х) называется интегрированием функции Г" (х). Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от эле- ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ 2 21 ментарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. К этому вопросу мы вернемся в конце данной главы.
Из определения 2 следует: 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если Р' (х) =1(х), то и ( ~ Г (х) йх) = (Р (х) + С)' = 1 (х). (4) Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подь2нтегральному выражению: й() 1(х) йх) =)(х)йх. (5) Это получается на основании формулы (4).
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен зпгой функции плюс произвольная постоянная: ~ йР (х) = Р (х) + С. Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны йР (х)). В 2. Таблица интегралов Прежде чем приступить к изложению методов интегрирования, приведем таблицу интегралов от простейших функций. Непосредственно из определения 2 З 1 и таблицы производных (~ 15 гл. 111) вытекает таблица интегралов.(Справедливость написанных в ней равенств легко проверить дифференцированием, т. е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.) ха22 1. ) х" с1х=„+ +С (азь — 1). (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.) 2.
) — =1п1х1+С. 3. ~ з|пхйх = — созх+'С. 4. ) соз х с(х = з! п х + С. Г ах 5. ) —, = 1д х+ С. ах 6, ~ —, = — с(д х + С. 7. ~ 1~ х дх = — 1п ~ соз х ~ + С. 8. ~ с1дхйх=!п~з1пх~+С. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ зщ 1Гл. л 9. ) ЕЧх = е" + С. ( ) ~ а» Д х + г ах 11. ~ 1+» — — агс1нх+С. 1+х» Г Лх 1 х 11'. ~ — = — агс1к — +С. ' 3а»+х» а а дх »2 13'. ~ х = агсз!п — +С. 1/а~ — х» а 14. ( х =1п~х+1~ х'~а'~+С, ,) )Гх» ~ а» Замечание. В таблице производных ($ 15 гл. 1Ц) нет фор- мул, соответствующих формулам 7, 8, 11', 12, 13' и 14. Однако справедливость последних также легко устанавливается с помощью дифференцирования.
В случае формулы 7 имеем ( — 1п ~ соз х ~)' = — —" = 1~ х, сох х следовательно, ) 1нхдх= — 1п1созх~+С. В случае формулы 8 (1п ! 5!п х 1) = —. = с1к х следовательно, ~ с1д х дх = 1п ~ з1п х ~ -1- С. В случае формулы 12 (- ~ Г- — 1п~ — у = — 11п)а+х~ — 1п)а — хЦ'= 2а (а — х~) 2а следовательно, »»=а 1п~ — ~+С. Отметим, что последняя формула будет следовать также из общих результатов $ 9. В случае формулы 14 (1п1х+$~хх~а»1) = ~ — (1+ " ) следовательно, =!п1х+$' х'~ а'1+С, )/ха ~ а' Эта формула также будет следовать из общих результатов 3 10.
А 31 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА З1З Аналогично проверяются формулы 1Г и 13'. Заметим, что эти формулы будут выведены впоследствии из формул 11 и 13 (см. 3 4, примеры 3 и 4). $3. Некоторые свойства неопределенного интеграла ) 1(х) йх=г (х)+С, ~1(ах) йх= — Р (ах)+С. (3) Т е о р е м а 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов: 3У, (х) +1, (х)] йх = ) ), (х) йх+ ~ 1, (х) йх. (1) Для доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. На основании равенства (4) 3 1 находим (~ [1', (х)+1', (х)]Их) =), (х)+~,(х), ( ~), (х) ах+ ~ ~, (х) йх) = ( ~ ~, (х) йх) + () 1, (х) йх) = ~, (х)+~, (х).
Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (1) равны между собой, т. е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства. Следовательно, по теореме 3 1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства (1), на постоянное слагаемое.
В этом смысле и нужно понимать равен- ство (1). Тео рема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а= сонэ(, то ~ а1 (х) йх = а ~ ((х) йх. (2) Для доказательства равенства (2) найдем производные от левой и правой его частей: () а~(х) йх) =а1(х), (а ) )(х) йх) = а()г1(х) йх) =а1(х). Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует пони- мать равенство (2).
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила. 1. Если НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Х 320 Действительно, дифференцируя левую н правую части равенства (3), получнм ( ) 7 (ах) с(х) = / (ах), ( — Р (ах) ) = — (Р (ах)); = = — Р' (ах) а = Р' (ах) = 7(ах). Производные от правой и левой частей равны, что н требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
