32_PiskunovT1 (523111), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рп учитывая, что з(п х есть непрерывная функция, окончательно получим у = — з(пх. й 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, т. е. если у = С, где С= сопз(, то у' =О.
(1и) Доказательство. у=С есть такая функция от х, значе- ния которой при всех х равны С. Следовательно, при любом значении х у=1(х) =С. Дадим аргументу х приращение Лх (ЛхчьО). Так как функ- ция у сохраняет значение С при всех значениях аргумента, то у+Ау=1(х+Лх) =С. Значит, приращение функции равно Лу= =1(х+Лх) — 1(х)=О, отношение приращения функции к прира- щению аргумента — = О, и, следовательно, у = 1пп — = О, т. е. ЛР лв лх „,лх у =О.
Последний результат имеет простое геометрическое истолко- вание. Графиком функции у=С служит прямая, параллельная оси Ох. Касательная к графику в любой ее точке, очевидно, совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с осью Ох угол, тангенс которого у' равен нулю. Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е. если у = Си (х), где С = сопз1, то у' = Си' (х). (1г) Доказательство. Рассуждая так же, как и при доказа- тельстве предыдущей теоремы, будем иметь: у=Си(х), у+Лу=Си(х+Лх), Лу = Си (х+ Лх) — Си (х) = С (и (х+ Лх) — и (х)1, Лй С и (и+ Лх) — и (х) лх лх у'= 1пп ~~ =С 1пп "( +л) "(), т.
е. у'=Си'(х). Ьх->О Ьх 0 1 Пример 1. Р=З вЂ”. 1'(' 1 з т. е. 3 в = — ° 2хг' х З 7! ПРОИЗВОДНЫЕ ПОСТОЯННОЙ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ Теорема 3. Производная суммы конечного числа диффвренцируелеых функций равна соответствуюсцей сумме производных этих функций *).
Для случая, например, трех слагаемых имеем у=и(х)+о(х)+!о(х), у'=и'(х)+о'(х)+!о'(х). (Ч!) Доказательство. Для значений аргумента х (аргумент х в обозначении функции для краткости письма опускаем). Для значения аргумента х+Лх имеем у+Лу= (и+Ли)+(о+Ло)+(ох+Лев), где Лу, Ли, Ло и Лох — приращения функций у, и, о и ев, соот- ветствующие приращению Лх аргумента х. Следовательно, Лу=Ли+Ло+Л!о, — = — + — + —, ау Ьи Ьо Ьих Ьх Ьх Ьх Ьх ' у'= [пп — = 1пп — + [нп — + 1пп— Ьу . ли . Ьо . Ьв ьх-хе Ьх ьх-хо Ьх ьх е Ьх ьх е Ь» или у' = и' (х) + о' (х) + ео' (х).
! Пр имер 2. у=зх' — =, Ра х 1 / 11 — -1 у«=3(хх)' — 1,х а / =3 4хх — ~ — — ) х ' > з) т. в. Г 1 у' = 12»а+ — —. » Рахх х Теорема 4. Производная от произведения двух дифференцирувиых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции, т. е. (Ч[1) если у=из, то у'=и'о+ио'. «) Выражение у=и(х) — о(х) равносильно у=и(х)+( — 1) о(х) и у' = [и [х) + ( — 1) о (х)1' = и' (х) + [ — о (х)!' = и' (х) — о' (х).
ироизводнья н диефвренциьл 1гл. ги Доказательство. Рассуждая, как и при доказательстве предыдущей теоремы, получим у=но, у+ Лу = (и + Ли) (о+ Ло), Лу = (и+ Ли) (о+ Ло) — ио = Ли о+ и Ло+ Ли Ло, Лу Лп Л. Л. — = — о+ и —.+ Ли —, Лх Лх Лх Лх' у' = 1ип — = 1йп —,о+ 1ип и — + 1ип Ли — „= Лу .
