32_PiskunovT1 (523111), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Рис. 236. Рис. 236. Следовательно, 1 1 1 !) = ') 'Г' хнах — ~ ха!(х= ~ (Ьг х — х') !Гх= — х П ~ — — ~ = — — = —. =з '*!. з!о=а з — з. о о о Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, если кривая задана уравнениями в параметрической форме х=гр(1) у=ф(1) (3) где а(1((1 и ф(а) =а, гр ((1) =Ь. Пусть уравнения (3) опреде- ляют некоторую функцию у=)(х) на отрезке [а, Ь] и, следова- тельно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле (1 = ~ 1(х) Ых = ~ у г(х. Сделаем замену переменной в этом интеграле: х=!р(1), с(х = = гр' (1) с(1.
На основании уравнений (3) получим у =) (х) = = 1[<р (1)1= ф (1). Следовательно, () =~ф(1) Ч'(1) (1. (4) а Это и есть формула для вычисления площади криволинейной тра- пеции в случае кривой, заданной параметрически. П р и м е р 3. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом я=о со51, У=Ьа!и 1. Решение. Вычислим плошадь верхней половины эллипса и удвоим.
Здесь х изменяется от — о до +а, следовательно, 1 изменяется от и до О, 1с = 2 ) (Ь аш 1) ( — о з!п 1 г(1) = — 2аЬ ) з!па 1 о! = 2аЬ ) зшз 1 г(1= и л о л [' ! — сов 21 [ 1 з!и 211п =2аЬ [ 2 !2 4 1о г(1 =2аЬ [ — — — 1 = поЬ. о Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной осью Охи одной аркой инклонды х=а(1 — а!и 1), у=а(! — соз 1). Р еш е н не. Изменению 1 от О до 2п соответствует изменение х от О до 2па, По формуле (4) имеем 2п (! — соз 1)з г(1 = р2п 2п 2л -,[(гг — г( ггг( югг1, о о о Р !+сов 21 созз 1 о1= гт(=п.
о 2п 4) = ) а (! - сок 1) а (! — сов 1) г(1 = а' 9 г(1=2п, сов 1г(1=0г Окончательно получаем !3 = а' (2п+ и) = Зпо'. 14е $ !! ВЫЧНСЛЕННЕ ПЛОЩАДЕЙ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДННАТАХ 403 (рис. 236) ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1гл. хп 404 2 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением р = 7(О), где 7(0) — непрерывная функция при !д ( <0<Р. Определим площадь сектора ОАВ, ограниченного кривой р =- 7 (0) и радиус-векторами 0 =- сс и О = р.
Разобьем данную область радиус-векторами и = 0„9 = О„... 0„=(э на л частей. Обозначим через ЛО„ЛОа, ..., ЛО„ углы между проведенными радиус-векторами (рис. 207). Рис. 237. Рис. 238. Обозначим через р; длину радиус-вектора, соответствующего какому-нибудь углу Оп заключенному между О;, и О,. Рассмотрим круговой сектор с радиусом р, и центральным 1 — а углом ЛО!. Его площадь будет равна ЛО! = — р', ОО!. Сумма 2 ! а (4„= — ~ргсх91= — ~„~~(0!)1'ЛО! даст площадь «ступенчатого» г=! г=! сектора.
Так как зта сумма является интегральной суммой для функции р'=[7(О))а на отрезке !х(0(~1, то ее предел при и!ахЛО! 0 есть определенный интеграл — ( р'дО. Он не зависит от того, 2,! какой радиус-вектор р; мы возьмем внутри угла ОО!. Этот предел естественно считать искомой площадью фигуры е). Таким образом, площадь сектора ОАВ равна а О= —,' ~р (О, и *) Можно было бы покааатгь что это определение площади не противоречит данному ранее; иначе говоря, если вычислять площадь криволинейного сектора с помощью криволинейных трапеций, то мы получим тот же результат.
ба) ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ ИЛИ $ 3. Длина дуги кривой 1. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением у=)'(х). Найдем длину дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми х = а и х = Ь (рис. 239). Л! ~ - 4х) В главе Ъ'1 (4 1) было дано определение . Л! «У~~ длины дуги. Напомним это определение. Возьмем на дуге АВ точки А, М„М„...
