32_PiskunovT1 (523111), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Мы не приводим здесь этих оценок. Читатель может найти нх в более подробных курсах анализа: см., например, Ф и хте н гол ь ц Г, М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 11.— Мл Наука, 1970, гл. 1Х, 5 5, ФОРМУЛА ЧЕБЫШЕВА !. По первой формуле прямоугольников (1) получим г Р= — ве О,!'(Уо+ув+ +ув)=0 1 7 18773=0 71877. х 1 По второй формуле прямоугольников (1') получим 2 0 1 (Ув+Ув+ ° +Увв) =0,1 6,68773=0,66877. х Непосредственно из рис, 231 следует, что в данном случае первая формула дает значение интеграла с изб ы тк ом вторая — с недостатком. Н. По формуле трапеций (2) получим ~ — ве 0,1( + ' +6,18773) =0,69377. 1 П!.
По формуле Симпсона (5) имеем Их 0,1 3 [уо+уво+2 (ув+ув+ув+ув)+ 1 Рис. 231. + 4 (Ув+Ув+ У в+ Ув+ у в)) = — ' (1+ 0,5+ 2. 2,72818+ 4 3,45955) = 0,69315. 0,1 В действительности 1п 2 = ) - = 0,693! 472 (с точностью до седьмого г в(х л х 1 знака). Таким образом, прн разбиении отрезка [О, Ц на 10 частей по формуле Симпсона мы получили пять верных знаков; по формуле трапеций — лншьтри верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак. 9 9. Формула Чебышева В технических вычислениях часто применяется формула Чебышева для приближенного интегрирования.
о Пусть снова требуется вычислить ) 7(х)в[х. в Заменим подынтегральную функцию интерполяционным много- членом Лагранжа Р(х) ($ 9 гл. тгП), взяв на отрезке [а, [в) некоторыепзначенийфункции 7(х,),7'(х,),...,7(х„), гдехт, х„...,х„— какие угодно точки отрезка [а, [)1: (х хв) (х — хв) ° ° (х — хв) (Хв — ХВ) (Хв — ХВ) ..(Хв Хо) + (х — х (х — хв)... (х — х„) (х — хв) (хв — х )... (хв — х„) (х, + (х — х,) (х — х,)... (х — х„в) (ха — хв)(х„— хв)...(х, — ха В) в ( а)' (гл, к! ОПРеделенный интегРАл Получим следуеицую приближенную формулу интегрирования: ь ь ~ )".
(х) 1(х ж ) Р (х) 1(х; (2) после некоторых вычислений она примет вид 1((х)ь(хж С,~(х,)+Сь((х,)+... +С„((х„), (3) а где коэффициенты Сь вычисляются по формулам ь (' ( — х ) .. (х —; — ) (х — + ) ( — х ) 1-.) (х1-х,) (х1-хь,)(х1-хь,Д (х1-х.) а (4) Формула (3) громоздка и неудобна для вычислений, так как коэффициенты Сь выражаются сложными дробями. Чебышев поставил обратную задачу: задать не абсциссы х„ х„..., х„, а коэффициенты фф..., С„и определить абсциссы Коэффициенты Сь задаются так, чтобы формула (3) была возможно проще для вычислений. Очевидно, что это будет тогда, когда все коэффициенты С! равны между собой: С,=С,=... =С„.
Если обозначить общее значение коэффициентов С„ С„ ..., С„ через С„, то формула (3) примет вид ) )(х) 1(хж С„[1(х)+((х)+... +)(х)1. а (5) Формула (5) представляет вообще п р и б л и ж е н н о е равенство, ио если ((х) есть многочлен степени не выше и — 1, то равенство будет точным. Это обстоятельство и позволяет определить вели- чины С„, х„х„..., х„. Чтобы получить формулу, удобную для любого промежутка интегрирования, преобразуем отрезок интегрирования (а, Ь) в отре- а+Ь Ь вЂ” а зок ( — 1, 1].
