32_PiskunovT1 (523111), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Например, если д=х', то у'=5х', у"=20х', у"(=60х', у'и=у(и=120х, у((=у(в(=120, у"'=у"'=. =О. П р и и е р 1. Лана функции у=ев" (й=сопз1). Найти выражение ее производной любого порядка и. Р е ше н не. у'=ее™ у"=йзе"», ... у(»(=й"е"». П р и м е р 2. у = в1п х. Найти у("Ь Решение. у'Ф сов»=за( х+— 2/' у"= — в(их=в(п ~х+2 — ), у'"= — сов »=вы( х+3— 2/' у =вп( х=зщ ~х+4 — ~, и( г и'( 2) ' у'"(= вш (х+л — ~(.
2/' ПРОИЗВОДНЫН РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ 1О7 Аналогично выводятся формулы для производных любого по- рядка и от некоторых других элементарных функций. Читатель сам сможет найти формулы для производных и-го порядка от функций у=х", у=созх, у=[их. На случай производных любого порядка легко обобщаются правила, указанные в теоремах 2 и 3 5 7. В данном случае имеют место очевидные формулы1 (и+о)м> = иш'+о'"', (Си)'ш = Си'"'. Выведем формулу (так называемую формулу Лейбница), даю- щую возможность вычислить производную л-го порядка от про- изведения двух функций и(х) о(х).
Для того чтобы вывестн эту формулу, мы найдем сначала несколько производных, а затем установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка: у =ив, уз =и'о+ив', у = и "о + и'о' + и'о' + ио' =и'о+ 2и'О + ио", у'" = и"'о+йо'+ 2и"о'+2и'о" +и'о" +ао"' = = и"'о+Зйо'+Зи'о" +ио"", у1н = и'но+ 4и' "о'+ би"о" + 4и'о" '+ иоз~ Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается, очевидно, в следующем. Надо выражение (и+ о)" разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степеней для и и о указателями порядка производных, причем нулевые степени (из= оз), входящие в крайние члены разложения, надо заменить самими функциями (т. е.
«производными нулевого порядкае): ин (ио)«н иепо+аиш-ио'+а [а ) им-ей [ +ионн 1 2 Это и есть формула Лейбница. Строгое доказательство этой формулы можно было бы про- вести методом полной математической индукции (т. е. доказать, что нз справедливости этой формулы для порядка и следует справедливость ее для порядка и+1). П р и м е р 3. у = ее"хз. Неатн нраиввоануе зев>.
Решение. и — еех в — хз и'=ае'", в'=2х, и' =а«ее-", в" =2, упп — апееххз + пал -зеех, 2х+ ° ап -зеех. 2 . п(п — 1) с у1п>=еех [а"х'+2па"-за+и (п — 1) ап-з[. юз 1гл. гн пеоизводнля и диффагенцилл й 23. Дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию у=г(х), где х — независимая переменная. Дифференциал этой функции ду=)'(х)дх есть некоторая функция от х, но от х может зависеть только первый сомножитель 1' (х), второй же сомножитель (дх) является приращением независимой переменной х и от значения этой переменной не зависит.
Так как Ыу есть функция от х, то мы имеем право говорить о дифференциале этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается через аеу: д(ду) =ачу. Найдем выражение второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем еРу=[1' (х) дх1'ах. Так как дхот х не зависит, то дх при дифференцировании выносится за знак производной, и мы получаем Фу=1" (х) (дх)'. Принято, записывая степень дифференциала, опускать скобки; так, например, вместо (дх)' принято писать дх', подразумевая под этим квадрат выражения дх; вместо (Ых)* пишут дх' и т. д.
Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала: дз у = д (~Ру) = 1Г" (х) дх'1' Их = 1" ' (х) е(хз. Вообще, дифференциалом п-го порядка называется первый диф. ференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка: д"у = д (гг ' у) = ((ы-и (х) дх"-'1' Их, дпу= 1ы'(х) дх". (1) Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка: Замечание. Равенства (1) и (2) (при н) 1) верны только для того случая, когда х является независимой переменной. Действительно, пусть имеем сложную функцию у = Г (и), и = ф (х) . (3) Мы видели, что дифференциал первого порядка имеет инвариантную форму, независимо от того, будет ли и независимой переменной или функцией от х: ду = г"„' (и) ди.
(4) Второй дифференциал и последующие дифференциалы этим свойством не обладают. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Действительно, на основании (3) и (4) получаем Рд=д (г„'(и)Ни). Но здесь с(и = ~р' (х) в(х зависит от х, и потому мы получаем Фу=с((г„'(и)) с(и+г„'(и) И(г(и) или с(ву = г" (и) (с(и)в + г'„' (и) Юи, где уи = <р" (х) (с(х)в. (5) Аналогичным образом находятся Уу и т. д.
Пример 1. Найти ау н аву сложной функции у=в)пи, и= у' х. Решение. ау =сов и ° йх=сов и аи. 1 2ух Далее, по формуле (5) получаем аву = — в1п и (йи)в+ сов и ави = — Мп и (а и) + сов и и" (ах) в = = — в1пи ~= (ах)в+ сов и ~ — — 11 (нх)в. 'ч2 )~к ) ~ 4хив / $24. Производные различных порядков от неявных функций н функций, заданных параметрически 1. Покажем на примере способ нахождения производных различных порядков от неявных функций. Пусть неявная функция д от х определяется равенством кв ув —,+ Ьа — 1=0.
