32_PiskunovT1 (523111), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как выражение в правой части на основании формулы (2) равно единице, то, следовательно, х' — у*=1, а это и есть уравнение гиперболы. Рассмотрим окружность с уравнением х'+ у' = 1 (рис. 83). В уравнениях х= сов(, у = в1п г параметр е численно равен центральному углу ЛОМ или удвоенной площади о сектора ЛОМ, так как г =25. % 201 ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1о1 Отметим без доказательства, что в параметрических уравнениях гиперболы х= сЫ, у= ЕЫ параметр 1 также численно ранен удвоенной площади «гиперболического сектораи АОМ (рис.
84). Рис. ЗЗ. Рис. М. Производные гиперболических функций определяются фор- мулами (з(т х)' = с'и х, (1Ь х) ' = — „, сь'х ' (с1з х) ' = з)т х, (с1(т х)' = — — „, (ХХ11) которые вытекают из самого определения гиперболических функ«» — « — х ций; например, для функции з)тх= — имеем (з( х) ( 2 ) + с( 5 20. Дифференциал — «=~' (х)+Ос, где а- О при Лх — О.
Умножая все члены последнего равенства на Лх, получим Ьу = ~' (х) Ах+«О ох. (1) Пусть функция у=~(х) дифференцируема на отрезке (а, Ь1. Производная атой функции в некоторой точке х отрезка 1о, Ь] определяется равенством 1цп — "=1' (х). Ьк-+О ~~» Отношение — ~ при х»х- О стремится к определенному числу у' (х) а» и, следовательно, отличается от производной. 1'(х) на величину бесконечно малую: ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 102 (гл.ш Так как в общем случае 1'(х) ~0, то при постоянном х и переменном Лх- 0 произведение 1' (х) Лх есть бесконечно малая величина первого порядка относительно Лх.
Произведение же аЛх есть всегда величина бесконечно малая высшего порядка относительно Лх, так как 1пп — = 1пп сс=О. аЛх Ьк-~. О Л» Ьк-+ О Таким образом, приращение Лу функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть 1при 1' (х) ~ 01 так называемая главная часть приращения, линейная относительно Лх. Произведение 1'(х)Лх называют дифференциалом функции и обозначают через о(у нли о() (х). Таким образом, если функция у = 1(х) имеет производную 1' (х) в точке х, то произведение производной )" (х) иа приращение Лх аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом ду: ду = 1' (х) Лх. (2) Найдем дифференциал функции у=х; в этом случае у' = (х)' = 1, и, следовательно, о(у=о(х=Лх илн о(х=Лх. Таким образом, диф- ференциал о(х независимой переменной х совпадает с ее приращея нем Лх.
Равенство пх=Лх можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независи- мой переменной, и тогда рассмотренный пример показывал бы, что это не противоречит определению дифференциала функции. В любом случае формулу (2) мы можем записать так: о(у = )' (х) о(х. Но нз этого соотношения следует, что )" (х) =~. ох Следовательно, производную 1'(х) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так: Лу = о(у+а Лх. (з) Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала функции иа величину бесконечно малую высшего порядка относительно Лх. Если 1'(х) ~0, то аЛх является бесконечно малой высшего порядка и относительно ду и 1пп — = 1+ 1пп, = 1+ 1пп —, = 1.
Л(г . аЛх . а ь* о Лу ь оГ(х)Лх ь о('(х) ДИФФЕРЕНЦИАЛ Поэтому в приближенных вычислениях иногда пользуются приближенным равенством Ьу ж !(у, (4) или в развернутом виде 7" (х+ Лх) — 1 (х) — 7"' (х) Л х, (б) что сокращает вычисления. Пр имер 1. Найти дифференциал ду и приращение Ьу 1) при произвольных значениях х и Ьх: 2) при х=20, Ьх=0,1. Р еще н не. 1) Ьу=(х+Ьх)з — ха=2хЬх+Ьхз, оу=(хз)' Ьх=2х Ьх. 2) Если х=20, Ьх=0,1, то Ьр = 2 20 О,! + О, 1' = 4,01, саар=2 20 0,1 =4,00.
Погрешность при замене Ьу на оу равна 0,01. Во можно считать ее малой по сравнению с ау=4,01 и Рассмотренная задача наглядно иллюстри- руется рис. 85. функции р = х'! многих случаях пренебречь ею. В приближенных вычислениях пользуются также приближенным равенством, которое получается из (б), )(х+Лх) ж 7(х)+!'(х) Лх. (В) П р и м е р 2.
