32_PiskunovT1 (523111), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Справедливо и обратное, т. е. если у,<у„у,=~(х,), а уз=~(х,), то из определения возрастающей функции следует, что х, < х,. Таким образом, между значениями х и соответствующими им значениями у устанавливается взаимно однозначное соответствие. 86 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ (ГЛ. Пз Рассматривая эти значения у как значения аргумента, а значения х как значения функции, получаем х как функцию у: х=гр (у). (2) Эта функция называется обратной для функции у=((х). Очевидно, что и функция у=((х) является обратной для функции х=гр(у). Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную. Замечание 1. Укажем без доказательства, что если возрастающая (или убывающая) функция у = у (х) непрерывна на отрезке [а, Ь1, причем 1(а)=с, 1(Ь)=Ы, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [с, с(]. Пример 1.
Пусть дана функция р=хз. Эта функция — возрастающая з— на бесконечном интервале — чо < х <+ю, она имеет обратную х= у' у (рнс. 67), Заметим, что обратная функция х=ф(у) находится путем решения уравнения у=((х) относительно х. Рис. 67. Рис. 68. Пример 2. Пусть дана функция у=е". Эта функция — возрастающая на бесконечном интервале — со < х <+со.
Она имеет обратную х=!пр. Область определения обратной функции О < у <+оз (рис. 68). Замечание 2. Если функция у=((х) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций '). П р и м е р 3, Функция у=ха определена на бесконечном интервале — ое < х <+со.
Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной. Если мы рассмотрим интервал О~к <+со, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет х="у' у. На интервале же — со < х < О функция — убывающая, н обратной для нее будет функция х= — у' у (рис. 69). *) Подчеркнем еще раз, что, говоря о том, что р есть функция от х, мы понимаем однозначную зависимость р от х, 4 1з1 ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 67 Замечание 3. Если функции у=7(х) и х=гр(у) являются взаимно обратными, то графиками их является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через х, а функ- у р'=х цию через у и построим их в одной координатной системе, то получим уже два различных графика. Легко видеть, что графики будут сим- м=-)У' им уу метричны относительно биссектрисы первого координатного угла.
а' о Пример 4. На рис. 68 построены графики функции р=ех (или х=1пу) и обратной для иее Рис. 69. функции р=!пх, рассмотренных в примере 2. Докажем, далее, теорему, позволяющую находить производную у=7" (х), зная производную обратной функции. Теорема. Если для функции У=7'(х) (1) существует обратная функция х=ф(у), (2) которая в рассматриваемой точке у имеет производную ф'(у), отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция у=1'(х) имеет производную 1'(х), равную —,, т.
е. справедлива ф'(у) ' формула (ХЛ) 7' (х) = —, ф Од Таким образом, производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице, деленной на производную второй из этих функций при соответствующих значениях х и у *). Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем приращение ау, тогда на основании (2) Лх = гр (у+ й у) — ф (у) . Так как 1р(у) есть функция монотонная, то стхчьО.
Напишем тождество Ад Ьх Ах' (з) йу *) Когда мы пишем р (х) или у„, мы считаем, что при вычислении производной в качестве независимой переменной берется х; когда же мы пишем ф'(у) или ха, то мы считаем, что при вычислении производной роль независимой переменной играет у. Заметим, что после дифференцирован и я п о у, указанного в правой части формулы (Х'ч'1), надо вместо у подставить 1(к), (гл. Пи ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФВРВНЦИАЛ Так как функция ф(у) непрерывна, то Лх- 0 при Лу — О. Переходя к пределу при Лу- 0 в обеих частях равенства (3), получим 1 1 у„' = —, или (' (х) = —, ху ф (У) т. е. получили формулу (ХЧ1). Замечание. Если пользоваться теоремой о дифференцировании сложной функции, то формулу (ХЧ1) можно получить так.
Дифференцируем обе части равенства (2) по х, считая у функцией от х. Получим 1=ф' (у) у„', откуда у,'= —, ф' (У) Полученный результат наглядно иллюстрируется геометрически. Рассмотрим график функции у =7 (х) (рис. 70). Эта же кривая будет графиком функции х=ф(у), где х рассматривается уже как функция, а у — как независимая переменная. Рассмотрим некоторую точку М(х, у) этой кривой. Обозначим углы, образованные данной касательной с положительными направлениями осей Ох и Оу, соответственно через а и Р. На основании результатов 2 3 о геометрическом значении производной имеем 1' (х) = (ц а, ф' (у) = 1ц Р. (4) Рис. 70. я Из рис.
70 следует, что если а< —, то я я зя (1= — — а. Если же а> — то, как легко видеть, !)= — — а. 3 1 Следовательно, в любом случае 1~~=с1да, откуда (ца1ир= 1 1кР ' =1цас1ца=! или 1ца= †. Подставляя выражения для (ца и 1и (з нз формулы (4), получаем )'(х)= —, ф (УГ й 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование 1) Функция у =агсз!и х. Рассмотрим функцию х= з!ну и построим ее график, напротив ось Оу вертикально вверх (рис. 71). Зта функция определена в бесконечном интервале — оо < у <+ оо.
На отрезке — И12(у(я/2 функция х= з!и у — возрастающая, ее значения заполняют отрезок — 1(х(1. Поэтому функция ф!41 пРОизВОдные ОБРАтных тригонометричаских Функции 89 х= з!ну имеет обратную, которую обозначают так: у = агсз!и х *) .
Эта функция определена на отрезке — 1 (х(1, ее значения заполняют отрезок — п)2(у п)2. На рис. 71 график функции у =агсз1п х изображен жирной линией. Теорема 1. )гроизводнал огп функ- 1 ции агсз!Пх равна, пз. е. Р" 1 — хз ' 1 если у=агсз!их, пго у = ячв(аз г' ! — хз (ХЧ11) Доказательство. На основании равенства (1) находим хз = с05 у. По правилу дифференцирования обратной функции Рис.
71. соз у' 1 но соз у=у' ! — з!Пз у )г' ! — х', поэтому у,'=; перед у' ! — хз корнем берется знак плюс, так как функция у=агсз!Пх принимает значения на отрезке — гт)2 ( у ( п)2 и, следовательно, соз у) О. Приме р 1. 1, е" р=агсзаге", у'= (е") = у 1 (ех)з у 1 езх Пример 2. „=(аг |п —, у'=2агсз|п — - — '( — = — 2 агсйп — г, ~/!в 2) Функция у=агссозх. Как и выше, рассмотрим функцию (2) х=соз у *) Отметим, что известное из тригонометрии равенство у=йгсз!п х есть другая запись равенства (1). Здесь (при данном х) у обозначает совокупность значений углов, синус которых равен х, !гл. ги пгоизводнля и днооврвнцилл ро и построим ее график, направив ось Оу вверх (рис.
72). Эта функция определена в бесконечном интервале — со < у <+со. На отрезке 0< у~~и функция х=сову — убывающая и имеет обратную, которую обозначают так: у = агссов х. Эта функция определена на отрезке — 1 < < х< 1. Значения функции заполняют отрезок и) д)0. На рис. 72 график функции у = а!асов х изображен жирной линией. Теорема 2. Производная от функции 1 агссов х равна —, т. е. д' )71 — хи ' 1 если у=агссовх, то у'=— 'г 1 — хи (Х'!г111) Доказательство. На основании равенства (2) находим иу Рис. 72.
х„' = — зйп у. Следовательно, 1 1 1 Ух иго У Рс! — совг у Но сов у=х, поэтому ! У1 — х2 ' В равенстве гйп у=)г 1 — сов'у перед корнем берется знак плюс, так как значения функции д=агссовх заполняют отрезок 0< <у<и и, следовательно, ейпу)0. Пример 3. ! 1 1 у=агссои(1кх), у'= — (1ях)'=— )г'1 гксх у 1 1Иг х сов'х' 3) Функция у=иге!их. Рассмотрим функцию х=гиу (3) и построим ее график (рис.
73). Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений у=(2й+1) — "(А=О, ~1, ~2, ...), На интервале — п12 < у < и)2 функция х= гк у — возрастающая и имеет обратную, которую обозначают так: у = агс!к х. Эта функция определена на интервале — оо < х <+ оо. Значения функции заполняют интервал — и)2 < у < п)2. На рис. 73 график функции у=а!с!их изображен жирной линией. 414! ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 9! Т ео р ем а 3. Производная от функции а!с!их равна — „т. е.
1 если у=а!с!к х, то у'=1+,, (Х(Х) Доказательство. На основании равенства (3) находим 1 х' = —. ссах у' Следовательно, 1 у„' = —, = соз' у, ка 1 ! СОза У = — = аесау !+!Кау' так как 1и у = х, то окончательно получаем: ! У = 1+хги Пример 4. у=(агс!Кх)а, у'=4(ага!их)'(!их)'=4(агс!их)' 1 ! +ха 4. Функция у=агсс1д х. Рассмотрим функцию (4) х= с(ц у. Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений у= (гп (гг = О, ч-1, ~2, ...).
График этой функции изображен г У Рис. 75. Рис. 74. на рис. 74. На интервале О ( у ( н функция х = С1ц у — убываюГцая и имеет обратную, которую обозначают так: у= агсс1д х. ггл. гп 92 пуоизводнхя и диэевгвицилл если у=агсс1нх, то у'= — —,. (ХХ) Доказательство. Из (4) получаем 1 вше у' 1 1 Следовательно, у'= — з1пеу= — . = — — г-. Но с1ду=* соеесе у 1+с1у у =х. Поэтому 1 у = —— гп» $15.
Таблица основных формул дифференцировании Объединим теперь в одну таблицу все основные формулы и пра- вила дифференцирования, выведенные в предыдущих параграфах, у= сопз1, у'=О. Степенная функция: у = х", у' = их" ', в частности, 1 у = — * 2 1Г.» 1 у »е у = у' х, 1 у= —, Тригонометрические функции: у=з!пх, у'=созх, у=созх, у'= — з1пх, 1 1ь». у '= 1 у=с1нх, у = — —., 31пе»' Обратные тригонометрические функции: 1 у=агсз1пх, у = .
К 1 — »е 1 у=агссозх, у = —— У1 — »" 1 у= агсгц х, у =, +,„ 1 у=агсс1цх, у = — 1 1+»е' Эта функция, следовательно, определена на бесконечном интервале — со < х < + сс, ее значения заполняют интервал О < у < гг. 1 Теорема 4. Производная функция агсс1и х равна — +,, и. е. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ 93 Показательная функция: у=а', у' а" 1па; в частности, у = е", у' = ех.
Логарифмическая функция: у=1од.х, у'= — !Ой,е; в частности, у=1пх, у = —. 1 Общие правила дифференцирования: у=Си (х), у' = Си' (х) (С= сонэ(), у=и+о — то, у'=и'+о' — т', у = ио, у' = и'о+ ио', и и о — ио' Ф у= —, У оо у=г(и), 1 у'=И( ) ч'( ), у=и', у'=си 'и'+и О 1пи. Если у=)".(х), х=~р(у), где ~ и ~р — взаимно обратные функ- ции, то ~'(х) = —,, где у=1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
