32_PiskunovT1 (523111), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

С во й ство 5. Если функция 1(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то при любой последовательности разбиений отрезка [а, Ь] на отрезки [х1 „, х;1, не обязательно путем присоединения новых точек деления, если только шах Ах1 — О, нижняя интегральная сумма з' и верхняя интегральная сумма з' стремятся к пределу з, определенному в свойстве 3. Доказательство. Рассмотрим последовательность разбиений последовательности верхних интегральных сумм з„, определенных в свойстве 2. При любых значениях и и т (на основании неравенства (18)) можем написать з„*,<з„.

Переходя к пределу нри и — оо, на основании (15) можем написать з„*< з. Аналогичным способом докажем з < з,',. Итак, з' < з<з'„, или з — з' )О, з* — з)О. (22) Рассмотрим предел разности 1нп (з" — з„*), Так как функция и!ах Ьх 0 ! 1(х) непрерывна на замкнутом отрезке [а, Ь], то (так же как и при доказательстве свойства 3) докажем (см.

равенство (16)), что 1пп (з* — з*) = О. и!ах Ьх -!. 0 Перепишем последнее соотношение так: 1пп [(з* — з) + (з — з„')] = О. паах Ьх "+ 0 На основании (22) каждая из разностей, стоящих в квадратных скобках, неотрицательна. Следовательно, 1пп (з„' — з) = О, 1пп (з — з„') = О, и!ах Ьх ° -!. О ! и!»х Ьх ° -а О 1 (23) и окончательно получаем 1пп з„'=з, 11ш з* = з, и!ах Ьх; -а 0 и!ах Ь»1-а 0 что и требовалось доказать.

Теперь можно доказать и сформулированную выше теорему. Пусть 1(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим произволь- ОПРВДВЛЕННЫй ИНТЕГРАЛ ~ГЛ. К1 и НУЮ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ ИНтЕГРаЛЬНЫХ СУММ З„= ЛЧ5п (($;) ЛХ; та!=! ' кую, что шахЛх; — О, 5; — произвольная точка отрезка 1х; о х). Для данной последовательности разбиений рассмотрим соответствуюпгие последовательности верхних и нижних интегральных сумм з„ и з„.

Для каждого разбиения будут справедливы соотношения (2): з„ с. з„ С з„. Переходя к пределу при так Лх; — О и пользуясь равенствами (23) и теоремой 4 $5 гл. П, получаем 1пп з,=з, где з— !пах Ах. О ! предел, определенный в свойстве 3. Этот предел, как уже говорилось выше, и называется опредеь ленным интегралом ) 1(х)бх. Итал, если 1(х) непрерывна на оти резке (а, Ц, то ь 1пп ~1(К;) Лх;= ) ~(х)а(х.

!пах Ах;-!. П (24) а ь а ~1(х)бх= $1ЯГ11=... = ~)'(г)бг. Замечание 2. При введении понятия определенного интеь грала ~1(х)бх мы предполагали, что а(Ь. В случае Ь<а приа мем по определению ь и ~ 1 (х) Йх = — ~ 1(х) дх. (Еб) а а о а Так, например, ) ххах= — ) ххах. а о Отметим, что среди разрывных функций есть как интегрируемые, 'гак и неинтегрируемые. Замечание 1.

Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции 1(х) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой. Поэтому, не изменяя величины определенного интеграла, моиг!Ио заменить букву х любой другой буквой; ОпРеделенныЙ интеграл $21 Замечание 3. В случаеа=Ь полагаем по определению, что для любой функции Г(х) имеет место (26) Это естественно и с геометрической точки зрения.

В самом деле, основание криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь этой криволинейной трапеции равна нулю. ь Пример 1. Вычнслнм интеграл )»хг(х (Ь> а). а Р е ш е н н е. Геометрнческн задача эквнвалентна вычислению плошадн !с трапеции, ограниченной линиями у=»х, х=а, у=е (рнс. 215). Функция р=»х, стояшая под знаком интеграла, непрерывна, Следовательно, для вычисления оцределенного интеграла мы вправе, как это было замечено выше, произвести разбиение отрезка [а, Ь] произвольным способом н произвольно выбрать промежуточные точки $». Результат вычнслення определенного интеграла не зависит от способа построения интегральной суммы — лишь бы шаг резоне. ння стремнлся к нулю.

Делам отрезок [а, Ь] на в равных отрезков. Рнс. 2!5. Рнс. 216. Ь вЂ” а Длина Ьх каждого частичного отрезка равна Лх= —; это число н будет шагом разбиения. Точки деления имеют координаты ха=а, хт=а+Ьх, ха= = а-[-2Ьх, ..., х„=а+пах. В качестве точек $» возьмем левые концы каждого отрезка; юг=а, ае=а+Ьх, аа=а+2Лх, ..., 5„=а+(л — 1) Ьх. Составим интегральную сумму (!). Так как 1(а!) =Ць то з„=цг Ьх+»23 Ьх+... +»а„бх= =»аЬх+[»(а+Ьхй Ьх+...+(» [а+(л — !) ЬхЦ ах= =Ь(а+(а+Ьх)+(а+2Ьх)+... + [а+(и — 1) ЬхЦ Ьх= =й(па+[ах+2Ьх+., +(н — !) Ь»ЦЬх= =»(па+[1+2+...

+(а — !Ц Ьх) Ьх, Ь вЂ” а а (а — 1) где Ьх= —, Учитывая, что 1+2+, „+(а — 1)= (как сумма гео- о 2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Х! метрической прогрессии), получим и(л — 1) Ь вЂ” а1Ь вЂ” а Г л — 1 Ь вЂ” а"х з„=й ~..+ — 1!' — = Ь ![а+ — ~ (Ь вЂ” а). 2 и ) л [ л 2 л — 1 Г Ь вЂ” а1 Ь— Так как 1пп — =1, то Вп! з„= !С ь й [а+ — ~ (Ь вЂ” а) =Ь вЂ” ° х, л ' „„" ~ 2 ~ 2 ь о' — аз Итая, ~йх!Гх=й —.

2 а Площадь АВЬа (ряс. 215) легко вычислить методами элементарной геометрии. Результат получится тот же. ь П р и м е р 2. Вычислить ) хз !(х. 0 Р е шеи не. Данный интеграл равен площади !3 кряволявейной трапепин, ограниченной параболой у=ха, ординатой х=Ь и прямой у=О (ряс. 216). Разобьем отрезок [О, Ь) на л равньш частей тачками ха=О ха= бх, хх =2йх, ..., х =Ь=и бх, бх=Ь)и. За точки а! возьмем крайние правые тачки каждого яв отрезков. Составим интегральную сумму: 3 а!зал+хзлх+...+хДЬ =-[(Лх)'Ьх+(2йх)'Лх+" +("ах) Л ) (йх)з[1з ).2х [ . [ лз) Как известно, П+2з+Зх+...+и'=, поэтому з„ л (и+ Ц (2и+ 1) 6 Ьз л(л+1) (2л+1) Ьх г ! Т Г ! х, Р Ьз = — ~1+ — у! ~2+ — [; 1!ш з„=()=~ хах(х= —.

ла 6 6~ л)1 л)'и~ " ~ 3 ь П р и м е р 3. Вычислить ) т г(х (т = сола!). а Решение. Ь и л т!(х= Вгп ~ тбхг= 1!ш т Ч~~~~ ах! а шахах -ао ! ! шах ахг-аа и =т Ъпг ~~ йхг=т(Ь вЂ” а). хах - Ог-~ Здесь ~я~~ йх! есть сумма данн отрезков, на которые разбит отрезок [а, Ь[.

! =! Прн любом способе разбиения зта сумма равна длине отрезна Ь вЂ” а. Ь Пример 4. Вычислить ) ех!(х. а Решение. Снова разделим отрезок [а, Ь) на л равных частей: ха=а, Ь вЂ” а ха=а+ба! „„х„=а+лба; ох= —, За точки 3! вазьмем левые нрайние Ьз) ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 367 точки. Составим интегральную сумм)с з„=ею ах+еююьх ах+...

