32_PiskunovT1 (523111), страница 61
Текст из файла (страница 61)
~ 15з х зес' х г(х. 7 5 Оав. — + — +С. 202. 3т —. Отв. 1ех+ — 1Взх+С. 203. ~ — Ех. 18тх 18зк Г 'Лх ! г' соз х 7 5 ' ',) совах ' 3 ,) вакх Г в!иах3к 3 Оав, С вЂ” созесх. 204. ~ . Отв. — созе!а х+3 соз '!з к+С. ГЛАВА Х! ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интегр а л — одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, обьемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д.
сводится к вычислению определенного интеграла. Рис. 210. Рис. 211, з„=т!Ах!+тсЛх,+... +т„бх„= ~~~, т; Ахи 1=! и и„= М, Кх!+ М, Ах, +... + М„йх„= ~ М1 Ах,. 1=! (2) Пусть на отрезке [а, Ь1 задана непрерывная функция у=1(х) (рис. 210 и 211). Обозначим через и и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок [а, Ь1 на и частей точками деления а=х„х„х„..., х„„,.
х„=Ь, причем х, < х, < х, « ... х„, и положим х, — х, = Ах„х, — х, = = Ах„..., х„— х„,= Ах„. Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции 1". (х) иа отрезке [х„х!1 через т, и М„ на отрезке [х„ х,] через т, н М„ ..., на отрезке [х„„„ х„1 через т„и М„. Составим суммы НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ Сумму з„называют нижней интегральной суммой, а сумму в„— верхней интегральной суммои.
Если ~(х))0, то нижняя инте~ральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры» АС»)Ч,С,ЬГ» ... ... С„,У„ВА, ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры» АК»С»К1 " ° С.-»К -»С„ВА, х У ограниченной «описанной» ломаной. Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.
а) Так как т«(М, для любого ( ((=!, 2, ..., н), то на основании формул (1) и (2) имеем в„(з . (з) «' (Знак равенства будет только в слу- Рис. 212. чае, если )". (х) =сопз(.) б) Так как т,)т, т, т, ..., т„' т, где т — наименьшее значение ~(х) на (а, Ь1, то з„=т,Ьх,+т Ьх«+... +т„Ьх„) тЬх,+тЬх,+... +тЬх„= = т(Ьх,+Ьх,+... +Ьх„).=т(Ь вЂ” а).
Итак, в„) т(Ь вЂ” а). (4) в) Так как М,(М, М,(М, ..., М„(М, где М вЂ” наибольшее значение Г(х) иа (а, Ь1, то з„= М,Ьх, + М,Ьх, + ° .. + М „Ьх„( МЬх, + МЬх, +... + М Ьх„= =М(Ьх,+Ьх,+... +Ьх„) =М(Ь вЂ” а), Итак, з„(М (Ь вЂ” а). (5) Соединяя вместе полученные неравенства, имеем (б) т(Ь вЂ” а)-" з„(з„(М (Ь вЂ” а).
Если ~(х))0, то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис. 212), так как произведения т(Ь вЂ” а) и М (Ь вЂ” а) соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника АЬ,Т,»В и «описанного» прямоугольника АХОВ, !Гл. х! ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ й 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла Продолжим рассмотрение вопроса предыдущего параграфа. В каждом нз отрезков х„ х«1, [х„ х,], ..., [х„ „ х„1 возьмем по точке, которые обозначйм $„ $„ ..., $„ (рис. 213): х, < $1 < х„ У=НФ~ Рис. 213. хг < $» < х„..., х„, < $„< х„.
