32_PiskunovT1 (523111), страница 56
Текст из файла (страница 56)
11. Если ) 7(х) дх=Р (х)+С, ) 7'(х+Ь) с(х=Р (х+Ь)+С. ~ 7(х) с(х=Р(х)+С, то (4) 111. Если Пример 3. — = 1п ) х+ 3 (+ С. дх х+3 Пример 4. ! сов 7хдх= — в!п 7х+С. 7 Пр имер 5. 1 вш (2х — 6) Дх= — — сов (2х — 6)+ С. 2 ~ 7(а +Ь) Дх= — Р (ах+Ь)+С. (5) Равенства (4) н (б) доказываются дифференцированием правой н левой частей равенств. Пример 1. ~ (2хв — 3в1п х+5 р х) дх= ) 2хв дх — ~ 3в1п хдх+ ) 5 )/ хдх= = 2 ~ хв дх — 3 ~ в1п х дх+ 5 ~ хв/в дх— 1 — +1 хвев 1 1О =2 — 3 ( — сов х)+5 — + С= — хв-)-3 сов х-(- — х )Г х-~-С.
3+! !+, 2 3 2 Пример 2. Я вЂ” ' — ' -) =(- ° + — +х/х1)дх=з(х в/вдх+ — (х в/вд ! ~ в/4 1 1 в - — +1 - — +1 — +1 3 --'+! ' --'+1 ' р1 2 4 неопределенныи интеграл 322 1гл. х тогда ~р'(х)~Ь=~и, ~' — '",„,""-~ф=1 )!~+С=) ~ р( >)+С. Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены геременных.
П ример 1. ) тх~вжхсовхох=г Сделаем подствновиу 1=в!их; тогда г(1 = соьхпх и, следовательно, ~ 1'в1пхсовхЫх= ~ Г' Г от ~!Ньяи 21е!в 2 — + С = — в!ив~~ х+ С. 3 3 Г хнах Пример 2. ~ — = г Полвгвем 1 = 1+хе! тогдв ги =2х ох Глзах 1Г~М 1 1 н ) +„,— — — — ьм — !пг+С= — 1п(1+х')+С. П нме 3.
Р р . ) е+ е — -т ! + . Полагаем 1= —; тогда пх х ° =аШ, ) е+„е= —, л! +,= — 3! 1 Н=-вгс121+С= — вгс1и — +С. а а х ример 4. ~ —— — ~ . Полагаем Г= —; тогда ,) р ае — хе а 3 Г (1 — х/а)е х х=а,, — ! „— „— вгсв1п1+С=вгсв!п — +С (предполвгвегсн, что а > 0). В примерах 3 и 4 выведены формулы, приведенные в таблице интегралов под номерами 1Г и 13' (см. выше, 2 2). в 3х П р и м е р Б. ~ (1и х)в — =-.7 Полагаем 1=!пх; тогда х г!х Г, ах Г (в 1 г(1= —, 3! (!пх)ь — =3! Гво(= — +С= — (!пх)в+С. х') х,) 4 4 Г хдх П р и м е р 6.
3! — = "г Полагаем 1 = хе; тогда ',)!+х' Г хлх ! Г 31 1 Ф=2х3х, л! = — 3! — = — вгс121-1-С= — вгс(и е+С. 3 !+хе 2,) !+Ге 2 2 Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, кото- рая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтеграль- ного выражения. Этому и посвящена ббльшая часть настоящей главы. Ьа! интвггллы от оннкции.
содннжкщих квлднлтныи трехчлвн 828 й 5. Интегралы от некоторых Функций, содержащих квадратный трехчлен 1. Рассмотрим интеграл (' 0х ,1 йх'+ ох+с' Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов: ах'+Ьх+с= = а ~х'+ — + — ~ = а ~х'+ 2 — х+ ( — ) + — ( — ) ~ = а [(х+ ) + ( 4 )! а Их+ ) с Ьз где обозначено — —, = 4- яа. Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т. е. будут ли корни трехчлена ах'+Ьх+ с комплексными или действительными. Таким образом, интеграл 1, принимает вид й'х 1 1' йх йх+ Ох+с й ~~ Ь) Ьа~ Сделаем в последнем интеграле замену переменной х+ — = 1, с1х = 111.