(1) отсюда находим ау Ьвх ах =,ву (2) Последнее равенство снова дифференцируем по х (имея в виду, что р есть функция от х): ау Ру Ьвд 'Ъ Ихв ав ув Подставляем сюда вместо производной — ее выражение из раау ах венства (2), получаем Ь' х аву Ьв У+ ав у лкв ав уа в Дифференцируем по х все члены этого равенства, помня, что у есть функция от х: 2к 2у йу — + — — =О ав Ь' их ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1гл.
ш 110 или после упрощения агу Ьг (агуг+Ьгхг) а уг Из уравнения (1) следует, что а'уг+(ггха=пгЬг, поэтому вторую производную можно представить в виде Пу Ь ахг а'уг ' гу ну гн ах гн (4) Для нахождения второй производнои — „, дифференцируем но х равенство (4), имея в виду, что г есть функция от х: '(") и ! Их ах и Подставляя последние выражения в формулу (5), получим: ах д~у ау агх Дгу ггг гггг ггг наг В' Дифференцируя по х последнее равенство, найдем — и т. д. гг"у уха 2.
Рассмотрим теперь задачу о нахождении производных вмсших порядков от функции, з ада иной п ар аметр ически. Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями х=~р(1), у=ф(1), 1а((<Т, (з) причем функция х=гр(1) на отрезке [г„Т1 имеет обратную функцию 1=Ф(х). В й 18 было доказано, что в этом случае производная— уу ах определяется равенством Заз) МЕХАНИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 11! Последней формуле можно придать следующий, более компакт- ный вид: ~Ъ Ч' (1)Ф" (б — Ф' (1) Ч'(1) нхз (т (1))з Ру а'у Аналогичным образом можно найти производные — „,, — „, и т.д. П р имер.
Функция у от х задана параметрически1 в=а сов 1, у=Ь81п 1. Найти производные —, ад азу ах' ахв ' Решение. ох впх ау — = — ав)п1, — = — асов1, — =Ь сов б с(1 ' с((а ' Ш ау Ьсов1 Ь =ч — с1к 1, ах — а в1п1 а азд ( — а в1п 1) ( — ь в1п 1) — (ь сов 1) ( — а.сов ухв ( — ав1п 1)а азу — = — Ьз)п) атз Э 1) Ь 1 ав з1пв 1 $25«Механическое значение второй производной Пусть в некоторый момент 1 скорость тела была равна о. Если движение не является равномерным, то за промежуток времени А(, истекший с момента 1, скорости изменится и получит приращение Ло. Средним ускорением за время сз( называется отношение приращения скорости Аи к приращению времени: ао сз А1' Уокорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю; Ао а= 11ш —; Ат Опт Путь з, пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени 1 выражается формулой З=У(1).
(1) Как уже известно (см. 5 1), скорость о тела в данный момент равна первой производной от йути по времени: о=— ав (2) 1ГЛ. НП производная и дифоепинцилл 112 иначе говоря, ускорение (в данный момент) равно производной от скорости по времени: й~ а= — > В1 вз но так как о= †„ , то, следовательно, П р имер. Найти скорость о и ускорение а свободно падающего тела, если зависимость расстояния з от времени 1 дается формулой з= 2 з1~+о>1+з> 1 (3) где я — 9,8м/сз — ускорение земного тяготения, а >>=ай з — значение з при >=О. Решен не. Дифференцируя, находим оз о= — =яг+о>1 йг (4) из этой формулы следует, что ц> — — о~». Дифференцируя еще раз, находим: >1о >1>з а= — = — =е.
Б вр Заметим, что, обратно, если ускорение некоторого движения постоянно и рав- но я, то скорость выражается равенством (4), а расстояние — равенством (3) прн условии, что о~»=о> и >1>=>=а>. й 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали Рассмотрим кривую, уравнение которой есть у =1(х). Возьмем на этой кривой точку М(хт, у>) (рис.
88) и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке М, предполагая, что эта касательная не параллельна осн ординат. Уравнение прямой с угловым коэффициентом й, проходящей через точку М, имеет вид у — у,=й(х — х>). Для касательной (см. й 3) й=)'(хт), поэтому уравнение касательной имеет вид — у, = )"'(х>)(х — х,). аряду с касательной к кривой в данной точке очень часто приходится рассматривать нормаль.
т. е. ускорение прялолинейноео движения равно второй производной от пути ло времени. Исходя из равенства ()), получаем а = )"(1). уРАВнения кАсАтельнои и нОРИАли $2б1 ИЗ Определение. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку н перпендикулярная к касательной в этой точке. Рис. 88. Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент й„связан с угловым коэффициентом йт касательной равенством 1 1 й = — —, т. е. й = — —, и А ° ' ' в Т(»)' Следовательно, уравнение нормали к кривой у=)(х) в точке М(хтч у,) имеет вид 1 у — ут = — —, (х — хт).
)' рч) П р н не р 1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у=ха в точке М (1, 1). Решение. Так как у'=3»2, то угловой коаффицнент касательной равен у'1» т — — 3. Следовательно, уравнение касательной! у — 1=3(х — 1) или у=Зх — 2. 1 4 Уравнение нормали: у — 1= — (х — 1)(3 или у= — — х+ — (рис. 89). 3 3 Длина Т отрезка ОМ (рис. 88) касательной, заключенного между точкой касания и осью Ох, называется длиной касаглелвной. Проекция этого отрезка на ось Ох, т. е. отрезок ОР, называется подкасательной; длина подкасательной обозначается через Зг. Длина У отрезка Мгс называется длиной нормали, а проекция КР отрезка )сМ на ось Ох называется ааднормалью; длина поднормали обозначается через ои. Найдем величины Т, Зг, гт", оу для кривой у=((х) и точки М (х„у,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
