32_PiskunovT1 (523111), страница 65
Текст из файла (страница 65)
!а ь с-ос Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл назы- вают несобственным сходящих!ся интегралом, в противном случае интеграл называют расходящимся. Если функция )(х) имеет разрыв в левом конце отрезна [а, с] (т. е. при х=а), то по опр еделени ю е с ) )'(х) Нх = !пп ! 1 (х) с(х. ь а+о,", Если функция !'(х) имеет разрыв в некоторой точке х=х, внутри отрезка [а, с1, то полагают е х, е ) 1 (х) дх = ~ 1 (х) дх+ ~ 1 (х) дх, а а сс если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равен- ства, существуют. ! нх П р и м е р 7.
Вычислить ) )с ! — х о Р е ш е н и е. 1 ь 1 — — ~à —— с!к . Г с!х . — ь Нш ! — = — Пш 2'и~1 — х1е ь-~-.3 У~ .— ь .-е о о — 1!ш 2 (Г' 1 — Ь вЂ” 1) = 2. ь-+!-о 1 Г с!х П р имер 8. Вычислить интеграл ка -! нпсовствпнные интегралы Реш ение. Так как внутри отрезка интегрирования существует точка я=о, где подынтегральная функция разрывна, то интеграл нужно представить ! ! Г Вх Г Вх Г Вх как сумму двук слагаемых: ) — а= Нш ~ — + 1!ш ) —. Вычисе,-~-о х ез +О -! -! ез е, Г Их . 1!з 1 пи ) — = — 1пп в,--о х' е,- -ех)-! -! лим каждын предел отдельно / 1 1 — )пп !1 — — — ) =оч.
Следовательно, на участке ! — 1, 0) интеграл е, -е! е! ! Г Вх, !' 1 расходится. Пш ) —,= — 1!ш !11 — — ) =оь. Значит, на участке *~-~+0)хе-~~.о~в) г (О, !) интеграл также расходится. Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке ( — 1, 1), Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке х =О, то получили бы ! Г Вх 1!! /1 ! неверный результат. Действительно, ) —,= — — ~ = — ~ — — — ) = — 2, '3 х*= х~ != ~Т !)=- -! что невозможно (рис.
226). Замечание. Если функция 1(х), определенная на отрезке '1а, Ь1, имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва а„а„... ..., а„, то интеграл от функции 1(х) на отрезке (а, Ь) определяется следующим образом: ь щ ш ~1(х) г)х= ~ 1(х) с)х+ ~ ) (х) ь)х+... а а а, ь + ~ 1(х) ь(х, аа если каждый из несобственных интегРис. 226. ралов в правой части равенства сходится. Если же хотя бы один из этих интегралов расходится, то и ь ) Г(х) г(х называется расходящимся. Для определения сходимости несобственных интегралов от раз- рывных функций и оценки их значений часто могут быть приме- нены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами.
Теорема Е. Если на отрезке [а, с| функции 1(х) и гр(х) разрывнь! в точке с, причем во всех точках этого отрезка ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ !гл. х! выполнены неравенства ф (х) ) 1 (х) ) О, и ! ф(х) дх сходится, то ~ )'(х) с[х также сходится. й й Теорема [Г. Если на отрезке [а, с') функции ! (х) и ф(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства ( (х) ) 1р (х) ) О, и ~ гр(х) дх расходится, то и ) ) (х) дх расходится. й й Теорема 11!'. Если((х) — функция, знакопеременная на отрезке [а„с1, разрывная только в точке с, и несобственный интегй рал ) [)'(х) [с[х от абсолютной величины этой функции сходится, а то сходится также интеграл ) г (х) йх от самой функции. В качестве функций, с которыми удобно сравнивать функции, стоящие под знаком несобственного интеграла, часто берут с 1)(с — х)". Легко проверить, что ( — йх сходится при а<1, ,1 (с — х)" й расходится при а ) 1.
Это же относится и к интегралам ) „дх. 1 (х — й)и а 1 Пример 9. Сходится ли интеграл ) Вх. 1 х+ 4хз Решение. Подынтегральиая функция разрывна в левом конце отрезка 1 ! 1 [О, !1. Сравнивая ее с функцией = , имеем < = . Ух' У х+4хз Ух 1 Г вх Несобственный интеграл ) —, существует. Следовательно, несобственхн о ! 1 ный интеграл от меньшей функции, т. е. — йх, тоже существует. й' У х+ 4хт з«1 пиивлижвииои вычислении опивдвлвииых иитвггллов й 8. Приближенное вычисление определенных интегралов В конце главы Х указывалось, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции.
В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона — Лейбница затруднительно, и применяются различные методы и р и б л и ж е н н о г о вычисления определенных интегралов. Сейчас мы изложим несколько способов приближенного интегрирования, исходя из понятия определенного интеграла как предела суммы. 1. Формула прямоугольник о в.