Ь 2й Тогда получим Это †табличн интегралы (см. формулы 11' и 12). бх Пр н мер 1. Вычислить интеграл ! 2 з ,! 2хз+8х+20' Решение. бх ! Г Лх 2х*+зх+20 2 ) х'+4х+ !О 1 !' с!х 1 2,) ха+4х+4+10 — 4 2 с (х+2)з+6' Делаем замену переменной х+2=д с!х4 И!. Подставляя в интеграл, полу. чаем табличный интеграл 1Рб!11 1= — ! — = — = агс1К =+С. 2,1 !»+6 2 Р 6 Усб Подставляя вместо 1 его выражение через х, онончательно находим 1 х+2 1==агс1К =+С. 2»'6 1/6 11 в НЕОпРеделенный ннтегрлл (гл. х П. Рассмотрим интеграл более общего вида Ах+ В ,) ахз+Ьх+с Произве)(ем тождественное преобразование подынтегральной функции: + В (' — (2ах+Ь)+( — й-) ахз+ ах+ с .) ах'+ Ьх+ с Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов.
Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим 2а,) ах'+Ьх+с + ( 2а ),) ахч+Ьх+с ' Второй интеграл есть интеграл 1„вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменной ах'+Ьх+с=(, (2ах+Ь) с(х=с(с. Следовательно, .+.-~ —— ( +Ь)ах Г и = ~~ — = 1п) ()+ С = 1п) ах'+Ьх+с)+ С, Таким образом, окончательно получаем уз= —,)п)ахз+Ьх+с)+( —,) г,. Пример 2.
Вычислить интеграл (= ') Лх. х+3 хз — 2х — 5 Применим указанный прием: х+3 Г а (2х — 2)+(3+ 2 2) Г х" — 2х — 5,) хз — 2х — 5 Лх= ! (' (2х — 2) Лх Г 0х ! 2 )~ 6 ) )~ 6+(х — )) П1. Рассмотрим интеграл ах 1Сах'+ Ьх+ с С помощью преобразований, рассмотренных в и. 1, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида Ж лг р Гзч-йх при п) О или ( при а(0, которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулы 13' и 14). 48) ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ЪЧ.
Интеграл вида Ах+ В )Гахе+Ьх+с вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, которые были рассмотрены в п. 11: 8(Х = )Гахх+Ьх+с 1 Г' ах*+ Ьх+с А (' 2ах+5 йХ+/В А '1 (' ах 2а,) Р' ахи+ Ьх+ с ~ 2а /,) 1~ ах'+ Ьх+ с Применив к первому нз полученных интегралов подстановку ахе+Ьх+с=(, (2ах+Ь) с(х=с((, получим ( х+Ь)ах = Г== 2~'(+ С=2~ах*+Ьх+с+С.
Второй же интеграл был рассмотрен нами в п. 111 настоящего параграфа. Пример 3. — (2х+ 4) + (3 — 10) 5 ах— 8)Х У хе+ 4х+ 1О ) )Схе+4х+ 1О 5 ( 2х+4 ах ах — 7 ( 23 1ихп~и 3 У(*.~2) ~.6 =5)Гхе+4х+1Π— 7 1п ~ с+2+)Г(х+2)с+6 (+ С= =5 ~/х'+4х+10 — 7 1и) х+2+ )/хс+4х+ 10(+С. $ 6. Интегрнрование по частям Пусть и н о — две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения ио вычисляется по следующей формуле: с((ио) = и сЬ+ о8(и.
Отсюда, интегрируя, получаем ио= ) исЬ+~ о8(и или ) исЬ=ив — ~ ойи. (1) Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и и )Ь, чтобы отыскание функции о по ее дифференциалу с(о и вычисление интеграла ) о8(и составляли н совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла ) ийо.
Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и и 8Ь вырабатывается неОпРеделенный ннтегрлл 1гл. х в процессе решения задач, и мы покажем на ряде примеров, как это делается. Пример 1. ~ хз!п хйх=у Положим и=х, йо=внгхйх! тогда йи=йх, и= — соз х. Следовательно, хв1п хд»= — х сов х+ ~ сов хйх= — хсозх+а1п »+С. 3 а м е ч а н не. При определении функции п по дифференциалу йп мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (1) вместо о выражение и+ С) .
Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю. Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида ~хез(пахйх, ~ хесозахйх, )хесе»йх, )х" 1пхйх, некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям. Пример 2. Требуется вычислить ~ агс1Е»И». Положим и=асс!их, й» бе=Их; тогда йи = е, о=х. Следовательно, 1+хе ' Г хох 1 ага!И хйх=хагс1Е х — ) — = х агс(Е х — 1п11+ хе )+ С. ,) 1+хе 2 Пример 3.
Требуется вычислить ~ хзе»дх. Положим »=хе, йо=е» бх! тогда пи=2»йх, о=е», хее» й»=хее» вЂ” 2 ~ хе» ох. хее» йх= хее" — 2 (хе" — е») + С = хее» вЂ” 2хе»+ 2е»+ С =е» (хз — 2»+ 2) + С. П р и м е р 4. Требуется вычислить ~ (х'+7х — 5) соз 2х г(». Положим и=х'+7х — 5, йо=соз2»й»! тогда з1о 2х о=— 2 ли=(2»+7) йх, (хе+7х — 5) соз2»йх=(хе+7» — 5) — ) (2х+7) — йх, з!и 2х Г з!и 2» 2 Применим интегрирование по частям к последнему интегралу, прииимак Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая »!=», Ив!=Их, йот=е»дх, ог=е». Тогда ~ хе»ах=хе» вЂ” ) е»бх=»е» — е»+С.
Окончательно будем иметь ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 2х+7 пэ = 2 оэк = э!п 2« бхг тогда соз 2х э« = 2 Них=На, (2х+ 7) соз 2х, в!п 2х 4 ! 4 Поэтому оиончательио (хэ+7х — 5) соа2хдх=(хэ+7к — 5) — +(2х+7) — — ~)-С= 2 =(2хз+ !4х — 1!):+(2х+7) — '+С. 4 4 П р я м е р 5. 1= ) г' ૠ— к ах=7 Произведем тождественные преобразования. умножим и разделим подынтегральную функцию на )г аа а— хэ: ~ у' ૠ— хэбх=~ бх=аз ~ к Г хбх =а агсз1п — — х Последний интеграл проинтегрируем по частям, полагая и=х, г(и=Их, х бх бэ=, э= — Рૠ— х'! тогда р и' — х' =1 к Р хбх к = — х Т' а~ — кэ+ ) и' а~ — хэ бх. Р а' — хэ,) У а« вЂ” хэ 1/а' — к' ба=па агсз1п — +х )7У вЂ” хэ — ~ у/а~ — х«бх.
Перенося интеграл справа налево н выполнив элементарные преобразования, окончательно получим -- = ° )7 а~ —.«з дх= — агсз1п — + — )I аэ —.«э+О. 2 а 2 Пример 6. Вычислить интегралы 7« = ) еэк соа Ьх бк и 7« = ) ее" з1п Ьх дх. Применяя метод интегрирования по частям и первому интегралу получи 1 м и=э ", ди=аеэ 'бх, «(э=сов Ьхг(х, э= — э1п Ьх Ь ! и и еа«соз Ьх ба = — еек зпг эх = ~ еек з!п Ьк бх. Ь Ь,') Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного ин- теграла, будем иметь !гл. х нвопвндаленмын ннтиграл К последнему интегралу снова применим метод иигегркрования по частям: 1 а=ее», на=ее»»ах, ос=в!п Ьхах, и= — — соаЬ«, ее»в1п Ьхах= — — е»" сов Ьх+ — ) ее" сов ьхах. 1 а г Ь ь,) Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, получим ! а ае Г е«" сов Ьхах= — е»" в!п Ьх+ — ее»сов Ьх — — ) е»" сов Ьхах, Ье Ье,) Найдем ив последнего равенства (х ц ает г /1 а \ у ах! 1+ — ) ) е ~ сова»ах=е «!! — и!п Ьх+ — сов Ь«)+С !11+ — у1, )3 ~Ь откуда ее» (Ь в!и Ьх+ а сов Ьх) (, ) ее«соа Ьхах= ае+Ьв Аналогично находим !".
» щь ах ее»(ав!пЬ« — ЬсовЬх)+, $7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих Классов является класс рациональных функций. Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов: !»(х) Вох +В1ха- +...
+В~» У(х) Аех»+Агх" '+ ° ° +А» ' Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что Этн многочлены не имеют общих корней. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: — =М(х)+ —; !с (х) г" (х) ! (х) ! (х) здесь М(х) — многочлен, а — — правильная дробь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