Ли . ЛО - ЛО ьх~в Лк ьх- 0 ьх в Лх ьх- О =( 1ип — )о+и Иа — + Иа Ли Иа— Лич . Лс Ло ь ОЛХ) ь ОЛК ь ь ь ОЛХ (так как и и о ие зависят от Лх). Рассмотрим последний член в правой части 1ип Ли 1ип —. ЛО ьх о ь. ОЛХ Так как и(х) — дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно, !йп Ли= !). Кроме того, Ь В 1ип — =о чьоп. ЛО у ьх. о Лх Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и мы окончательно получаем у*=и'о+ио'.
На основании доказанной теоремы легко получается правило дифференцирования произведения любого числа функций. Так, если имеем произведение трех функций у= ного, то, представляя правую часть как произведение и и (»хо), получим у' = и' (»хо) + и (ою) ' = и'!Хо+ и (о'со+ »хо') = и 'ов+ ио'со+ и»хо'. Таким приемом можем получить аналогичную формулу для производной произведения любого (конечного) числа функций. Именно, если у=и,и,... и„, то у'=и,'и, ... и,,и„+ и,и, '... и„,и„+... +и,и,... и„,и„'. П р и и е р 3.
Если у = х' в!п х, то у' = (х») ' в!и х+ х' (в!п х) ' = 2х в!и х+ хв спв х. П р и и е р 4. Если у у' х вш х сов х, то У (У Х) В!П Х СОВ »+У Х(В!П Х) СОВ Х+)Г ХВ!П Х (СОВ Х) 1 — В!ПКСОВХ+ф ХСОВХСОВХ+)Х Хв!ПХ( — В!ПХ)= 2)с х 1 в!и 2х + ) ~ х ( в х х ) + 2)I х 4гс х Тео рема 5. Производная дроби (т. е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат е 71 пРОизВОдные пОстОяннОЙ, суммы. ПРОизВедения 77 знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, т. е.
и и'о — ио' если у= — „, то у = Доказательство Если Лу, Ли и Ло суть приращения функций у, и и о, соответствующие приращению Лх аргумента х, то и+ Ли у+б =— уо+ Ь и+Ьи и о Ьи — и Ло бу=— о+Ли о о(о+Ли) оаи — иапо Ли Ьо — о — и Ьу Ьх Лх Лх Ьх о (о+ Ьо) о (о+ Ао) пи Ьо Ьи . Ло — о — и — о Пт — и 1йп бу 1. Ьх Лх ьх а Ьх ьх е Ьх ьх е Ьх ьх- в о(о+по) о )ип (о+Ьо) ьх- о Отсюда, заметив, что Ло- О прн Лх — Ое), получаем и'о — ио' У= от ° ха П р к и е р 5. Если у= —, то сов х ' (ха)' сов х — ха(сов х)' 2хт сов х+ха в!п х сов' х сова х Замечание. Если имеем функцию вида и (х) у=— где знаменатель С есть постоянная, то, дифференцируя зту функцию, нет надобности применять формулу (Ч111), а целесообразнее применять формулу (Ч): 71 1' 1, и' у'=~ — и~ = — и'= —.
"='1с 7' с с Конечно, этот результат получается и по формуле (У111). сов х (сов х) в!и х Пример 6. Если у= —, то у'= —— 7 ' 7 7 *) 1!а Ли=о, так как о(х) — днфференцяруемая н, следовательно, непреьх е рывная функция. 1гл. ги пэоизводнля и диффвэвнцилл $8. Производная логарифмической функции 1 Теорема. Производная от функции 1оя,х равна — 1од,е, т, е. 1 если у=!од,х, то у = — 1од,е. До к аз а тельство. Если Лу есть приращение функции у=!од,х, соответствующее приращению Ьх аргумента х, то у+ Л у = 1од, (х+ Лх); Ьу=!од, (к+ ах) — 1од,х= 1оа,— = 1оа (1+ — ); к+ах т ьх1 — = — !оя (1 + а)ют, ае дх х к Но, как известно (см. 8 7 гл. П), 11п1 (! + арт е а ю Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу е, то логарифм этого выражения стремится к 1од,е (в силу непрерывности логарифмической функции).
