32_PiskunovT1 (523111), страница 59
Текст из файла (страница 59)
3) Если подынтегральная функция зависит только от 1нх, то о! замена !их=у, х=агс!Ну, с(х= +, приводит этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим к з(пх и созх через 1н —, а следовательно, и через г! 3 121 интегрирование тригонометрических функция 343 к интегралу от рациональной функции: ) )с (1к х) Их = ') )с (!) —,. 4) Если подынтегральная функция имеет вид )с(з)пх, созх), но и!пх и созх входят только в четных степенях, то приме- няется та же подстановка !их=9, (2') так как 3!пвх и соз'х выражаются рационально через 1кх: соз х=, = +,, з|п'х=, = —,, с)х=— После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.
Пример 2. Вычислить интеграл 91п х 91Х. 3 2+сов х Решение. Этот интеграл летне привести н виду ) гт(совх)чнг хох. Действительно, Г 51п к ( в!и ха!и х ох ( 1 — сочах „2+сов х,) 2+сов х,) 2+сов Сделаем замену сов х= г. Тогда 91п х дх= — 919! в!пв х 1 — гв 3 2+совх 3 2+г ( 3 3'! + ) г' СО9' Х = — — 2г+3 1п (г+2)+ С= — 2 сов х+3 1п (сов х+2)+С. ох Пример 3. Вычислить ( —,. Сделаем вамену !ах=1: ,! 2 — Мпвх' Лх 3! (' ~11 2 — вшах ( !9 ),) 2+и / 1КХ 'ъ == асс!К =+С == асс!К~ =)+С. 5) Рассмотрим теперь еще один интеграл вида ~)т(з)п х, соз х)с(х— именно, интеграл, под знаком которого стоит произведение з!и хсозвх9(х (где т и и — целые числа).
Здесь рассмотрим три случая. а) ) 3!и" хсозехс(х, где т и п таковы, что по крайней мере одно из них — нечетио е число. Допустим для определенности, что а нечетное. Положим п=2р+1 и преобразуем интеграл: 3!п хсозвг+гхс(х= ~ 3!п хсозвгхсозх9(х= = ~ 3!и" х() — з)пвх)дс хох. нвопределвнныи интеграл (гл. х Сделаем замену переменной: з(пх=г, созхг(х=ог. Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим $ зш'" х соз" х с(х = $ (" (1 — (') Р г(1, а это есть интеграл от рациональной функции от 1. 4 ассах(совхсовхйх~(!в!ох)сохлых . Обоз- иачал в1пх=д совхс(х=б1, получим 1 —.'."=~ сов'х ('(1 — (в) Ж Г Лг Г М 1 1 З( Т 1 1 = — — + — +с.
3 вьзв х в1п х б) ~ з(п" х соз" хе(х, где лз и и — числа неотрицательные и четные. П оложим лз=2р, а=2д. Напишем формулы, известные из тригонометрии: з(п х= — — сов 2х, соз'х= — + — сов 2х. 2 2 (з) Подставляя в интеграл, получим з!и хсоз хнах=~ — — — сов 2х) !т — + — сов 2х~ г(х. ~~2 2 Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содер- жащие соз2х в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а).
Четные пока- затели степеней снова понижаем по формулам (3). Продолжая так, дойдем до членов вида ) созйхдх, которые легко интегрируются. Пр имер 5. 1'"=-~- '=1- выв х бх= — ) (1 — сов 2х)'Их= — ') (1 — 2 сов 2х+ сова 2х) с(х= 1 !гз = — (х — в!и 2х-1- — ~Г (!+сов 4х) бх = — — х — 1п 2 + в1п 4х1-+ в) Если оба показателя четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели.
Здесь следует сделать замену !их=( (или с(ух= 1). Пр имер 6. 31п х с(х Г 5!пах (в1пв в+сове х)в совах 3 с(х — ) !Двх(1+!ив х)вол. положим !кх=й тогда в=асс(я1, их= —, и мы пол ае — И= !в(!+!з) —, ~! (!+1) И = — + — + С= — + — +С. 3 5 $ Щ ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ З4б 6) Рассмотрим в заключение интегралы вида соьтхсоьпхг(х, ) в(птхсовлхс(х, ) в(птхв(ппхдх.
Они берутся при помощи следующих*) формул (тФп): сов тх сов пх = — [сов (т+л) х+ сов(т — л) х1, 1 яптх совах= — [яп (т+и) х+яп(т — и) х|, 1 ь! п тх яп лх = — [ — сов (т+ л) х+ сов (т — п) х|. ! 2 Подставляя и интегрируя, получим совтхсовлхг(х= — ) [сов(т+л)х+сов(т — л)х1ггх= 1 2 ) '.Ви+л2.ь "" ь — "~ ' ее 2 (т+и) 2 (щ — и) Аналогично вычисляются и два других интеграла. Пример 7.