Для этого положим х= — + — 1; тогда при ! = — 1 будет х = а, при 1= 1 будет х = Ь. Следовательно, ь ! ! ( ((х)1(х=: ~ ~( — +:()Ж =: ( !Р(() 1((, а — 1 — ! где через !р(1) обозначена функция от 1, стоящая под знаком интеграла. Таким образом, задача интегрирования данной функции ФОРМУЛА ЧЕБЫШЕВА 39! 7(х) на отрезке (а, Ь] всегда может быть сведена к интегрированию некоторой другой функции <р(х) на отрезке 1 — 1, 1]. Итак, задача свелась к тому, чтобы в формуле ) ) 1(х) пх = С, [1(х,) + 7 (х,) + ... + 1(х„)] (6) 2=С„п, или С„= — „, х,+х,+...
+х„=О, хз+хз+... +х = ЗС = 3, л з( з) 1 з (1 Х',+Х,'+... +Х'„'=— 2 л ~л (19) Из последних и — 1 уравнений находим абсциссы х„х„...,х,. Эгн решения найдены Чебышевым для различных значений й. Ниже приводятся найденные им решения в случаях, когда число и промежуточных точек равно 3, 4, 5, 6, 7, 9: подобрать числа С„, х,, х„..., х, так, чтобы эта формула была точной для всякой функции 1(х) вида 1(х) = аз+ азх+ а,хз+... +а„зхл '. (7) Заметим, что ! з ] 7(х) з(х= ] (аз+азх+ахз+... +а„зхл-з)з(х -! -1 1 2(а,+ ~'+ — "+ — '+... + — '" 11, если и — число нечетное; (8) 21а + — '+...
+ — "' 1, если п — число четное. 3 ''' л — 11' С другой стороны, сумма, стоящая в правой части равенства (6), на основании (7) будет равна С„'1па,+аз(х,+х,+... +х„)+аз (х',+х',+... +х'„)+... ... +а„,(х,"-'+х",-'+... -1-х„" 'Ц. (9) Приравнивая выражения (8) и (9), получим равенство, которое должно быть справедливо при любых а„а„а„..., а„,: +аз(хзз+хз+... +х )+... +а„з(х", +х.", +... +х'„' ')]. Приравняем коэффициенты при а„а„азз а„..., а„з в левой и правой частях равенства: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ йгл. х! Таким образом, приближенное вычисление интеграла на от- резке [ — 1, 11 производится по следующей формуле Чебышева: ! ~ у(х) Их = — „() (х,)+~(х,)+... +1(х„)1, — ! где л †как-либо из чисел 8, 4, 5, 6, 7 или 9, а х;, ..., х„— числа, приведенные в таблице.
В качестве п нельзя брать число 8 или числа, превосходящие 9; в этом случае система уравнений (1О) дает мнимые корни. Когда заданный интеграл имеет пределы интегрирования а и Ь, формула Чебышева принимает вид ) !" (х) дх= — „(~(Х!)+! (Х,)+... +!'(Х„)], а Ь+а Ь вЂ” а где Хг= — + — х; (!'=1, 2, ..., л), а х; имеют указанные в таблице значения. 2 Г ах Пример.
Вычислить ) — (=!п2). ,) х ! Р е ш е н н е. Прежде всего заменой переменной преобразуем этот интеграл в новый интеграл, у которого границы интегрирования будут — 1 и 1: 2 ! 1+2 2 — ! 3 ! 3+ ! г!! !".ах ! !!! хаа — +:1= — + — = —, Их= —. Тогда 3! — = ) —. Вы- 2 2 2 2 2 ' 2',) х ) 3-1-!' -! 4!а) интеГРАлы, зАВисящие от пАРАметРА. ГАммА-Функция 393 числим последний интеграл, приняв п=з, по формуле Чебышева: ~ ) (1) 31= — 17 (0,707!07)+) (О)+7( — 0,707107)1. -1 Так как 7 (0,707107) =0,269752, ) (О) =0 333333, ! ( — 0,707!07) =0,436!30, то 1 а! 2 2 3+! 3 — = — (0,269752+0,333333+0,436!30) = — 1,039215=0,692810 ш 0,693. 3 -1 Сравнивая этот результат с результатами вычисления по формулам прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона (см.