В каждой из этих точек вычислим значейие функции 1($!), [($«), ..., ~($„). Составим сумму л з„=) 6,) йх,+[И йх,+". +Ю„) Лх„= Х [6!) йх! (1) Эта сумма называется интегральной суммой для функции ~(х) на отрезке [а, Ь1. Так как при произвольном 5н принадлежащем отрезку [х, „х!1, будет т; < Г'(31) <М, и все 11хг) О, то т1 Г!х! < [ ($!) Нх! < М, Лхн следовательно, л л л Х т;йх; < Х Пй!) Лх! < Х М; Л !. ! 1 ' '= =! з„< з„< з„. (2) Геометрический смысл последнего неравенства при (". (х) ) О состоит в том, что фигура, площадь которой равна з„, ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной. Сумма з„ зависит от способа разделения отрезна [а, Ь| на отрезки [х! „х!1 и от выбора точек 5! внутри получающихся отрезков. Обозначим теперь через шах [х; „х;1 наибольшую из длин отрезков [х„, х11, [х„х«1,..., [х „х„1.
Рассмотрим различные разбиения отрезка [а, Ь1 на отрезки [х1 „х!1 такие, что шах [х, „х!1- О. Очевидно, что прн этом число отрезков и в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения $н можно составить интегральную сумму .= Х ~В,)й.« (з) ОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ 359 Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, прн которых щахбхс — О, при этом п — оо.
При каждом разбиении выбираем значения $с. Предположим, что эта последовательность интегральных сумм") з„" стремится к некоторому пределу л 1пп з„*= 1пп ч., 1" (зс) Лхс = з. схвхлхС- О тахлхС- ОС=! (4) Теперь мы можем сформулировать следующее Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка (а, Ь1 таких, что спахйхс О, и при любом выборе точек $с на отрезках 1хс „хс) интегРальнаЯ сУмма .„=116,)бхс стремится к одному и тому же пределу з, то этот предел называют определенным интегралом от функции ) (х) на отрезке )асЬ1 и обозначают ь ) 1(х) с1х.
а Таким образом, по определению ь 11гп ~„' Г($с) Лхс — — ~1(х)с(х. вввхлхС в Ос-с а (6) в) В данном случае сумма является упорядоченной переменной величиной. Число а называется нижним пределом интеграла, Ь вЂ” верхним пределом интеграла. Отрезок 1а, Ь1 называется отрезком интегрирования, х — переменной интегрирования. Определение 2. Если для функции Г(х) предел (6) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке 1а, Ь1. Заметим, что нижняя интегральная сумма з„и верхняя интегральная сумма з„являются частными случаями интегральной суммы (5), поэтому если Г(х) интегрируема, то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу з, и потому на основании равенства (6) можем написать ь 1пп ~~„тсбхс — — ~ 1(х) дх, (у) мах л "с о с - с ь 31пт ХМса с= 11(х)" ' лхс- о, ОпРеделенныЙ интеГР»л !ГЛ.
Х! Если построить график подынтегральной функции у=) (х), то в случае ( (х) ) О интеграл ь ) ( (х) дх а будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми х=а, х=Ь и осью Ох (рис. 214). Поэтому если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= ~(х), прямыми х = а, х= Ь и осью Ох, то эта площадь Я вычисляется с помощью интеграла: ь О = ) 1(х)дх. Я (8) Докажем следующую важную теорему. Теорема 1. Если функция 1(х) непрерывна на отрезке [а, Ь1, то она интегрируется на этом отрезке. Доказательство.
Снова разобьем отрезок [а, Ь1 (а ( Ь) на отрезки [х„х!1, [х„х,), ..., [х! „х!1, ... ..., [х„„х 1. Составим нижнюю и верхнюю йнтегральиые суммы: л зл= ~~'., т,ах!, !=! л ел = ~ч~~ М! Ьх!. (19) 1=! (9) Для дальнейшего установим некоторые свойства верхних н нижних интегральных сумм.
Свойство 1. При увеличении числа о)преэков, на которые мы разбиваем отрезок [а, Ь] путем добавления новых точек деления, Нижняя интегральная сумма может только возрастать, а верхняя интегральная сумма только убывать. Доказательство. Пусть отрезок [а, Ь| разбит на и' отрезков путем добавления новых точек (п' > и). Если какой-то отрезок [х» „х»1 будет разбит на несколько отрезков, например, на р„ отрезков, то в новой нижней интегральной сумме э„, отрезку [х» „х»1 будет соответствовать р» слагаемых, которые мы обозначим через г*„.