д ..., М1, ..., В с абсциссами а = х„, х„х„ ..., хг, ..., х„= Ь и проведем хорды АМ„ М,М„..., М„,В, длины которых обс значим соответственно через Лз„Лз ... «и а гч4-! и а х ...,Лз,. Тогда получим ломаную АМ,М,... ... М,,В, вписанную в дугу АВ. Длина о ломаной равна з„= ~~',Лз!. 4=1 Длиной з дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю: з = 1ип ~ч~ Лзг. (1) гоах ачд-ие ! = ! Рис. 239 Мы докажем сейчас, что если на отрезке а(х(Ь функция ) (х) и ее производная 1' (х) непрерывна, то этот предел существует.
Вместе с тем будет дан и способом вычисления длины дуги. Введем обозначение Луг = )(х;) — ~(х; ,). Тогда Лза — — У(ах!)а+(Луг)а= ~/1+(4 «'т Ьхо П р и м е р. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рнс. 238) р=а йГсоз 20. Р е ш е н и е. Радиус-вектор опишет область с площадью, равной четверти искомой площади, если 0 меняется от О до л/4! нг 4 я/4 1 1 Г 1 Г а' з1п 29 1н~'4 а' — !3 = — ) ра а9 = — аа ) соз 20 аз =— 4,) 2,) 2 2 14 4' о о Таким образом, площадь фигуры, ограниченной лемнискатой, будет равна 4) аа пРиложения ОпРеделеннОГО интегрдлд !гл.
хп 406 По теореме Лагранжа имеем — '= ' =1" ($;), где х,,< Лу! )(х!) — 1(х; д) < $! < х!. Следовательно, Оз, = рг1-)-[1' (е;)1ь Лх;. Таким образом, длина вписанной ломаной равна л з.= ХР'1+[Г (Е;)1'бах!. !ьи По условию, 1' (х) непрерывна, следовательно, функция )/ 1+ [)!' (х))а тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы, который равен определенному интегралу: ь ь з = 1пп „У«! $ 1+[)' (е!)1а Ох! = ~ ) 1+[1' (х)1ас(х. Итак, подув!а» ах-~О 1= ! ! чили формулу для вычисления длины дуги: ь ь з= ['р'1+[1'(х)1 ( = [ 1,'1+®'д . (2) Замечание !. Исходя из последней формулы, можно получить производную от длины дуги по абсциссе.
Если верхний предел интегрирования будем считать переменным и обозначим через х (переменную интегрирования менять не будем), то длина дуги з будет функцией от х: з(х) =) !г 1+ ® с(х. Дифференцируя а этот интеграл по верхнему пределу, получим Ъ= )у 1+(Й). Эта формула была получена в 5 1 гл. ьг1 при иных предположе- ниях. Пример !. Определить длину окружности х'+рь=гь. Решение.
Вычислим сначала длину четвертой части окружности, ле- жащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги АВ будет у= ргга — ха, лр х откуда — =— <)х 1' га — х' Следовательно, г ! Г х' Г г х!г а! — а= ) !+ а ьь!х= ) Нх=гагсаш — ~ =г —. г' — х' 3 р-,ь ха = г ~о= 2 о о Длина всей окружности а=2иг. Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кривой задано в параметрической форме: х=(р(!), у=ф(!) (а<(<)3), (4) ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 407 где ср(/) и ср(/) — непрерывные функции с непрерывными производными, причем ср' (/) на заданном участке не обращается в нуль. В этом случае уравнения (4) определяют некоторую функцию у = у (х), непрерывную и имеющую непрерывную производную Ф с'Р) с/х ~' (/) Пусть п=ср(а), Ь=ср(р).
Тогда, сделав в интеграле (2) подстановку х=ср(/), с(х=ср' (/) стс, получим Замечание 2. Можно доказать, что формула (5) остается в силе и для таких кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в одной точке (в частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках кривой были непрерывны обе производные ср' (/) и ср' (/). П р и и е р 2. Вычислить длину астронды к = а созе /, у=а зспа /.
Решение. Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, располоасенной с/х с/у в первом квадранте. Находим — = — Засоз'/зш б — =Зазшз/соз/, Парас// ' с/Г метр / будет изменяться от 0 до и/2. Следовательно, н/2 и/2 1 — з= ') )/йаасозс/зсп'!+9аззпса/созе/с)/=за ') 2/созе/зша/б/ 4 з о и/2 21пз / )я/2 За =За зьс/сов/с//=За — ~ = — ' а=ба, о Замечание 3. Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями х=ср(8), у=ф(/), г=)((/), (б) где сс(Г(~ (см.