Пусть на отрезке [а, Ь1 задана непрерывная функция у=1(х). Требуется вычислить определенный интеграл » $ 1(х) дх. Разделим отрезок [а, Ь'1 точками Рис. 227. а=х„х„х„..., х„=Ь на и равных Ь вЂ” а частей длины ох: йх= —. и Обозначим далее через у„уо у„..., у„-„у, значения функции 1(х) в точках х„х„х„..., х„, т.
е. р«=1(х«), у,=)(х,),... ... У„=1(х„). Составим суммы у«ох + у, Ьх+... + у„, пх, у, Лх+ у«ох+... ... +у„бх. Каждая из этих сумм является интегральной суммой для 1(х) на отрезке [а, Ь'1 и поэтому приближенно выражает интеграл: ь ) 1(х)дх- — (у„+р,+у,+... +у„,), (1) « ~1(х) г(х ж — (д,+у, +... +у„). а Это и будут формула прямоугольников. Из рис. 227 ясно, что если )(х) — положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (1') — площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число и (т.
е. чем ь — ат меньше шаг деления Лх= — „ опиидвл вин ын интвгРАл ггл. хь 11. Формула трапеций. Естественно ожидать, что мы получим более точное значение определенного интеграла, если данную кривую у = 1(х) заменим не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 228). Тогда площадь криволинейной трапеции аАВ6 заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами АА„А,А„..., А„,В.
Так как площадь первой из этих трапеций равна "— '2 Лх, площадь второй равна — 2'Ьх и т. д., то ь 1(х) ах «"'+ "' Лх+"'+е'Лх+ +к" '+"" Ьх1 или 2 2 2 /' а ь ) 1(х) "х — „«2 +уь+уь+ ° "+у,-т) ° (2) а Это и есть формула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части формулы (2), есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (1) и (1'). Число и выбирается произвольно.
Чем больше будет это число и чем меньше, следовательно, будет шаг Лх= —, тем с боль- ,уъ'сьу Г шей точностью сумма, написанная Я~ в правой части приближенного ра- Д венства (2), будет давать значение Д интеграла. 111. Формула п арабол (ф о р м у л а С и м п с о н а) . Разде/ 4 лим отрезок (а, Ь1 на чет ное у 4-т число равных частей п=2т.
Плоу / щадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум л отрезкам (х„хД и (хо хь| и огра- ниченной заданной кривой у=~ (х), Рис. 228. заменим площадью криволиней- ной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки М(х„у,), М,(х„у,), М,(х„у,) и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис. 229). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид У=Ах'+Вх+С.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции. зе1 пгивлижвннов вычисление опгвднлаиных интвгиллов ззт Лемма. Если криволинейная трапеция оераничена параболой у = Ах'+Вх+С, осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2Ь, то ее площадь равна Ь В= з (у+4у,+у,), (3) где у, иу,— крайние ординаты, а у,— ордината кривой в середине отрезка. Доказательство. Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис.
230. Рис. 229. Рис. 230. Коэффициенты в уравнении параболы у=Ах'+Вх+С определяются из следующих уравнений: если х,= — Ь, то у,=АЬ' — ВЬ+С, если х,=О, то ух= С, если х =Ь, то ух= АЬ +ВЬ+С' (4) Считая коэффициенты А, В, С известными, определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла: 8 = ') (Ах'+Вх+С)йх = ~ — + — +Сх1 = — (2АЬ'+6С). Г Ахх Вхи 1л а 3 2 -и Но из равенств (4) следует, чтоу,+4у,+у,=2АЬ'+6С.
Слеа довательно, В= — (у,+4у,+у,), что и требовалось доказать. Вернемся снова к основной нашей задаче (см. рис. 229). Пользуясь формулой (3), мы можем написать следующие звв ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1гл. хг приближенные равенства (Ь = 1зх): х, ~ 1(Х)Г(ХЮ З Ьа+4уг+уз) а=а, ~ ~ (х) с(х ж — (у,+ 4у,+ у,), 1 (Х) ГГХ З Ь'"-, + 4у,„-, + ухи) . Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение: Ь ~) (х) с(х ж — (уа+4у +2у*+4уа+ ° ° +2у.
-2+4уа -1+ у. ) и или (5) ) 1(Х) Г(Х б Ьа+Ува+2 (Уз+Ух+ ° ° ° +Уьа 2) + +4(у,+у,+...+у, 1)1. Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления 2гп произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства (5) дает значение интеграла *). 2 Г а'.с Пример. Вычислить приближенно 1п2=~ —. о х' 1 Решен ие. Разделим отрезок [1, 2) на 1О равных частей (рис 221). 2 — 1 Полагая Ах= — =О,1, составим таблицу значений подынтегральной функции: 1О *) Для того чтобы знать, сколько точек деления надо взять, чтобы подсчитать интеграл с заданной степенью точности, можно воспользоваться формулами оценки погрешности, получающейся прн приближенном вычислении интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
