32_PiskunovT1 (523111), страница 69
Текст из файла (страница 69)
243. 2 участке от х=в до х=о (рис. 243). Р е ш е и и е. ь ь о=и — (ежа+с хм) !ух= — (еьх!а+2+е ах!е) ах= о о но [ а ах!а, 2 а — ьх!а1Ь иоь ана - аыа иааЬ 5 6. Площадь поверхности тела вращения Пусть нам дана поверхность, образованная вращением кривой у =1(х) вокруг оси Ох. Определим площадь этой поверхности на участке а ( х ( Ь. Функцию 1" (х) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка (а, Ь]. Как и в 2 3, проведем хорды АМ„М,М„..., М„,В, длины которых обозначим через газу, бз„..., Лз„(рис. 244).
Каждая хорда длины Ьа! (!' =- 1, 2, ..., п) при вращении опишет усеченный конус, площадь поверхности которого ЛР, равна ЛР1 = ~1/ меняя теорему Лагранжа, получим и'= ( '1 (хь ') = — у'(51), где х1; с., $! ( х;; следовательно, газ! = ]!е1+]" (5!) гххг, гхР! —— = 2и ' '2 ')г 1+!" (е!) Лх,. Площадь поверхности, описанной ломаной, будет равна Р„= 2и ~ у! 1+ и! у'1-]-]'" (е;) бх1, или г=1 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1ГЛ. ХИ 412 сумме Р„=-и ~ ~~(х! х)+~(х!)1)' 1+~" ($!) Ьхг, распространенной иа все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной бз! стремит- У ся к нулю, называется площадью рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции 2Л((х) )/ 1+(' (х)а, так как в слагаемом, соответствующем отрезку (х; „х!), фигурирует несколько точек этого отрезка хг „хи $!.
Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т. е. Рис. 244. а Р= 1пп л ~~'.,(1(хг !)+1(х!)))' 1+)'а($!)Лхг= а=! а!ахах -+ о ! а 1ип и 2."~ 2) ($,.) )г'1+)" (Р;) Лх!м гаах Лх ° -х О г= ! ! или Р = 2л ~ ~ (х) )г 1+ ) ' (х) с(х. а П р и м е р. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением вокруг оси Ох дуги параболы ух = 2рх, соответствующей изменению х от х=б до х=а. Решение. р= и' 2рх„у'== г' 1+у х= 1гг 1+ — = гах — )г 2Р— х / 2Р I 2х+Р 2у х 4х 2х По формуле (3) получим а а Р=2п Г' 2рх 1 — оах=2п о~р) )г 2х+рг1х= 2х о о =2пу р — (2х+р) Н вЂ” ! = )(2а+р)та рч1.
2 1о й 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла Пусть под действием некоторой силы Р материальная точка М движется по прямой Оз, причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведенную ВЫЧИСЛЕНИЕ РХВОТЫ $71 415 силой Р при перемещении точки М из положения з=а в положение В=Ь. 1) Если сила Г постоянна, то работа А выражается произведением силы Р на длину пути, т. е.
А =- Р (Ь вЂ” а). 2) Предположим, что сила Р непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки, т. е. представляет собой функцию Р (з), непрерывную на отрезке а < з < Ь. Разобьем отрезок [а, Ь1 на п произвольных частей с длинами Лз,, Лз„ ..., Лза, затем в каждом частичном отрезке [57 „5,1 выберем произвольную точку 01 и заменим работу силы Р (5) на пути Лз,. (! =-1, 2, ..., п) произведением Г($7) Лз;. Это значит, что в пределах каждого частичного отрезка мы принимаем силу Р за постоянную, а именно полагаем Р =- Р ($7). В та- Рнс.
245. ком случае выражение Г (57) Лз; при достаточно малом Лз; дает нам приближенное значение работы силы а Р на пУти Лаи а сУмма А„= ~аР($7)Лз; бУдет пРиближенным 7=1 выражением работы силы Р на всем отрезке [а, Ь1. Очевидно, А„представляет собой интегральную сумму, составленную для функции Р=Р (5) на отрезке [а, Ь1. Предел этой суммы при пзах Лз; — 0 существует и выражает работу силы Р(з) на пути от точки з — а до точки з = Ь: ь А = ~ Р(з) 7(з. (1) а П р н м е р 1. Сжатне 5 винтовой пружины пропорционально прнложенной силе Р. Вычислить работу силы Р прн сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила 10 Н (рнс.
245). Решен не. Сила Р н перемещение 3 связаны по условию зависимостью Р=йз, где Й постоянная. Будем выражать 5 в метрах, Р— в ньютонах. Прн 5=0,01 Р= 10, т. е. 104 й 0 01, откуда 0=1000, Р=10005. На основании формулы (!) имеем 0,05 5з!О 05 А= ) 10003 775=1000 — ~ =1,25 Дж. 2 !0 о Пример 2. Сила Р„о которой электрический заряд е, отталкнваст заряд е, (того же знака), находящийся от него на расстоянии г, выражается формулой Р =й — , где й — посгоянная. ехе, гз Определнть работу силы Р прн перемещении заряда е, нз точки Аь отстоящей от е, на расстоянии г„в точку А„отстоящую от ег на расстоянии г„ полагая, что заряд ех помещен в точке Аь, принятой за начало отсчета.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА !ГЛ. ХП гг Г е,ез 1 !г, Решение. По формуле (1) имеем А=) Л вЂ”,дг= — йе!е,— г, ат г! 11 ее!ее Гге!ез = ае!ез [ — — у! При гз — — + со получим А= ) — !!г= —. При ,) гз l~ ег е,=! 'Ау й —. Последняя величина называется потеняиляом поля, создаг ваемого зарядом е!. $8. Координаты центра масс Пусть на плоскости Оху дана система материальных точек Р, (х,, у,), Р, (х„у,), ..., Р, (хп, у„) с массами т„т„..., т .