9 1 гл. тх), то длина ее дуги определяется (так же как и для плоской дуги) как предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функции ср(/), чр(с) и у(с) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [а, 'Р1, то кривая имеет определенную длину (т. е. для нее существует вышеуказанный предел), которая вычисляется по формуле р з= ~)/'[р'(Г)1*+[ф' (1)1'+[Х'(Г)1' ((. (у) а Поеледний результат мы принимаем без доказательства. (гл. хн ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 408 Пример 3. Вычислить длину дуги винтовой линии я=асов й у= = а з1п Д г=атз при изменении 1 от 0 до 2л. Решен и е. Из данных уравнений находим ах= — азш1ай ау = асов зад аз =от оп Подставляя в формулу (7), получим 2л 2л з= ~ )Лазз1пз1+азсоз'1+аатзас=а ~ У!+лгза1=2ла Р' 1+то.
о о 2. Длина дуги кривой в полярных координатах, Пусть в полярных координатах задано уравнение кривой Р=У(9), (8) где р — полярный радиус, Π— полярный угол. Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: х = р соз О, у = р з1п О. Если сюда вместо р подставим его выражение (8) через О, то получим Рнс 240 уравнения х=7(9)созО, у=)(9)з1пО. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления длины дуги применить формулу (5). Для этого найдем производные от х и у по параметру 9: „—" = у' (9) соз Π— у (9) з)п О, Я = (' (9) зги 9+ у (9) соз О. Тогда (";",)*+ ®*=Г (9)1*+~~(ОН =р" +р Следовательно, )/ р 3+рз ~(9 о, Пример 4.
Найти длину кардноиды р=а(1+соя О) (рнс, 240). Изменяя полярный угол 9 от 0 до л, получим половину искомой длины. Здесь р'= — аып О. Следовательно, О 2= 21 Р' аз(1+саво)а+ азв1пзО<(0=2а 1 )г 2+2 сов Оа0=4а ) соз — с(О= 2 о о о 0 1л = 8а в1п — ~ = 8а. 2 )о Пр и мер 5. Вычислить длину эллипса х=а сов й у4 Ьз1п Г, 0~1(2л, предполагая, что а > Ь.
Р е ш е н и е. Для вычисления воспользуемся формулой (5). Вычислим сначала 114 длины дуги, т. е. длину дуги, соответствующей изменению ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА параметра от 1=0 до т=п/2: и/2 4 — '= Г гэ;ьочг, а- О и!2 и/2 ~ 1' аг(! — соз' 1)+Ьг сов'1Ш= ') 1Гаг — (а' — Ь') соьг 131= О О л/2 л/2 ог Ьг = а ') ~/ 1 — , созг 1Ж = а ~ $г 1 — Ьг созг 1 И, а' / О О где Ь= < 1. Следовательно, з=4а ) )Г 1 — ФгсозгГН. Осгаетси )г а'- — ь' а О только вычислить последний интеграл. Но он, как известно, пе выражается в элементарных функциях (см. 4 14 гл.
Х). Этот интеграл можно вычислить только приближенными методами (например, по формуле Симпсона). В частности, если большая полуось эллипса равна 5, а малая равна 4, яг2 /3 1г то я=315, и длина эллипса равна з=4 5 ) гаХ 1 — ! — ) соз'1Ж. Вычис- 15) О ляя последний интеграл по формуле Симпсона (деля отрезок 10, и/21 иа чел!2 3 тыре части), получим приближенное значение интеграла: ) згх 1 — — созгтйш 5 О Ав 1,298, и, следовательно, длина дуги всего эллипса приближенно равна з ш 25,96 единицы длины. й 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений Пусть имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 241).
Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т. е. будет функцией от х: Я =- Я (х). Предположим, что Я (х) есть непрерывная функция от х, и определим объем данного тела. Проведем плоскости х=х, =а, х=х„ х=х„..., х=х„=й. Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом частичном промежутке хь 1(х(х! выберем произвольную точку $2 и для каждого значения 1=1, 2, ..., и построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью х=$;. Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания !1 ($1) (х;; ( $1( х;) и высотой лхг равен Я ($;) ггхг. Объем всех цилиндров будет и„= ~ ь! (91) сгхг.
1=1 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНС!СТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 411 й 5. Объем тела вращения Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной кривой у = ~(х), осью Ох и прямыми х=а, х=Ь. В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, есть круг, площадь которого !"г =атуа = = и[1(х)1 . Применяя общую формулу для вычисления объема [(1) 2 41, получим формулу для вычисления объема тела ар ащени я: ь ! о=и ~ у'г(х=и ~ [1'(х)1'е]х. П р имер. Найти объем тела, образуемого вращением цепной линии ) у= — (ех!~+ е хм) вокруг оси Ох на Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
