32_PiskunovT1 (523111), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рассмотрим другой пример. В результате изучения колебания груза на рессоре (вагон, автомобиль) получили формулу, показывающую, как отклонение у груза от положения равновесия зависит от времени (: у=е м(АсозвГ+Вь1па(). Величины й, А, В, гз, входящие в эту формулу, имеют вполне определенное значение для данной колебательной системы (они зависят от упругости рессоры, от величины груза и т. д., но не изменяются с течением времени 1) и поэтому рассматриваются нами как постоянные. На основании приведенной формулы можно выяснить, при каких значениях 1 отклонение у увеличивается с увеличением г, как меняется величина наибольшего отклонения в зависимости от времени, при каких значениях 1 наблюдаются эти наиболыпие отклонения, при каких значениях ( получаются наибольшие скорости движения груза и ряд других вопросов.
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ й 2. Возрастание и убывание функции В ч б главы 1 было дано определение возрастающей и убывающей функций. Теперь мы применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции. Теорема. 1) Если функция 1(х), имеющая производную на отрезке 1,а, Ь1, возрастает на етом отрезке, то ее производчая ка отрезке 1а, Ь1 не отрицательна, т. е. 1'(х).= О.
2) Если функция 1(х) непрерывна на отрезке 1а, 61 и дифференцируема в промелсутке (а, Ь), причем )' (х) > О для а < х < 6, гпо эта функция возрастает на отрезке 1а, Ь1. Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть ~(х) возрастает на отрезке 1а, Ь1. Придаднм аргументу х приращение Ах и рассмотрим отношение 1 (х+ ах) — 1 (х) (1) ах Так как ) (х) — функция возрастающая, то 1(х+Ах) > 1'(х) при Ах > О и 1(х+Ах) < 1(х) при Ах < О. В обоих случаях ~(+ ) ~() О Ах (2) а следовательно, 1 (х+ Ах) — 1 (х) 'пп Э~ Ах О т. е. )' (х) > О, что и требовалось доказать.
(Если бы было 1' (х) < О, то при достаточно малых значениях Ах отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).) Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть )' (х) > О при всех значениях х, принадлежащих промежутку (а, Ь). Рассмотрим два любых значения х; и х„х, < х„принадлежащих отрезку 1а, 61. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем Г (х,) — 1(х,) =)' ($) (х,— х,), х, < $ < х„. По условию ~' ($) > О, следовательно, 1 (х,) — 1 (х,) > О, а это и значит, что 1(х) — возрастающая функция. Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно: Все перечисленные вопросы входят в понятие «исследовать поведение функции».
Очевидно, выяснить всезти вопросы, вычисляя значения функции в отдельных точках (подобно тому, как мы это делали в гл. П), весьма затруднительно. Целью настоящей главы является установление более общих приемов исследования поведения функций. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ ~гл. т' Если ~(х) убывает на отрезке [а, Ь1, то ~'(х) (О на этом отрезке. Если Г' (х) < О в промежутке (а, Ь)„то Г (х) убегает на отрезке [а, Ь1. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция Рис. 98.
непрерывна во всех точках отрезка [а, Ь') и дифференцнруема всюду на (а, Ь).) Замечание. Доказанная теошз рема выражает следующий геометрический факт. Если на отрезке [а, Ь1 функция ) (х) возрастает, то касательная к кривой у=~(х) в каждой точке на этом отрезке образует с осью Ох острый угол ф или — в отдельных точках — горизонтальна; тангенс 'т" зз этого угла не отрицателен; Г' (х) =* 0 х = 4~ср)О (рнс.
98, а). Если функция 1(х) убывает на отрезке [а, Ь1, то угол наклона касательной — тупой (или — в отдельных точках— касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 98, б). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной. П р и и е р. Определить области возрастания и убывания функции у=х~.
Решение. Производная равна рс=4х', при х > О имеем у' > Π— функции возрастает; при х < О имеем р' < Π— функция убмвает (рис, 99). й 3. Максимум и минимум функций Определение максимума. Функция 1(х) в точке х, имеет максимум (шахппшп), если значение функции г (х) в точке хз больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, 4а1 МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 147 содержащего точку х,. Иначе говоря, функция 7(х) имеет максимум при х=х,, если 7" (х,+Лх) <7" (х,) при любых Ьх (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютнон вели чи не ') .
Так, например, функция у= — 7(х), график которой изображен на рис. 100, имеет максимум при х=-х,. О п редел е н и е м и н и м у м а. Функция 1 (х) имеет минимум (ш(пппшп) при х=х„если 7 (ха+Лх) ~ 1(х,) прн любых Лх — как положительных, так и отрицательных,— до. статочно малых по абсолютной величине (рис. 100). Например, функция д=х', рассмотренная в конце предыдущего параграфа (см.
рис. 99), при х=О имеет минимум, так как у= 0 при х= 0 и у ) 0 прн других значениях х. Рис. 100. Рнс. 101. В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства. 1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях х, заключенных в н у т р и рассматриваемого отрезка. 2.
Не следует думать, что максимум и минимум функции являются соответственно ее наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, дост.аточно близких к точке максимума, а в точке минимума — наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума, ') Иногда это определение формулируют так: функции 7 (х) имеет максимум в точке кю если можно найти такую окрестность йт, ()) точки л, (и < < х, < р), что длк всех точек втой окрестности, отличных от лт, вынолняетсв неравенство 7 (х) < 1(та).
(гл, ч исслвдовлнив поведения ьэнкции 148 Так, на рис. 1О1 изображена функция, определенная на отрезке (а, Ь1, которая при х=х, и х=х, имеет максимум, при х = х, и х = х, имеет минимум, но минимум функции при х=х, больше максимума функции при х=х,. При х=Ь значение фуйкции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке. Максимумы и минимумы функции называют экстремумами*) или экстремальными значениями функции.
Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке '!а, Ь1 в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента. Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений. Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если диФФеренцируемвя Функция у=!(х) имеет в точке х=х, максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е.
~'(х,) =О, Доказательство. Предположим для определенности, что в точке х=хг функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях Ьх (Лх~О) имеет место ((х,+Ах) < !'(х ), т. е. ( (х,+Ах) — ((х ) < О. Но в таком случае знак отношения ! (х, + лх) — г (хд Ах определяется знаком Лх, а именно: ( '+ ") (( ') > 0 при Лх < О, Лх ~('+ ) ~(') <О при Л >О. Лх при х Согласно определению производной имеем ( (х, + ах) — ! (х,) (х,) = !ш Л лх О х Если ((х) имеет производную при х=х„то предел, стоящий справа, не зависит от того, как Лх стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным). Но если Лх — О, оставаясь отрицательным, то )"' (х,) > О.
Если же Лх — О, оставаясь положительным, то !'(х„) <О. Так как )'(х,) есть определенное число, не зависящее от способа стремления Лх к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если !'(х„) =О, *) Ех!гепиип — крайний (лат.). МЛКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 149 Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции. Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция 1(х) имеет проиеводную, то касательная к кривой у=у(х) в этих точках параллельна оси Ох. у Действительно, из того, что 1'(х,)= 1~~р=О, уха где ~р — угол между касательной и осью Ох, следует, что <р=О (рис.
100), Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента х функция 1(х) имеет произ- в водную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которьх производная абрам(ается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обраи~ается в нуль, обязательно су1цествует максимум или минимум. Так, на рис. 100 изображена функция, у которой при х= х, производная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
