32_PiskunovT1 (523111), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В данном случае )э(х) =)/ах, )„(х)= — )г пх, поэтому а -2 . ~а 4 2 ~ х)г ахг(х 2)г а — хц'( — аа 6 (о 5 о хг— а 2 а 5 — а 2 ~ )г ахах 2 Рг а — х Л ~ — аэ 3 (о 3 о у =О (так как сегмент симметричен относительно оси Ох). сс1 Вычисление МоментА инеРции лИнии, кРуГА и цилиндРА 412 $9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Пусть на плоскости хОу дана система материальных точек Р,(х„у,), Р,(х„у,), ..., Р„(х„, у„), с массами т„т„..., т„.
Тогда, как известно из механики, момент инерции системы материальных точек относительно точки О определяется так: (о= Д,(х',+У,')ти или х = ~я~ Г',ти (1) ~=! с=! где ГГ=)/х',+у';. Как и в ~ 8, пусть кривая АВ дана уравнением у=~(х), а(х(Ь, где((х) — непрерывная функция. Пусть эта кривая представляет собой материальную линшо. Пусть линейная плотность линии равна у. Снова разобьем линию на п частей длины Лз„Ьз„... ..., Лз„, где Ьз;= — ЪГЬх";+Лу'„а массы этих частей Лт; = ТЛзи Лт,=уЛз„...
Ряс. 248. ..., Лт„= УЛУ„. Йа каждой части дуги возьмем произвольную точку с абсциссой $Р Ордината этой точки будет тй = 1($;). Приближенно момент инерции дуги относительно точки О в соответствии с формулой (1) будет а Уо=Д(Ы+Ч~)ТЛВГ (2) Лт Е а Если функция у=)(х) и ее производная 1'(х) непрерывны, то при Лз, — 0 сумма (2) имеет предел.
Этот предел, выралтающийся определенным интегралом, и определяет момент инерции материальной линии: ь 1о=у) [хс+)с(х)~$'1+)" (х)<(х. (3) а Если дана масса стержня М, то Т=М/1 и формула (4) принимает вид .(о = — 'М1. (5) с 3 1. Момент инерции тонкого однородного стержня длины 1 относительно его конца. Совместим стержень с отрезком оси Ох: О(х<1 (рис. 248). В этом случае ЛУГ=Лх„ ЛтГ=ТЛхо Гс= х,' и формула (3) принимает вид 1с с ~3 ~ 3' (4) о 413 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1ГЛ.
ХП 2. Момент инерции окружности радиуса г относительно центра. Так как все точки окружности находятся на расстоянии г от центра, а его масса пт = 2лг у, то момент инерции окружности а, будет !' 1о=лт»а=у 2лг г'= у 2лг'. (6) л' З.Момент инерции однородного кругарадиуса)с относительно ц е н т р а. Пусть 6 — масса единицы площади круга. Разобьем круг на л колец. Рассмотрим одно кольцо (рис. 249). Рис. 249. Пусть его внутренний радиус ги внешний г! + Лг!. Масса этого кольца Ляг! с точность о до бесконечно малых высшего порядка относительно Л»; будет Лт! = 6.2лгг Лг;.
Момент инерции этой массы относительно центра в соответствии с формулой (6) приближенно будет (Л1о); ж ж 6 2лггЛ»,. г,'.=6 2лг,'. Лг,, Момент инерции всего круга как системы колец будет выражаться приближенной формулой л 1ож Х 6 2лг,'Лг,. (у) !4И Переходя к пределу при тахЛг; — О, получим момент инерции площади круга относительно центра: ое 1о=б 2л~гвс(г лб (8) о Если дана масса круга М, то поверхностная плотность 6 опре- М деляется так: 6 = —, . Подставляя это значение, окончательно получаем 1о = »И в/2. (9) 4. Очевидно, что если имеем круглый цилиндр, радиус основания которого К и масса М, то его момент инерции относительно оси выражается формулой (9).
Упражнения к главе ХН Вычисление площадей 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ут=9х, у=ах. 1 О»ав. 2 ' 2. Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой ху=аа, осью Ох и прямыми х=а, х=2а. Отв. а'1п 2. 3. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у=4 — х' и осью Ох. Олм. 32!3, УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х!! 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астрондой хт/з-~-уз/з = аз/з. Отв. — яа . 3 8 х 5.
Найти площадь фигуры, ограниченной цепной линией у=а с!! —, осью Ох, осью Оу и прямой х=-а. Отв. а! зпе. 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у=хе, прямой у=8 и осью Оу. Опы. 12. 7. Найти площадь области, ограниченной одной полуволной синусоиды и осью абсцисс. Отв. 2. 8. Найти площадь области, заключенной между параболами у'=2рх, хз=2ру.
Отв. 4ре/3. 9. Найти всю площадь фигуры, ограниченной линиями у=ха, у =2х, у=х. Отв. 3/2. 1О. Найти площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды х=а(! — Мп !), у=а(1 — сов !) и осью абсцисс. Отв. Зпа'. 11. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х=а созе/, у=аз!пз/.