Произведения х!те и у;т! называются статическими моментами массы т, относительно осей Оу и Ох. Обозначим через х, и у, координаты центра масс данной системы. Тогда, как известно из курса механики, координаты центра масс описанной материальной системы определяются формулами Х х!тг х,— х!т!+ хат!+... + х„т„г= ! е гп ).т 1 -! гл и ~~1~ т! 1=! ;Р," ует! у!т, +у,т,+...
+у„т„ т,+т,+...+тп и ~~а~ т! (2) е) Линейной плотностью называется масса единиць! длины данной линии. Мы предполагаем, что линейная плотность иа всех участках кривой одинакова, Мы используем эти формулы при отыскании центров масс различных фигур и тел. 1. Центр масс плоской линии. Пусть дана кривая АВ уравнением у=)(х), а<х(Ь, и пусть эта кривая представляет собой матери альп ую линию. Предположим, что линейная плотность*) такой материальной кривой равна у. Разобьем линию на п частей длины Лз,, Лз„..., Ли,. Массы этих частей будут равняться произведению их длин на (постоянную) плотность: Лте=уЛз!Р На каждой части дуги Лз, возьмем произвольную точку с абсциссой 5!.
Представляя теперь каждую часть дуги Лзе материальной точкой Рг[$1, 1(Е1)1 с массой уЛзг и подставляя в формулы (1) и (2) вместо х; значение $„ вместо у; значение) ($1), а вместо т1 значение уЛз! (массы частей Лз;), получим приближенные формулы для определения центра масс %а) КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС дуги (2') Х двум Х пы таль хе ~.~ 1 Уа ~Ар Если функция у=1(х) непрерывна и имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при шах Лзв — О имеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм.
Таким образом, координаты центра масс дуги выражаются определенными интегралами: ь ь ~ х оа ) х у" 1+да (х) ох а а х,—— (1') ) ов ~ Р 1+да(х) ех а и ь ь ) 1 (х) па ~ 1 (х) у 1+ 1 а (х) пх а а Уе — ь — ь ) пв ~ Г' 1+да (х) пх а а Н р и м е р 1. Найти координаты центра масс полуокружности ха+ух=па, расположенной над осью Ох. Решение. Определим ордннату центра масс: у= у аа — ха, = — —, йв= у 1+ — Пх, на= ь(х, ь(х Уа' — х' ' (,Пх) у"а' — х~ а а ) ра' —,т' ь(х а ~ ох — и -а 2аа уп лл лп лл л' х,=О (так как полуокружность симметрична относительно оси Оу), 2. Центр масс плоской фигуры, Пусть данная фигура, ограниченная линиями у=), (х), у=~,(х), х=а, Х=Ь, представляет собой м а т е р и а л ь и у ю плоскую фигуру.
Поверхностную плотность, т. е. массу единицы площади поверхности, мы будем считать постоянной и равной 6 для всех частей фигуры. Разобьем данную фигуру прямыми х = а, х = х„..., х = х„= Ь на полоски ширины Лх„Лх„..., Лх„. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность 6. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис. 246) с основанием Лх1 и высотой )а(51) — ),(ч,), где 5, = ' ' ', то масса полоски будет приближенно равна Лт,=б[)",($в) — ~,($,)1Лх, (ь'=1, 2, ..., п). Приближенно центр масс этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника: (х;), = 5И (у;), = — ' ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1Гл.
хгь 416 Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена Рис. 247. Рис. 246. в центре масс этой полоски, найдем приближенное значение координат центра масс всей фигуры (по формулам (1) и (2)): ~ч~~ 416 1)э ($г) — )г (й;Ц Лх; ~~ 6 ()э (сг) — Гт (ЕЦ) лх; 1 -и-~~э ()э (йг)+)г (сй)61(э (с) — )э (ЕЦ Лхг у» ХЛ!).61) — ) ($ЦЛх. Переходя к пределу при Лхг — О, получим ь ь ~ х(гэ (х) — Гг (хЦих 2 ~[ге (х) )г(х)|г(х лс= ь Ус= ь ~ 1)э (х) — ), (хЦ Лх ~ 1)э (х) — )г (хЦ 3х Эти формулы справедливы для любой однородной (т.
е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как мы видим, координаты центра масс не зависят от плотности 6 фигуры (в процессе вычисления 6 сократилось). Пример 2. Определить координаты центра масс сегмента параболы уэ=ах, отсекаемого прямой х=а (рис. 247). Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
