32_PiskunovT1 (523111), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2) Определяем точки, в которых у =О". 12х>=0, х=О, 3) Исследуем полученное значение х=О: у" > 0 при х < 0 †крив вогнута, у" > 0 при х > Π†крив вогнута. Следовательно, кривая не имеет точек перегиба(рис. 124). лсимптоты 3 !о) П р и м е р 6. Найти точки перегиба кривой у=(х — 1)Мз. Решение. !) Находим первую и вторую производные: у' = — (х — 1) ! у'= — (х — 1) 1 -з з 2 -о з 3 9 2) Вторая производная нигде не обращается в нуль, прн х=1 она нв существует (у" = Ш со). Рис. 123. Рис.
125. Рнс. 124. 3) Исследуем значение х=1! у" ) О при х < 1 — кривая вогнута, у' < О при х > 1 †крив выпукла. Следовательно, при х= 1 имеется точка перегиба; это †точ (1; О), Заметим, что у' = оо при х= 1, т, е. кривая в этой точке имеет верти- кальную иасательную (рис. 125). 5 10.
Асимптоты Очень часто приходится исследовать форму кривой у=)(х), а значит, и характер изменения соответствующей функции п р и неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом' важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность') неограниченно приближается к некоторой прямой. о) Мы говорим, что переменная точка М движется по нривай в беснонеч. ность, если расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает. исследовлнив поввдвния екнкцин (гл. ч 168 Определение, Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние б от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рнс. 126 и 127).
Рис. 126. Рис. 127. Мы будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси ординат) и наклонные (т. е. не параллельные оси ординат). 1. В е р т и к а л ь н ы е а с и м п т от ы. Из определения асимптоты следует, что если !пп / (х) = оо, или 1пп /(х) = оо, или х -«а+ о к а о 1пп)(х)=со, то прямая хааа у к -«а у есть асимптота кривой у = /(х); и у „—.„-у обратно, если прямая х = а есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств. а Следовательно, для отыскания у д вертикальных асимптот нужно найти такие значения х=а, при приближении к которым функция у = / (х) стремится к бесконечности.
Тогда прямая х= а будет вертикальной асимптотой. 2 Рис. 128. П ример 1. Кривая у = — имеет х — 5 вертикальную асимптоту а=5, так как у — «оо при х — «5 (рис. 128), Пример 2. Кривая у=(ях имеетбескоиечно много вертикальных асимптот: х = — ч- и/2, х = ~ Зп/2, х = ~ 5п/2, ... Это следует иа того, что 18 х — оо, когда х стремится к значениями/2, Зп/2, 5п/2, ... нли — и/2,— Зн/2, — 5п/2,... (рнс. 129). Пример 3. Кривая у=а~~" имеет вертикальную асрмптоту х=о, так как 1пп е~/х= ао (рис. 130). х -«+о П. Н аклонные асимптоты.
Пусть криваяу=/(х) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет внд у=/гх+Ь. (1) Асимптоты З !и! 169 Определим числа й и Ь (рис. 131). Пусть М (х, у) — точка, лежащая на кривой, и У (х, у) — точка, лежащая на асимптоте. Длина Рис.
129. Рис. 130. Рис. 13!. отрезка МР равна расстоянию от точки М до асимптоты. По условию !пп МР = О. (2) к ~-я угол наклона к оси Ох, то из ~~ИМР Если обозначим через !Р найдем УМ.= — . сов~р ' угол (не равный и/2), то в силу преды- Так как !р — постоянный дущего равенства (2') 11щ УМ=О, и->+а и наоборот, из равенства (2') следует равенство (2). Но й!М = (ЯМ вЂ” ЯУ1= ~ у — у(= !1(х) — (Ггх+Ь) (, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 1гл. и 170 и равенство (2') принимает вид 1пп [) (х) — йх — Ь1 = О.
(3) Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), наоборот, если при постоянных й и Ь выполняется равенство (3), то прямая 17=йх+Ь есть асимптота. Определим теперь й и Ь. Вынося х за скобки в равенстве (3), получаем: 1пп х ! — й — — 1 =О. г)(х) ь з + ~ х х Так как х- +оо, то должно выполняться равенство 1пп ~ — й — — ~ =О. г1(х) ь з „„,„~ х я~в При Ь постоянном 1пп — =О.
Следовательно, 1пп !ь — — й1 =О, ь Г1 (,) Х-> Ф Х-++ Ф нли й= 1пп 'Х->+ Ф Зная й, из равенства (3) находим Ь: Ь= 1пп [~(х) — йх|. (4) (5) Х +Ф Н р и мер 4. Найти гсимптоты кривой хе-!-2х — 1 у= Решение. 1) Ищем вертикальные аснмптоты! у — ь-!-се при х — + — О, у — — ое при х — ++О. Следовательно, прямая х=О есть вертикальная асимптота данной кривой. 2) Ищем наклонные аснмптоты: Ь= !пп — = 1!ш ., = 11ш '[!+ а ~=! у ха+2х — 1 . Г 2 1 1 х ,, А „ ха „ „ 1 х х' ~ Итак, если прямая у= йх+Ь есть асимптота, то й и Ь находятся по формулам (4) и (5).
Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая у= йх+Ь есть асимптота. Если хотя бы один нз пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет. Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 131 при х- +со, новсерассуждения справедливы идля случая х — — оо. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ и. е.
Ь=1, Ь= 1!ш (у — х) = х+ьа в= Пш [ — к~= Пш [ ~= 1нп [2 — — ~=2, ° . в. Ь=2. Следовательно, прямая у=х+2 есть наклонная асимптота данной кривой. Для исследования взаимного расположения кривой и асимптоты рассмотрим разность ординат кривой и асимпмли при одном и том же значении х: кз+ 2х — 1 1 — (х+ 2) = —.
к х' При х > О зта разность отрицательна, а при х < Π— положительна; следователь. во, при к > О кривая лежит ниже асймптоты, при х < Π— выше аснмптоты (рис. 132). П р и м е р 5. Найти аснмптоты кривой у=с-"з!пх+х. Решен не. 1) Вертикальных аснмптот, очевидно, нет.
2) Ищем наклонные асимптотьс Ь 1!ш — = Пш у, е-" з!п х+х е х х х — 1!ш [ +11 =1, Ь= 1нп (е-хз!их+к — х)= х-~ та = 1нп е-хз1п х=о. х-~е а Рис. !32. Следовательно, прямая у=х есть наклонная асимптота при х — «+ш. Заданная кривая не имеет аснмптоты при х — ь — со. Действительно, у у е-х Пш — не существует, так как — = — з1п х+1. к х х (Здесь первое слагаемое неограниченно возрастает при х — ь — со и, следовательно, предела не имеет.) й 11.
Общий план исследования функций и построения графиков Под «исследованием функцииз обычно понимается разыскание: 1) естественной области существования функции; 2) точек разрыва функции; 3) интервалов возрастания и убывания функции; 4) точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции; 5) областей выпуклости н вогнутости графика, точек перегиба; б) асимптот графика функции.
исследование поведения Функций 172 (гл. ч На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием). Замечание 1. Если исследуемая функция д=г(х) четная, т. е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. если 1( — х) =1(х), то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции.
При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Пример 1. Функция у=ха четная, так как ( — х)'=х' (см. рнс. 5). Пример 2. Функция у=соах четная, так как соз( — х)=сова (см.
рис. 16). Замечание 2. Если функция у=((к) нечетная, т. е. такая, что при изменении аргумента функция меняет знак, т. е. если 7 ( — х) = — ) (х), то эту функцию достаточно исследовать при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. П р и м е р Э. Функция у=ха нечетная, так как ( — х)з = — х' (см. рис.
7). П р и и е р 4. Функция у=аш х нечетная, так как а1п ( — х) = — з!и х (см. рис. 15). 3 а м е ч а н и е 3. Так как знание одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема. и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определили и области возрастания и убывания функции. х Пример 5.
Исследовать функцию р= з и построить ее график. 1+ хз Решен не. !) Область существования функции — интервал — се < х < <+со. Сразу отметим, что при х < О имеем у < О, а при х > О имеем у > О. 2) Функция всюду непрерывна. 3) Исследуем функцию на максимум н минимум: из равенства 1 — х' р'= а,=о (1+х') находим критические точки: ха= — 1, ха=1. Исследуем характер критических точек: при и < — 1 имеем у' < О; при х > — 1 имеем у' > О. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ $ Н1 Следовательно, при а= †функция имеет минимум: Уса!и = У 1 и = - т = — О, 5. Далее, при х< ! имеем у'>О; при х > 1 имеем у' < О. Следовательно, при х= ! функция имеет максимум' у,„=у)„ 4) Определим области возрастания и убывания функции: при — со < х < — 1 имеем у' < 0 — функция убывает, при — 1 < х < 1 имеем у' > 0 — функция возрастает, при 1 < х < + со имеем у' < 0 †функц убывает.
5) Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба: из равенства 2х (хз — 3) у"= ~,,„— О получаем хг= — й~З, ха=О, хз= у'3. находим Следовательно, точка с координатами х= — йг 3, у = †)~ 3/4 есть точка перегиба; точно так же точки (О, 0) и (~ 3, у' Зг'4) суть точки перегиба. 6) Определим гсимптоты кривой: прн х — +ос у О, при х — — со у — «О. Следовательно, прямая У=О есть единственная наклонная асимптота. Вертикальных асимптот кривая не имеет, так как нц для одного канунного значения х функция не стремится к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