Поэтому окончательно получаем у'= 1пп — = Ит — 1оИ,(1+а)м< = — 1од„е. Лу 1 ьк юах ю-юх х 1 Заметив, что 1од,е= —, полученную формулу можно переписать 1 1 так: у'= — —. к 1па' Отметим важный частный случай этой формулы: если а=е, то!па=1пе=1, т. е. если у=!пх, то у =— 1 (Х) Умножим и разделим на х выражение, стоящее в правой части последнего равенства: Д= —,—, 1он, (1+ — ) = — „1оа, (1+ — ) Лк Обозначим величину — через а. Очевидно, и- О при Лх- О и данном х.
Следовательно, ПРОИЗВОДНАЯ ОТ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 9 9. Производная от сложной функции Пусть дана сложная функция у= 1".(х), т. е. такая, что ее можно представить в следующем виде: у= Р (и), и = ~р(х) или у=р~~р(х)1 (см. гл. 1, 9 8). В выражении у=Р(и) переменную и называют промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема.
Если функция и=~р(х) имеет в некоторой точке х производную и„'=ф' (х), а функция у=Р (и) имеет при соответствующем значении и производную у„'=Р'(и), то сложная функция у=Р(~р1х)1 в указанной пючке х также имеет производную, которая равна у,'=Р„'(и) ~р' (х), где вместо и должно быть подставлено выражение и = гр (х). Коротко, уя= уиих т. е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента но х.
Д о к а з а т е л ь с т в о. При определенном значении х будем иметь и=<~(х), у=Р(и). Прн наращенном значении аргумента х+Лх и+Ли = <р(х+ Лх), у+ Лу = Р (и+Ли). Таким образом, приращению Лх соответствует приращение Ли, которому соответствует приращение Лу, причем при Лх — 0 будет Ли О иЛу О. По условию 1нп — = у„". ад Аи оа" Из зтого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при ЛиФО) ь =у'+" ав (1) где а — 0 при Ли — О. Перепишем равенство (1) так~ Лу = у„'Ли+ иЛи.
(2) Равенство (2) справедливо и прн Ли=О при произвольнома, так как оно превращается в тождество 0=0, При Ли= О будем полагать а=О. Разделим все члены равенства (2) на Лх: (3) ПРОИЗВ»)ДИАЯ И Д ИФФИРЕНИИАЛ !гл. !и По условиго 1[гп — =и,', 1нп а=О. Переходя н пределу при йи д„а ах Лх О в равенстве (3), получим ух= уягг» (4) П р имер 1. Пусть дана функция у=а!и (ха).
Найдем у». Лвннуюфункцию представим как функцию от функции следующим образом: у=в!пи, и=ха. Находим ух=сов и, и„=2х. Следовательно, по формуле (4)ух=ухи»= = сов и 2х. Подставляя вместо и его вмражение, окончательно получаем у» = 2« соа (хз). Пример 2. Лана функция у=(!их)з. Найдем у,-. Ланную функцию представим следующим образом: у=па, и=!пх. Нвко. 1 1 1 дим у„=Зиз, и,= —. Следовательно, у„=Зла — =3(1пх)а —. х ' х х Если функция у = 1 (х) такова, что ее можно представить в виде у=Р(и)„и=гр(о), о=ф(х), то нахождение производной у„' производится путем последовательного применения предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем у„' = у„'и,'.
Применяя эту же теорему для нахождения и,', будем иметь и,' = и'„о„'. Подставляя выражение и„' в предыдущее равенство, получаем У» у»и»о» (й) или у„' = Р„' (и) гр„' (о) ф„' (х). Пример 3. Лама функция у=вщ [(1пх)а[. Найдем у». Представим данную функцию следующим образом: у =в!п и, и = оз, с =!п х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