пример в предыдущем параграфе),мы замечаем, что результат, полученный нами по формуле Чебышева (с тремя промежуточными точками), лучше согласуется с истинным значением интеграла, чем результат, полученный по формуле трапеций (с девятью промежуточнымн точками). Отметим, что теория приближенного вычисления интегралов получила дальнейшее развитие в работах академика А. Н. Крылова (1863 — 1948). 9 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция Дифференцирование интегралов, зависящих от п а р а м е т р а. Пусть дан интеграл ь 7(а) = ~ ) (х, а) 1(х, (1) а в котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра а.
Если параметр а будет меняться„ то будет меняться и значение определенного интеграла. Таким образом, определенный интеграл есть ф у н к ц и я от а; поэтому мы его можем обозначить через 7 (а). 1. Предположим, что 7" (к, а) и 7' (х, а) — непрерывные функции при с<а <с( и а <к<Ь. (2) Найдем производную интеграла по параметру сс: 1(и+ба) — 7 (а) Аа; О Для нахождения этой производной заметим, что Гь ь ""+;"„' "а -А. (111*, . ч-а.! е — ( и*. мэ.]- а а ь 7(к, а+ба) — ! (х, а) ( а ОПРеделенный ннтегРАл (гл. хг Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь ~( ' +, ) ( ' )=1' (х, а+Оста), где 0 <9<1. Так как ~'„(х, а) непрерывна в замкнутой области (2),то 1" (х, а+Ооа) = =1„'(х, а)+е, где величина е, зависящая от х, а, (ьа, стремится к нулю при ста О.
Таким образом, ь ь ь = ) [г„'(х, а)+е1((х= ) )'„'(х, а) ((х+') е((х. а а а Переходя к пределу при ста — О, получаем а) ь 1пп " =1'„(а)=~Д,(х, сь)((х, а о а или с ь .1 ° ь ) 1(х, а) йх~ = ) ~~ (х, сс) ((х. а а а Последняя формула называется 4)ормулой Лейбница. 2. Предположим теперь, что в интеграле (1) пределы интегрирования а и Ь являются функциями от а: ь (а) 1(а)=(1)[а, а(а), Ь(а)1= ~ )(х, а)йх.
(1') а (а) Ф[а, а(а), Ь(а)] есть сложная функция от а, причем а и Ь являются промежуточными аргументами. Для того чтобы найти производную от 1 (а), применим правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных (см. $ 10 гл. УП1) Г(а) = — + — — + — —. дФ дФ с(а дФ ЕЬ да да Ыа дЬ да' (з) На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу (см. 9 4) получаем ь — = — ~~(х, а)с(х=([Ь(а), а], ь а — = — ~1(х, а)((х= — —,~1(х, а)йх= — ([и(а),а1.
дФ де д Р а ь Ь а) Подынтегральная функция в интегрзле 1= ~ е да стремится к нулю при а ла — О. Из того, что подыитегральная функция в каждой точке стремится к нулю, не всегда следует, что интеграл также стремится к нулю. Однако в данном случае ! стремится к нулю при оа — ао. Этот факт мы принимаем вез доказательства. $!э) интеГРАлы, ЗАвнсящие От нцэаметрА. ГАЯЯА.Функция 393 Наконец, для вычисления — применяем формулу Лейбница: дФ вЂ” ',„=~С(, )(' а Подставляя в формулу (3) полученные выражения проивводимк, будем иметь: Ь (о! 1„ '(а) = ) 7„' (х, сс) г(х + ! (Ь (гх), гх1 †„ †! (а (а), а1 †„ . (4) а(в! С помощью формулы Лейбница можно вычислить некоторые опре- деленные интегралы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
