32_PiskunovT1 (523111), страница 21
Текст из файла (страница 21)
170. Найти приближенное значение 1645'4!30'. Отв. 1,00262. 171. Зная, что !6200=2,30103, найти приближенное значение !6200,2. Опи. 2,30146. Производные различных порядков 172. у=Зхв — 2хв+ 5х — 1. Найти у". Отв. !8х — 4. 173. у= Ьгхв. Найти у"'. Опы. — х >в/ь. 174'. у=хе. Найти уге>. Отв. 6!. 175. у= — „.
Найти у". !25 Отв. — +. 176. у=]/а' — х~. Найти у. Отв.— п(п+1) С ав хе+в (ав — х') ]г а~ — хв 15 177. д = 2 ф/х. Найти уге>. Отв. —, 178. у = ахв+ Ьх+с. 8 ]г' хт Найти у". Отт О. 179. /(х)=!п(х-(-1), Найти />>'(х). Отв. —, 6 (х-]- 1)е' 180. у = 1и х.
Найти у'". Отв. 6 мс х — 4 мсв х. 181. у = 1п вп>х. Найти у". Отв. 2 с12 х созесв х. 182. / (х) = У' ве~ 2х. Найти /" (х), хв 4! Отв. /" (х)=3(/(х)]' — /(х). 183. у= —. Найти />У(х). Отв. 1 — х' (! — х)ь 184. р=(да+аз) асс!2 —, Найти —. Отв. 4 >Г>р 4аз а т а ' >!4з ' (аз+де)в ' 2 .18б.у= — (е" +е ).
Найти †. Отв. —. 186. у=совах. Найтя у'">. Отв. а" соз(ах+пи/2). >/еу у 187. у=а". Найти уоо. Отв. (1па)" а". 188. у=!п(1+х). Найти угв>. Отв. ( 1)ь-ь †' . 189. у = — . Найти у> в> Отв, 2 ( !)и (и — !)! 1 — х „„„и! (!+х)" !+х (1+х)в+>* 190.
у=ехх. Найти уг">. Отв. е" (х+и). 191. у=х" г)пх. Найти угв>. (п — 1)! Отв. — ' . 192. у = в>пв х. Найти уг" >. Отв. — 2"-> соь (2х+па/2). х 193. у=хе>пх. Найти у>в>. Отв. хв1п(х+пп/2) — псов(х+нп/2). 194. Если >!ву у=вез!ах, то доказать, что у" — 2у'+2у=О. 195.
ув=4ах. Найти г(хв ' Отв. —. 196. Ь'х'+а'у'=а'Ь'. Найти — и —. Отв. —; — —. ув ' ' г!хв ахе ' ' авув ! аеув' г!>у гв дв !97. хе+уз=ге. Найти —. Отв. — —. 198. ув — 2ху=О. Найти —, >/ха уз >!хв ' ояр 2 (5+ 8рв+Зре) Овы. О. !99. Р=16 (4>+Р). Найти . Опт. — ' ' Р + ! бвр 16в р — !6'0 200.
веси сов р = С. Найти — „. Отв.. 20!. ее+я=ее+ у. гйр ' 16 р >Г>у (! — ее+У) (ех — еУ) бву Найти — . Отв. г(хв ' ' (еУ+1)е 202. ф+хз-Залу=О. Найти —. бхв ' Отв. 2авху бву (уе — ах)з ' 203, х=а(! — в!п !), у=а(! — сов(). Найти г!хв 1 >/ву Отв. 4а з!пе (!/2) ' 204. х=асовв1, у=вен>в1. Показать, что — =О. г(хв г!зу 3 сов ! 206.
я=асов(, у=яви>!. Найти —. Оте. —. 206. Показать, ч>о г!Аа ' ' ав з>паз >Г>п две+а —, (з)> х) = з]> х) — „еа (з]> х) = с]> х. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 122 1гл. ги Ур авн ения касательной н нормали. Длйны подкасательной н поднормали 207. Написать уравнение касательной н нормали к кривой у=ха — Зх'— — х+5 в точке М (3, 2). Оте. Касательная 8х — у — 22=0; нормаль х+8у— — !9=0. 208. Найти уравнение касательной н нормали, длйны подкасательной и поднормали окружности хе+уз = гз в точке М (х», у»). Отз. Касательная хх»+ +ууг=гз; нормаль х»у — угх=О; зт=!!у~г/х»); з»у=1 Х»5 209.
Показать, что подкасательная параболы у'=4рх в любой точке делятся вершиной пополам н поднормаль постоянна н равна 2р. Сделать чертеж. 210. Найти уравнение касательной в точке М(х,, у,): а) К эллипсу хз уз ххг ууг а» Ьз ' ' аз Ьз — + — =1. Оли. — '+ — =1. 6) К гиперболе — — — =1.
Ойи. хз у» хх, а' Ь' ' ' аз — — = !. ууг Ьз Заз 2!1. Найти уравнение касательной н нормали к «локону» у= 4а'+ хз в точке, где х=2а. Отз. Касательная х+2у=4а; нормаль у=2х — За. 212. Показать, что нормаль к кривой Зу=бх — 5хз, проведенная в точке М (1, 1/3), проходит через начало координат. 213.
Показать, что касательная к кривой !( — ) +!! — у! =2 в точке (а) 1Ь) М (а, Ь) есть — + — =2. х у а Ь 214. Найти уравнение той касательной к параболе у»=20х, которая об- разует угол 45' с осью Ох. Отз. у=х+5 (в точке (5, 10)). 215. Найти уравнения касательных к окружности х'+у'=52, параллель- ных прямой 2х+Зу=6. Олм. 2х+Зу ~ 26=0. 216.