В сумме э„этому отрезку соответствует одно слагаемое т»(х„— х» !). Но для суммы з' н величины т„(х„— х»„!) справедливо неравенство, аналогичное неравенству (4) $ 1. Мы можем написать за» ) т» (В» т»-!) ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Написав соответствующие неравенства для каждого отрезка и суммируя левые и правые части, получим з„, ~ з„(п') и). (11) Свойство 1 доказано. Свойство 2. Нижняя интегрируемая сумма (9) и верхняя интегральная сумма (10) при неограниченном увеличении числа отрезков путем добавления новых точек деления стремятся к некоторым пределам з и з. Доказательство.
На основании неравенства (6) $1 можем написать: з„(М (Ь-а), т. е. з„ограничена при всех и. На основании свойств 1 з„монотонно возрастает при возрастании и. Следовательно, на основании теоремы 7 о пределах (см. $ 5 гл. 11) зта переменная величина имеет предел; обозначим его через Гн 1пп з„=з. (12) Аналогично устанавливается, что з, ограничена снизу и монотонно убывает. Следовательно, з, имеет предел, который мы обозначим через з: 1пп з„=з. Свойство 3.
Если функция 1(х) непрерывна на замкнутом отрезке (а, Ь1, то пределы з и з, определенные в свойстве 2 при условии, что тпахйх; — О, равны. Этот общий предел обозначим через ен з = 3 = 3. (13) Доказательство. Рассмотрим разность верхней и нижней интегральной суммы: з„— з„= (М, — т,) Ах, + (М, — т,) Ах, +...
+ (М~ — т;) Ах~+ и ... + (̄— т„) Ьх„~~'„~ (М~ — т;) Ах;. (14) В га Обозначим через г„наибольшую из разностей М,— т, при данном разбиении: е„=- шах (М; — т,). Можно доказать (на чем мы останавливаться не будем), что если функция 1(х) непрерывна на замкнутом отрезке, то при любом ОПРЕДЕЛЕННЫЯ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. Х[ способе разбиения отрезка 1а, Ь| е„- О, если только шах ох[ — 0: 1пп е„= О. (15) ° аах Ьк; -а О Свойство непрерывной функции на замкнутом отрезке, выражаемое равенством (15), называется равномерной непрерывностью функции. Итак, мы будем пользоваться теоремой: Непрерывнан функция на замкнутом отрезке равномерна непрерывна на етом отрезке. Вернемся к равенству (14).
Каждую разность М,— т, в правой части заменим не меньшей величиной е„. Получаем неравенство в„— з„< е„аххх+е„ахх+... +е„ах„= =е„([[х,+йха+... +Ах„) =в„(Ь вЂ” а). Переходя к пределу при шах Лх; 0 (и- со), получаем 1Ьп (з„— з„) < 1нп е„(Ь вЂ” а) = (Ь вЂ” а) Иш е„= 0,(16) шах Ьк -аь п~ах Ьк.-аь [ [ пах Ьх ° -аа [ т. е. при любых и, и п,. Доказательство.
Рассмотрим разбиение отрезка [а, Ь) на п,=п,+п„отрезков, где точками деления будут точки деления первого и второго разбиений. На основании неравенства (3) $ 1 имеем з„, < в„,. (19) На основании свойства 1 имеем в„,<в„„ зл ~~ел . (20) (21) Пользуясь соотношениями (20) и (21), можно расширить неравенство (19): Ишз,=1йпз„=в, (17) или з =з =в, что и требовалось доказать. Свойство 4. Пусть з„и з„— нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка 1а, Ь1 на и, и соответственно на и, отрезков. Тогда имеет месив неравенство в„, <з„, (16) ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ИЛИ что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
