32_PiskunovT1 (523111), страница 29

Файл №523111 32_PiskunovT1 (Пискунов Н. С. - Дифференциальное и интегральное исчисления) 29 страница32_PiskunovT1 (523111) страница 292013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

2) Определяем точки, в которых у =О". 12х>=0, х=О, 3) Исследуем полученное значение х=О: у" > 0 при х < 0 †крив вогнута, у" > 0 при х > Π†крив вогнута. Следовательно, кривая не имеет точек перегиба(рис. 124). лсимптоты 3 !о) П р и м е р 6. Найти точки перегиба кривой у=(х — 1)Мз. Решение. !) Находим первую и вторую производные: у' = — (х — 1) ! у'= — (х — 1) 1 -з з 2 -о з 3 9 2) Вторая производная нигде не обращается в нуль, прн х=1 она нв существует (у" = Ш со). Рис. 123. Рис.

125. Рнс. 124. 3) Исследуем значение х=1! у" ) О при х < 1 — кривая вогнута, у' < О при х > 1 †крив выпукла. Следовательно, при х= 1 имеется точка перегиба; это †точ (1; О), Заметим, что у' = оо при х= 1, т, е. кривая в этой точке имеет верти- кальную иасательную (рис. 125). 5 10.

Асимптоты Очень часто приходится исследовать форму кривой у=)(х), а значит, и характер изменения соответствующей функции п р и неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом' важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность') неограниченно приближается к некоторой прямой. о) Мы говорим, что переменная точка М движется по нривай в беснонеч. ность, если расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает. исследовлнив поввдвния екнкцин (гл. ч 168 Определение, Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние б от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рнс. 126 и 127).

Рис. 126. Рис. 127. Мы будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси ординат) и наклонные (т. е. не параллельные оси ординат). 1. В е р т и к а л ь н ы е а с и м п т от ы. Из определения асимптоты следует, что если !пп / (х) = оо, или 1пп /(х) = оо, или х -«а+ о к а о 1пп)(х)=со, то прямая хааа у к -«а у есть асимптота кривой у = /(х); и у „—.„-у обратно, если прямая х = а есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств. а Следовательно, для отыскания у д вертикальных асимптот нужно найти такие значения х=а, при приближении к которым функция у = / (х) стремится к бесконечности.

Тогда прямая х= а будет вертикальной асимптотой. 2 Рис. 128. П ример 1. Кривая у = — имеет х — 5 вертикальную асимптоту а=5, так как у — «оо при х — «5 (рис. 128), Пример 2. Кривая у=(ях имеетбескоиечно много вертикальных асимптот: х = — ч- и/2, х = ~ Зп/2, х = ~ 5п/2, ... Это следует иа того, что 18 х — оо, когда х стремится к значениями/2, Зп/2, 5п/2, ... нли — и/2,— Зн/2, — 5п/2,... (рнс. 129). Пример 3. Кривая у=а~~" имеет вертикальную асрмптоту х=о, так как 1пп е~/х= ао (рис. 130). х -«+о П. Н аклонные асимптоты.

Пусть криваяу=/(х) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет внд у=/гх+Ь. (1) Асимптоты З !и! 169 Определим числа й и Ь (рис. 131). Пусть М (х, у) — точка, лежащая на кривой, и У (х, у) — точка, лежащая на асимптоте. Длина Рис.

129. Рис. 130. Рис. 13!. отрезка МР равна расстоянию от точки М до асимптоты. По условию !пп МР = О. (2) к ~-я угол наклона к оси Ох, то из ~~ИМР Если обозначим через !Р найдем УМ.= — . сов~р ' угол (не равный и/2), то в силу преды- Так как !р — постоянный дущего равенства (2') 11щ УМ=О, и->+а и наоборот, из равенства (2') следует равенство (2). Но й!М = (ЯМ вЂ” ЯУ1= ~ у — у(= !1(х) — (Ггх+Ь) (, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 1гл. и 170 и равенство (2') принимает вид 1пп [) (х) — йх — Ь1 = О.

(3) Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), наоборот, если при постоянных й и Ь выполняется равенство (3), то прямая 17=йх+Ь есть асимптота. Определим теперь й и Ь. Вынося х за скобки в равенстве (3), получаем: 1пп х ! — й — — 1 =О. г)(х) ь з + ~ х х Так как х- +оо, то должно выполняться равенство 1пп ~ — й — — ~ =О. г1(х) ь з „„,„~ х я~в При Ь постоянном 1пп — =О.