Отв. Зпае/8. 12. Найти площадь всей области, ограниченной лемнискатой ре=аасоз 2!р. Опы. ае. 13. Вычислить площадь области, ограниченной одной петлей кривой у=аз!и 2!р. Отв. па'/8. 14. Вычислить полную площадь области, ограниченной кардиоидой р= а (! — соз !р). Отв. Зпае/2. !5.
Найти площадь области, ограниченной кривой р=асозф. Отв. пае/4. 16. Найти площадь области, ограниченной кривой р= а соз 2!р. Отв. паа/4. 17. Найти площадь области, ограниченной кривой у=сов Зф, Отв. и/4. 18. Найти площадь области, ограниченной кривой у= асов 4ф. Опы, жаа/4. Вычисление объемов хз уз 19. Эллипс — + — =1 вращается вокруг оси Ох.
Найти объем тела враа' Ье 4 щения. Отв. — паЬз. 3 20. Отрезок прямой, соединяющий начало координат с точкой (а, Ь), вра- 1 щается вокруг оси у. Найти объем полученного конуса. Отв, — яаеЬ, 3 21. Найти объем тора, образованного вращением окружности хз -!- + (у — Ь)е=а' вокруг оси Ох (предполагается, что Ь)а). Отв. 2паа'Ь. 22. Фигура, ограниченная линиями уа=2рх н х=а, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. пра'. 23. Фигура, ограниченная астроидой х +у =а, вращаетсв вонруе 2/3 2/3 2/а осн Ох. Найти объем тела вращения. Отв.
32паз/105. 24. Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды у=з!Вх и осью Ох, вращается закрут оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. па/2. 25. Фигура, ограниченная параболой уз=4х и прямой х=4, иращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. 32п. 26. Фигура, ограниченная кривой у=хе* н прямыми у=0, х=1, вра- щается вокруг оси Ох.
Найти объем тела вращения. Опы. — (ва — 1), 27. Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды х= а (/ — з!п Г), у=а(! — соз Г) и осью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вра- щения. Опы. Зпааз. 28. Та же фигура, что н в задаче 27, вращается вокруг осн Оу, Найти объем тела вращении. Отв.
6пеаз, ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА !ГЛ. ХП 420 29. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси Оу и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв. паз (9лз — 16)/6. 30. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси Ох и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв. 7пзаэ. 31.
Цилиндр радиуса )! пересечен плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом и к плоскости основания. Найти объем отсеченной части. 2 Отв. — )7з1я а. 3 32. Найти объем, общий двум цили идрак хе+у' = )7з, уз+ гз = )7з. Оаы. 16)7з!3. 33. Точка пересечения диагоналей квадрата перемещается вдоль диаметра круга радиуса а; при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все время остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности (при движении величина квадрата, очевидно, меняется). Найти объем тела, образуемого этим движущимся квадратом. Отв. Заз/3. 34. Вычислить объем сегмента, отсекаемого от эллиптического парабоуз гз ланда — + — =х плоскостью х=а.
Отв. Лаэ г' ру. 2р 20 36. Вычислить объем теча, ограниченного плоскостями г=О, у=О, цилиндаз )72а рическими поверхностями хз=2ру и гз=-2рх и плоскостью х=а. Отв. 7 у"р (в первом октанте). 36. Прямая движется параллельно плоскости Оуг, пересекая два эллипса х' у*" хз гз — + — =1, — + — =1, лежащих в плоскостях Оху и Охг. Вычислить аа Ьа ' аэ с' объем полученного тела. Оны. Заус/3.
Вычисление длин дуг 37. Найти всзо длину астроиды х ГЗ+у Гз =аг!з. Отв. Оа. 38. Вычислить длину дуги полукубической параболы ау'=х' от начала координат до точки с абсциссой х=5а. Олы. 335а/27. 39. Найти длину цепной линии у =а сй — от начала координат до а х точки (х, у). Отв. аз)т — =)г уа — а'.
а 40. найти длину одной арки циклоиды х=а(! — з!п !) у=а(! — сонг) Отв. 8а. 41. Найти длину дуги кривой у=!п х в пределах от х= г' 3 до х=)г 8. ! 3 Отв. 1+ — !п —. 2 2 ' 42. Найти длину дуги кривой у=! — !псозх в пределах от х=О дог=и/4. Отв. 1п1Е(Зп)8). 43. Найти длину спирали Архимеда р=аф от полюса до конца первого завитка.
Отв. па ГГ! +4п'+ — !п (2и+ )г ! -(-4пз). 2 44. Найти длину спирали р=вав от полюса до точки (р, <р), ВР1+ ссз Олы. ' . в"э = — $Г!+а'. а а 45. Найти всю длину кривой р=а вша(ф/3). Отв. Зпа)2. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХП 421 сз С вволюты эллипса х= — ссз' 1, у= — в1п'! а ' Ь 46. Найти длину Опы. 4 (аз Ьз) аЬ 47. Найти длину к ар дно иды р = а (! + сов зр). Опы. 8а. 48. Найти длину дуги звольвенты окружности х=а (соыр+зр з!п ф) 2 2 у=а(з!пф — фсоз<р) от ф=О до ф <рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