Пусть 7(х) =з1п х, тогда 7'(х) = соз х. В этом случае приближенное равенство (6) примет вид з1п (х+ Ьх) гз з1п х+ соз х Ьх. (7) Рис. 85. Вычислим приближенное значение з1п 46'. Положим х= — (что соответствует 4 и и и углу 45'), Ьх= — (соответствует углу 1'), х+Ьх= — + —. Подставляя 180 4 180' /и и! и н н в (7), будем иметь з1п 46'=з1п ~ — + — ! ю з!п — + — соз — нли ~ 4 180! 4 180 4 з1п 46' ю — + — — =0,7071+0,7071 0,0175= 0,719!.
'г'2 г'2 и 2 2 180 з1псг гн а. П р н не р 4. Если 7(х) =!ах, то по формуле (6) получаем следующее приближенное равенство: 1 гя (х+ Ьх) и ! и х+ — Ьх; при х=О, ах=а получаем !а ан!а. Пример 3. Если в формуле (7) положим х=О, Ьх=а, то получим приближенное равенство; ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1ГЛ. ГЦ Пример 5. Если !(х)=)Гх, то формула (6) дает ух+ахжу х+ — 'ах. 2Ух Пологая х=1, ох=а, получаем приближенное равенство — 1 ус!+а ы 1+ — а. 2 Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как, умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.
Так, например: Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций и и и равен сумме дифференциалов этих функций: д (и+и) = г)и+си. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций и и и определяется формулой с((ио) = и йи+и йи. Докажем, например, последнюю формулу.
Если у=из, то йу= у'дх=(ии'+им') йх=ни'йх+ииах, но и'с(х=с(и, и'дх=ди, поэтому йу=ийи+иди. Аналогично доказываются и другие формулы, например формула, определяющая дифференциал частного: и ови — и во если у= —, то йу= Решим несколько примеров на вычисление дифференциала функции.
1 Пр и мир 6. у=!ха х„ау=2!их — Ех. соа' х 1- ! П р н и е р 7. у = !/1+ 1и х, Еу ~ — ох. 2 )Г1+ 1п х Найдем выражение для дифференциала сложной функции, Пусть у=7(и), и=гр(х), или у=Ц<р(х)1. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции Я = Д (и) <р' (х), следовательно, йу=7„'(и) <р'(х) йх; но 1р'(х) йх=йи, поэтому йу= 7' (и)йи. Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежупючный Э 511 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Юз аргумент и был независимой переменной. Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала, будет широко использовано в дальнейшем.
Пример 8. Дана функции у=з1п 11х. Найти Ву. Решен не. Представив даннуюфункциюкаксложную: у=з1пи, и= у' х, находим ! ив=сваи = ох1 2Ух 1 но = ох=пи, поэтому можно написать 2 )Сх ее=созвав или ау=сов(Ух) о (Тс х). 2 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию у=) (х) и соответствующую ей кривую (рис. 86). Возьмем на кривой у=1 (х) произвольную точку М (х, у), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через а угол*), который касательная образует с положительным направлением оси Ох. Дадим независимой переменной приращение Рис.
88. Рис. 87. Ьх; тогда функция получит приращение Лу= й1М,. Значениям х+Лх, у+Лу на кривой у=)(х) будет соответствовать точка Ма(х+гзх, у+Ау). Из треугольника МР)Т находим 1)Т = Мй( 1и а; так как 2~и=~'(Х), МУ=АХ, тО 5т'Т=Г'(Х) ЛХ; НО СОГЛаСНО ОПрЕдЕЛЕ- нию дифференциала ~'(х)Ьх=йу. Таким образом, МТ=йу. Последнее равенство означает, что дифференциал функции у(х), соответствующий данным значениям х и Ьх, равен приращению ординаты касательной к кривой у=1(х) в данной точке х. «) Предполагая, что функция 1(х) имеет конечнуюпронзводнуювточкех, поаучаем а эь и(2. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1Об 1гл.
Ри Из рис. 86 непосредственно следует, что М,Т=Лу — йу. По доказанному ранее — — 0 при (зх- О. м(г ит Не следует думать, что всегда (зу больше йу. Так, на рис. 87 (ау= М(М, йу=(н'Т, причем Ьу ( йд. й 22. Производные различных порядков Пусть функция у=((х) ди(рференцируема на некотором отрезке )а, 5]. Значения производной )'(х), вообще говоря, зависят от х, т. е. производная )' (х) представляет собой тоже функцию от х.
Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции 7 (х). Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначаетсясимволому" или )»(х): у"=(у')'=)" (х). Так, например, если у= х', то у'=5х', у"=(5х')'=20х'.
Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается через ухо или 1 '(х). Вообще, производной и-го порядка от функ(4ии 1' (х) называется производная (первого порядка) от производной (и — 1)-го порядка и обозначается символом уои или 7(»((х): у(») (у(»-и)' )(») (х) (Порядок производной берется в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени.) Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр: у(((, у~, у~(, ... В таком случае порядок производной можно писать без скобок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