1 г акт Зх 51п 2х 51п Ьхяп Злах= — ) 1 — совах+сов 2х) ах= — — + — +С. 2 ) 16 4 $13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических иодстановок Вернемся к интегралу, рассмотренному в 2 11, ~ )с (х, )г аха+Ьх+с) Нх, (1) Ьа где а ~0 и с — — ~0 (в случае а = 0 интеграл имеет вид П 2 10, 4п Ьз Ьтз при с — 4, — — 0 выражение ах'+Ьх+с=а~х+ — 1, и мы имеем 2~ дело с рациональной функцией, если а) О; при а (О функция $' ах'+Ьх+с не определена ни при каком значении х).
Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида [ Й (яп г, соь г) с(г, (2) который. рассмотрен в предыдущем параграфе. *) Зги формулы легко вывести следующим образом: с05 (пав(- и) х = с05 гих с05 их — 5!и юх 51п ихг с05 (ги — и) х = с05 игх с05 их+ 51п юх 51п их. Складывая эти равенства почленно и дели пополам, получим первую из приведенных трех фориул. Вычитая почленно и деля пополам, получим третью формулу. Вторая формула выводится аналогично, если написать аналогичные равенства для Мл (иг+и) х и 51п (ю — и) х и затем почленно их сложить. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1ГЛ. Х Произведем преобразование трехчлеиа, стоящего под корнем: '+Ь + =.(х+Ц'+(.— 4'„).
Сделаем замену переменной, положив х+ — =1, дх=д(. Тогда ь 22 У Р ах'+Ьх+с= )/а(2+ (с — — ~. 4и Рассмотрим все возможные случаи. да ь 1. Пусть а > О, с — — > О. Введем обозначения а=гп', с —— 4а = и'. В этом случае будем иметь ГХО*<.,=УУ ЬВ ЬВ 2. Пусть а >О, с — 4 <О. Тогда а=па', с — — = — и'. Сле. довательно, )~ ах'+ Ьх+ с = )гг из*12 — па. ЬВ ь 3, ПУсть а<О, с — — >О. Тогда ц= гпе с — = 2 С довательио, )у аха+Ьх+с = Упе — лг212. Ьа У СО у (О В у комплексное число при любом значении х.
Таким образом, интеграл (1) преобразуется к одному из следующих типов интегралов: 1. ~ Я (1, ~/т212+ п2)ДР. (3.1) ц. 12 ~у, О"'гу — ~ОУ. (3.2) 1П. 1 122 (1 )У пу лг212) Д1 (3.3) Очевидно, что интеграл (3.1) приводится к интегралу вида (2) л с помощью подстановки 1= — 1к г. Интеграл (3.2) приводится и к виду (2) с помощью подстановки 1= — зесг. Интеграл (3.3) и приводится к виду (2) с помощью подстановки 1= — з1п(. Лг ах Пример. Вычислить интеграл ~ р' (а2 — х212 $!41 интеГРАЛЫ, НЕ ВЫРАЖАгощиеся В КОИЕчНОМ ЕИде ЗЗт Решение. Это — интеграл типа 1П.
Сделаем замену «=аз!лг, тогда 4!«=асов «4)г, 4!«(' асовг4!г ('псов«аз*) 1 (' дг уг(ав «4)з ) )/(ав двв!пав)в ) авсоввг ав,) сов*г 1 ! в!и г 1 в!п г 1 к = — з !Е г+С= — — +С= — — — +С= — +С, аз ав сове ав р"! з,.пвг а' у'дв „в й 14. 0 функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции В 2 1 гл. Х мы уже отмечали (без доказательства), что всякая функция 1(х), непрерывная на интервале (а, Ь), имеет на этом интервале первообразную, т. е. существует такая функция г" (х), что Р' (х) = 1 (х). Однако н е в с я к а я перв о о б р а з н а я, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Рис.
209. Рис. 208. Таковы первообразные, выраженные интегралами ~ е к'4(х, — г""-' ' — 4)х, ) — 4(х, ) Г 1 — явз!пвхс)х, ) —,„, и многие другие. Во всех подобных случаях первообразная представляет собой, очевидно, некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций. Так, например, та из первообразных = ! з " с)х+С, кото- 2 Г 4 рая обращается в нуль прн х=0, называется функпией Лапласа и обозначается Ф(х). Таким образом, Ф(х)==~ в с(х+ С, -х* если Ф(0) = — О. Эта функция хорошо изучена.
Составлены подробные таблипы ее значений при различных значениях х. Как это делается — мы увидим в 2 21 гл. Х)!1 (т. 11). На рис. 208 и 209 изображены графин подынтегральной функции у = е " и график функции Лапласа у=Ф(х). е) г' ! — в!п'г=)сонг); мы длн определенности остзизвлизвемсн лишь нв одном случае: )сонг)=сонг. неопределенный интеГРлл (гл. х Та из первообразных ~)/'1 — й'3!Н*хс(х+С (й < 1), которая обращается в нуль при х=О, называется эллиптическим интегралом и обозначается Е(х): Е (х) = ) ) ' 1 — аз 3!Нз х с(х+ С„если Е (О) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