Следовательно, 1пп !ь — — й1 =О, ь Г1 (,) Х-> Ф Х-++ Ф нли й= 1пп 'Х->+ Ф Зная й, из равенства (3) находим Ь: Ь= 1пп [~(х) — йх|. (4) (5) Х +Ф Н р и мер 4. Найти гсимптоты кривой хе-!-2х — 1 у= Решение. 1) Ищем вертикальные аснмптоты! у — ь-!-се при х — + — О, у — — ое при х — ++О. Следовательно, прямая х=О есть вертикальная асимптота данной кривой. 2) Ищем наклонные аснмптоты: Ь= !пп — = 1!ш ., = 11ш '[!+ а ~=! у ха+2х — 1 . Г 2 1 1 х ,, А „ ха „ „ 1 х х' ~ Итак, если прямая у= йх+Ь есть асимптота, то й и Ь находятся по формулам (4) и (5).

Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая у= йх+Ь есть асимптота. Если хотя бы один нз пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет. Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 131 при х- +со, новсерассуждения справедливы идля случая х — — оо. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ и. е.

Ь=1, Ь= 1!ш (у — х) = х+ьа в= Пш [ — к~= Пш [ ~= 1нп [2 — — ~=2, ° . в. Ь=2. Следовательно, прямая у=х+2 есть наклонная асимптота данной кривой. Для исследования взаимного расположения кривой и асимптоты рассмотрим разность ординат кривой и асимпмли при одном и том же значении х: кз+ 2х — 1 1 — (х+ 2) = —.

к х' При х > О зта разность отрицательна, а при х < Π— положительна; следователь. во, при к > О кривая лежит ниже асймптоты, при х < Π— выше аснмптоты (рис. 132). П р и м е р 5. Найти аснмптоты кривой у=с-"з!пх+х. Решен не. 1) Вертикальных аснмптот, очевидно, нет.

2) Ищем наклонные асимптотьс Ь 1!ш — = Пш у, е-" з!п х+х е х х х — 1!ш [ +11 =1, Ь= 1нп (е-хз!их+к — х)= х-~ та = 1нп е-хз1п х=о. х-~е а Рис. !32. Следовательно, прямая у=х есть наклонная асимптота при х — «+ш. Заданная кривая не имеет аснмптоты при х — ь — со. Действительно, у у е-х Пш — не существует, так как — = — з1п х+1. к х х (Здесь первое слагаемое неограниченно возрастает при х — ь — со и, следовательно, предела не имеет.) й 11.

Общий план исследования функций и построения графиков Под «исследованием функцииз обычно понимается разыскание: 1) естественной области существования функции; 2) точек разрыва функции; 3) интервалов возрастания и убывания функции; 4) точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции; 5) областей выпуклости н вогнутости графика, точек перегиба; б) асимптот графика функции.

исследование поведения Функций 172 (гл. ч На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием). Замечание 1. Если исследуемая функция д=г(х) четная, т. е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. если 1( — х) =1(х), то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции.

При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Пример 1. Функция у=ха четная, так как ( — х)'=х' (см. рнс. 5). Пример 2. Функция у=соах четная, так как соз( — х)=сова (см.

рис. 16). Замечание 2. Если функция у=((к) нечетная, т. е. такая, что при изменении аргумента функция меняет знак, т. е. если 7 ( — х) = — ) (х), то эту функцию достаточно исследовать при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. П р и м е р Э. Функция у=ха нечетная, так как ( — х)з = — х' (см. рис.

7). П р и и е р 4. Функция у=аш х нечетная, так как а1п ( — х) = — з!и х (см. рис. 15). 3 а м е ч а н и е 3. Так как знание одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема. и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определили и области возрастания и убывания функции. х Пример 5.

Исследовать функцию р= з и построить ее график. 1+ хз Решен не. !) Область существования функции — интервал — се < х < <+со. Сразу отметим, что при х < О имеем у < О, а при х > О имеем у > О. 2) Функция всюду непрерывна. 3) Исследуем функцию на максимум н минимум: из равенства 1 — х' р'= а,=о (1+х') находим критические точки: ха= — 1, ха=1. Исследуем характер критических точек: при и < — 1 имеем у' < О; при х > — 1 имеем у' > О. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ $ Н1 Следовательно, при а= †функция имеет минимум: Уса!и = У 1 и = - т = — О, 5. Далее, при х< ! имеем у'>О; при х > 1 имеем у' < О. Следовательно, при х= ! функция имеет максимум' у,„=у)„ 4) Определим области возрастания и убывания функции: при — со < х < — 1 имеем у' < 0 — функция убывает, при — 1 < х < 1 имеем у' > 0 — функция возрастает, при 1 < х < + со имеем у' < 0 †функц убывает.

5) Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба: из равенства 2х (хз — 3) у"= ~,,„— О получаем хг= — й~З, ха=О, хз= у'3. находим Следовательно, точка с координатами х= — йг 3, у = †)~ 3/4 есть точка перегиба; точно так же точки (О, 0) и (~ 3, у' Зг'4) суть точки перегиба. 6) Определим гсимптоты кривой: прн х — +ос у О, при х — — со у — «О. Следовательно, прямая У=О есть единственная наклонная асимптота. Вертикальных асимптот кривая не имеет, так как нц для одного канунного значения х функция не стремится к бесконечности.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,09 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее