32_PiskunovT1 (523111), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ота.—. в!п х з!п 4», з!пю (х/3) 1 х ю!2» х о х ' х о хо ' '9' 34. Иа х/у' ! — сов х. Ото. у> 2. 35. Игп хс!Их. Осле. 1. х -+ о 36. На . Оте. )/3 . 37. Иа (1 — е) !0 —. Оте. —. 2 'и' и-» — за (1о — /! ю ~ 3/ 38. Иа 2 агсз!п х О 2 39 1. ва (а+х) — в!п (а — х) О . Оте. —. 39. 1йп . Оте, 2соза. о Зх 3 х ю х 40. Иа, Оте. !0» — в!их 1 41. 1ип !! 1+ — /! . Оте. е*. / 2>» » ю хо 2 ' х т х/ ! т» 1 Г х дх 42. Иа 1 — ) . Ото.
43. На !1 — /! . О ~1+х) ' е ' 1»+ю 44. Иа (1+ — ) . Ото. е. 45. Иа (л [1и(л+1) — !пл)). Оте. » о 46. Иа (1+сов х)о "'". Оте. ео. 47. Игп !и (1+ сох) Оте. а. » и>"> х ю х 49. 1пп (1+3!8ох)'гв*". Оте. ео. х ! 2»+1/ х ю ( х ! ш . !п (1-[-е") 50. Иа (соа — ) . Оте. 1. 51. Иа . Оте. 1 при а — ++со, в!п ах сс ໠— 1 О при а — — оо. 52.
1ип —. Оте. —. 53. Иа — (а)1).Ото.+со 'х о за[!»' ' 0' ' х нри х- +со> О при х- — со. 54. Иа л(ас/л — 11. Ото. 1по. » еа» еа» еах ев» 55. 1йп . Оте. сс — [). 56. 1ип . Оте. !. ю х ' х е зги ах — з!п рх ' Определить точки разрыва функций! х — 1 57. у= Оте. Разрывы прн х= — 2; — 1,' 01 2. х(х+1) (хо — 4) ' 1 2 68. у=!0 —. Ото. Разрывы при х=О н х= а —; сс ' 2 2 а — ! ° ' ~ — ! ° ° ° Зп' '' ' (2л+1)п ' 59. Найти точки разрыва функции 0=1+2'/" и построить график втой функции. Отв.
Разрыв прка=О (у — + ею при х — »-[-О> у — + ! прн х О) УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Н 63 60. Между следующими бесконечно малымн (при х — ~ О) величинами зх хз, к' х (! — х), з!п зх, 2х соз х р' !Ез х, хез" выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой х, а также высшего и низшего порядка, чем х.
Оше. Бесконечно малые одного порядка с х: з!и Зх и хез"; бесконечно малые зх высшего порядка по сравнению с х.' хз н 2х сов ху !Езх, бесконечно малая низшего порядка по сравнению с х: Зг х (1 — х). 61. Среди указанных бесконечно малых (при х — ь0) величин найти бесконечно малые; равносильные бесконечно малой х: 2з!п х, — !Е2хз х — Зх, ! 2 )/2к~+х~, 1п(1+х); хз+Зхе.
Оаа. — !62х; х — Зхз, !п(1+х). 62. Убедиться в том, что при х — «1 бесконечно малые величины ! — х и 1 — У л будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны? ! — х Оае. 1!ш — =3, следовательно, данные бесконечно малые одного пот ! — Рг х рядка, ио не зквивалентны. ГЛАВА 1П ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ В 1.
Скорость движения Будем рассматривать прямолинейное днижение некоторого твердого тела, например движение камня, брошенного вертикально вверх, или движение поршня в цилиндре двигателя и т. д. Отвлекаясь от конкретных размеров и формы тела, мы будем в дальнейшем представлять его в виде движущейся точки М. Расстояние з движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения М„будет зависеть от времени г, т. е. з будет функайа цией времени у: м =) (1). Пусть в некоторый-момент времени е) т' движущаяся точка М находилась на расстоянии з от начального положения М„а в некоторыи следующии момент 1+Ат' точка оказалась в положении М,— на рис. бт. расстоянии э+Аз от начального положения (рис.
57). Таким образом, за промежуток времени Ж расстояние з изменилось на величину Аз. В этом случае говорят, что за промежуток времени Ау величина з получила приращение Аз. йа Рассмотрим отношение — , "оно дает нам среднюю скорость движения точки за время АГ: йа ср ат' Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки М в момент т.
Если, например, тело в начале промежутка ты перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость, очевидно, не.сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать нам правильное представление об истинной скорости ее движения *) Здесь, как и в дальнейшем, конкретное значение переменной мы будем обозначать той же буквой, что н саму переменную, скорость движения $П о= 1!ш— Лз зг- оЛ1 (3) Таким образом, скоростью двилсения в данный момент называется предел отношения приращения пути Лз к приращению времени Ы, когда приращение времени стремится к нулю. Напишем равенство (3) в развернутом виде. Так как Ьз =) (1+ Л1) — 1(1), то ! (!+ЛΠ— Р<!) ы -«о (3) Это и будет скорость неравномерного движения.
Таким образом, мы видим, что понятие скорости неравномерного движения органически связано с понятием предела. Только с помощью понятия предела можно определить скорость неравномерного движения. Из формулы (3') следует, что о не зависит от приращения времени М, а зависит от значения 1 и характера функции )(1). Пример. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент ! и в момент 1=2 с, если зависимость пути от времени вы91з ражается формулой з= —. 2 ' л! Решение. В момент ! имеем з= —; в момент !+Л! получим 2 и(1+Л1)з и(!а+21 Л!+Л!з) 2 2 Найдем Лзз а(гз-1-21Л!+Л!') 91з + аЛ1* 2 Лз Составим отношение — : Л! Лз 81 Л1+(и ЛН/2) ! Л! Лт 2 =и!+ — и Л11 Лз, г ! по определению имеем о= 1!ш — = 1!ш ~й1+ — йЛ1) =об з! оЛ! Ю з~ 2 Таким образом, скорость в любой момент времени ! равна о=ят.
При 1=2 ямеем о ) ! з=и 2=9,8.2= 19,6 м(с. 3 Н. С. Пискунов, т. ! в момент г. Для того чтобы точнее выразить зту истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени ЛГ. Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент 1 тот предел, к которому стремится средняя скорость при Л1 — О. Этот предел и называют скоростью движения в данный момент: производная н диэфепнипилл $ 2. Определение производной 1гл гп Найдем предел этого отношения при Ьх- О. Если этот предел существует, то его называют п р о и з в о д н о й данной функции 1(х) и обозначают Г' (х).
Таким образом, по определению Е ах -~0 ах или 1'(.)= )! '(х+'х) (') ° (х — пп (4) Следовательно, производной данной функции у=г(х) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Лу к приращению аргумента Ьх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Заметим, что в общем случае для каждого значения и производная !'(х) имеет определенное значение, т. е. производная является также фу нкци ей от х. Наряду с обозначением ('(х) для производной употребляются и другие обозначения, например у, у„", †„ . Конкретное значение производной при х=а обозначается г'(а) или у'!„ „.
Операция нахождения производной от функции )(х) называется дифференцированием этой функции. П р имер 1. Дана функция у=хз1 найти ее производную у'1 1) в произвольной точке х, 2) при х=з. Решение. 1) При значении аргумента, равном х, имеем у=ха. При значении аргумента, равном х+Ьх, имеем у+Ау=(а+ах)з.
Находим прира- Пусть мы имеем функцию у=) (х), (!) определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента х из этого промежутка функция у = )(х) имеет определенное значение. Пусть аргумент х получил некоторое (положительное или отрицательное †безразлич) приращение Лх. Тогда функция у получит некоторое приращение Лу. Таким образом: при значении аргумента х будем иметь у = )'(х), при значении аргумента х+ Лх будем иметь у+ Лу = ( (х+ Гзх). Найдем приращение функции Лу: Лу = )' (х+ Лх) — ( (х).
(2) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: Лу У (х+ Лх) — ! (х) (з) ах ьх гпомвтричаскоа значение производнои щение функции: Ьу = (х+ Лх)' — хз = 2х Лх+(Лх)з. Составляем отношение Ьу Ьу 2х Ьх+(Ьх)а =2х+Лх. Переходя к пределу, найдем производную Лх ' Ьх Лх от данной функции: у'= 1!ш — '= 1!ш (2х+Ьх)=2х. Итак, производная Лу дк о Ьх дк о от функции у=х' в произвольной точке равна у' =2х. 2) При х=а получим у'!к=в=2 3=6 1 Пример 2. у= —, найти у'.
к Решение. Рассуждая так же, как в предыдущем примере, получаем 1 1 У= г У+Лу= х х+ Ьх' 1 1 .х — х — Лх Лх х+Ьх х х(х+Лх) х(х+Лх)' Лу Лх х (х+Лх) ' у'= 1!ш — '= Нгп 1 д„а Ьх дк а ~ х(х+Ьх) ~ ха ' Замечание. В предыдущем параграфе было установлено, ято если зависимость расстояния з движущейся точки от времени ( выражается формулой з=)(1), то скорость и в момент 1 выражается формулой и= 1нп — =!пп Ьз ° ! (!+Л!) — ! (Г) ы- оЬ! ы- о Следовательно, о=з;=~'(!), т.
е. скорость равна производной *) от пути по времени г. й 3, Геометрическое значение производной Мы подошли к понятию производной, рассматривая скорость движущегося тела (точки), т. е. исходя из механических представлений. Теперь мы дадим не менее важное гео метрическое истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке. Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М,. Возьмем на кривой точку М, и проведем секущую М,М, (рйс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