-(-ею+<а-м Ах ໠— ею (1 ( еЬ» 1 еюах ( ...-1-ео -мах) Ах Выражение в скобках есть геометрическая прогрессии со знаменателем еь* и ею Ьх ах первым членом 1, позтому з„=ею ах=-ее (е" А" — 1) . Далее, еь» 1 еь» — 1 ' ах 7 г имеем ль»=Ь вЂ” а, Ню =1. ~По правилу Лопиталя 1нп — = А» ю еьх — 1 ю е* — 1 1 = пю — =1.1 таким образом, 1пп зх=!г=ею(еь-ю — 1) !=ею — е", т. е.

х ее* / л ь е" ох=ею — е". й 3. Основные свойства определенного интеграла Свойство 1. )тостоянный мнолситель можно нееыносить за знак определенного интеграла: если А сопз(, та ь ь $ Ау (х) ах = А ) 7 (х) ах. Д о к аз а т ел ь с т в о. ь л ~ А!(х)с(х= 1(ш е*г- о!=! Ау ($!) гзх! = А 1пп Х ~($!) Лхь=А~ ~(х) йх. |нюх А»->О ! 1 С в о й с т в о 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функ!(йй равен алгебраической сумме интегралов Замечание 4. Только что рассмотренные примеры показывают, что непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями.

Даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются очень простыми (йх, х', е*), этот способ требует громоздкихподсчетов. Нахождение же определенных интегралов от более сложных функций приводит к еще ббльшим трудностям. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Ньютоном и Лейбницем, использует глубокую связь, существукицую между интегрированием и дифференцированием.

Изложению и обоснованию этого метода посвящены следующие параграфы настоящей главы. опРедвлвнныи интвгРАл !Гл. х! от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых Ь ь Ь ) (11 (х) + ~а (хЦ дх = ~ ~! (х) дх+ ~ ~х (х) >(х. (2) Доказательство.

ь и 1У,(х)+1,< Ц Ь= 1!т Х (1!(й!)+1,(~,)1Л,.= Г а и 1пп ~~ч~, 'Г!($!)Лх!+ ч~~' ,1>($!)Лх! п3ах Ьх>- О ! 1 >=1 и и — йп Д Гх ($!) Лх!+ 1Пп Х Г, К!) ох!= еах Ьх.->О >=1 п>ах Ьх.-| 01=1 Ь Ь = ~ 1! (х) !(х + ~ 1> (х) с(х. Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых. Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая а <Ь, остаются в силе и при а)Ь.

Однако следующее свойство справедливо прн а < Ь: Свойство 3. Если на отрезке (а, Ь1, где а <Ь, функции Г(х) и Ор(х) удввлетворяют условию )(х) <>р(х), то ь ь 1 ) (х) >1х < 1 !р (х) дх. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность Ь ь Ь $ !р(х) !(х — $ Г(х) дх = $ Г>р(х) — Г(х)1с(х= а а а а — .Х ~>р($!) — 1($!ЦЛх!.

>пах Ьх! "а О > = 1 Здесь каждая разность !р($!) — ГЯ!) )О, Лх!)О. Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, неотрнцательна вся сумма ь и неотрицателен ее предел, т. е. ) (>р(х) — ~(хЦс(х'~0, или а ь 1>!аа — !!!ь!а~а, .>", .а>ь - !а!. а а Если 1(х) ) 0 и !р(х) ) О, то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис. 217). Так как !р(х))1(х)> 1З1 ОСНОВНЫЕ СЕОЙСТЕА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА зев то площадь криволинейной трапеции аА,В,Ь не больше площади криволинейной трапеции аА,В,Ь. Свойство 4. Если т и М вЂ” наименьшее и наибольшее значения функции 1'(х) на отрезке ~а, Ь1 и а(Ь, то ь т (Ь вЂ” а) < ) ) (х) дх ( М (Ь вЂ” а).

Характеристики

Список файлов книги