Найти уравнения касательных к гиперболе 4хз — 9у»=36, перпенди- кулярньх к прямой 2у+5х=10. Отв. Таких касательных нет. 217. Показать, что заключенный между осями координат отрезок каса- тельной к гиперболе ху=т делится точкой касания пополам, 218. Доказать, что заключенный между осями координат отрезок каса- тельной к астронде х И+у И=а И имеет постоянную длину. 2!9. Под каннм углом а пересекаются кривые у=ах н у=ЬХ? Отв, !па — !пЬ 1+ 9» а.
!п Ь ' 220. Найти длйны подкасательной, поднормалн, касательной и нормали циклоиды х=а(6 — з!п6), у=а(1 — сов 6) в точке, для которой О=пГ2. Оли. зт=а; ад«=а! Т=а )/2; В?=а )г 2. 221. Найти величины зг, здг, Т я йг для астронды Х=4асоз»1, у=4аз!пз1. Ота. з =) 4а з1п» г соа г (; з«ч= ! 4а зшз г !6 г (; т = 4а з»п' г; »у = ! 4азш«1!9 1(. Разные задачи Найти производные функций: вгпх 1 /п Х1, 1 1 222.
у= — (п!6 !( — — ) . Отз. у'= —. 223. у=агсвп» вЂ”. 2соззх 2 (4 2) ' ' совах' ' х' Отв. у'= — . 224. у=агсз1п (з1п х). Оте. у«= 1 соа х (х()(х~ — 1 )сов х( ' 1 225. у==ага!2~ ггà — 16 — ) (а>О, В>О). Отз. у'= ~~ аа Ьз 'ч а+Ь 2 ) ' ' ' а+Ьсозх' Х х 1 226. у=(Х1. Отз. у'= —. 227. у=агсзгп Ьх! — хз. Оте. у'= —— )х)' (х! )Г1 хз УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Н! 4 223. Из формул для объема и поверхности шара о= — пгг и з=4пгз сле- 3 бо дует, что — = з.
Объяснить геометрический смысл этого результата. Найти дг аналогичное соотношение между площадью круга и длиной окружности. 220. В треугольнике АВС сторона а выражается через две другие стороны Ь, с и угол А между ними формулой а= у' Ьз+сз — 2ЬссозА. При пойю стоянных Ь и с сторона а является функцией угла А. Показать, что — = Ь„, г/А = л' где Ь есть высота треугольника, соответствующая основанию а. Пояснить этот результат геометрическими соображениями. 230. Пользуясь понятием дифференциала, выяснить происхождение приЬ зк —, Ь ближенных формул У' а'+Ь ш а+ —, ~г аа+Ь ш а+ —, где (Ь) есть число 2а' Заз' малое по сравнению с а. 231.
Период колебания маятника равен Т=п У' 1/у. Какое влияние на погрешность при вычислении периода Т окажет погрешность в 1е4 при измерении: !) длины маятника 1; 2) ускорения силы тяжести у? Ошз. !) ш !/2е4; 2) ш !/2еА. 232. Трактрнса обладает тем свойством, что для любой ее точки отрезок касательной Т сохраняет постоянную длину. Доказать зто, исходя из 1) уравнения трактрисы в форме х= указ — у'+ — !и (а > О)! а+ )/ а~ — уз 2) параметрических уравнений кривой х=а(!В!я(1/2)+соз1), у=аз!п1.
233. Доказать, что функция у=Сте-х+Сзе-зх удовлетноряет уравнению у'+Зу'+2у=б (здесь С, и Сз — постоянные). 234. Полагая у=е" з!п х, к=с соз х, доказать равенства у"=2х, г"= — 2у. 233. Показать, что функция у=з!п(шагов!и х) удовлетворяет уравнению (! — кз) у" — ху'+тзу= О.
/ бу 236. Доказать, что если (а+Ьх) еа/х=к та хз — =~к — Уу! . дхз ~ г!х ГЛАВА ГУ НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ $1, Теорема о корнях производной (теорема Ролла) Теорема Ролл я. Если функция Г(х) непрерывна на отрезке 1а, Ь), дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах х=а и х=Ь обращается в нуль ~~(а)=Г(Ь)=01, тс внутри отрезка (а, Ь1 существует по крайней мере одна точка х=с, а < с < Ь, в которой производная )'(х) обращается в нуль, т. е. 1'(с) =Ое). Доказательство.
Так как функция ~(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение т. Если М=т, то функция Г(х) постоянна, т. е. при всех значениях х имеет постоянное значение )'(х) =О. Но тогда в любой точке отрезка будет Г'(х) =О, и теорема доказана. Предположим, что МФт. Тогда по крайрей мере одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что М > 0 и что функция принимает свое наибольшее значение при х=с, т. е. 1(с) =М. При этом заметим, что с не равно ни а, ни Ь, так как по условию 1(а) =О, Г(Ь)=0.
Так как Г(с) — наибольшее значение функции, то Г(с+а,х) — Г(с)<0 как при Ах>0, так и при тзх < О. Отсюда следует, что () <О при Ах>0, (1 с) (() )О при Ах<0. Ак ") Число с называется корнем функции й (х), если е (с) =О. тВОРВМЛ О КОРНЯХ ПИОИЗВОДИОИ Так как по условию теоремы производная при х=с существует, то, переходя к пределу при Лх О, получим 1пп ('+ ) (~ =1'(с)(0 при йх) О, ах-~0 !пп ('+ " ' =)'(с))0 при Лх~О. ь о Но соотношения 1' (с) (О и )' (с) ) 0 совместимы лишь в том случае, если 7' (с) = О. Следовательно, внутри отрезка [а, Ь1 имеется точка с, в которой производная 1'(х) равна нулю. Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке Ц касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами а и Ь, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, а < с ( Ь, в которой касатель- с а с1 Ь м ная параллельна оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
