32_PiskunovT1 (523111), страница 13
Текст из файла (страница 13)
58). Если точка М, неограниченно приближается по кривой к точке М„ то секущая М,М, занимает различные положения М,М;, М,М; и т. д. Если при неограниченном приближении точки М, по кривой к точке М, с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М,Т, то прямая М,Т называется о) Когда мы говорим «производная по х» или «производная по времени Ы и т. д., то под этим мы подразумеваем, что при вычислении производной мы считаем аргументом переменную х нли время ! и т.
д. 3 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ггл. ш 68 касательной к кривой в точке М, (понятие «стремится занять» будет уточнено ниже). Рассмотрим функцию ) (х) и соответствующую этой функции кривую у=~(х) в прямоугольной системе координат (рис. 59). При некотором значении х функция имеет значение у=)(х). Этим значениям х Рис. 60. Рис. 58. и у на кривой соответствует точка М,(х, у). Дадим аргументу х приращение Лх. Новому значению аргумента х+Лх соответствует «наращенное» значение функции у+Лу=Г(х+Лх). Соответствующей ему точкой кривой будет точка М,(х+Ьх, у+Ау). Проведем секущую М,М, и обозначим через у угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ох.
Составим отношение — . Из рис. 59 непосредственно АР Лх ' усматриваем, что ах (1) Если теперь Ьх будет стремиться к нулю, то точка М, будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к М,. Секущая М,М, будет поворачиваться вокруг точки М, и угол ср будет меняться с изменением Лх. Если при Лх- О Рис. 60. угол ~р стремится к некоторому пределу сс, то прямая, проходящая через М, и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол а, будет искомой касательной.
Нетрудно найти ее угловой коэффициент: тй сс = )пп йг ~р = 1пп —" = ~' (х). А В А О~ дифоннннципуьмость функция Следовательно, 1 (х) = (,а, (2) т. е. значение производной )' (х) при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции 1(х) в соответствующей точке М,(х, у) с положительным направлением оси Ох. Пример. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой у=хе в точках Мт(1/2, 1/4); М,( — 1, !) (рис. 60).
Решение. На основании примера 1 й 2 имеем у'=2х; саедовательно, !наг=у' ), Ме — — 1, 12 ае=у' ~„= — 2. $ 4. Дифференцируемость функций Определение. Если функция у=)(х) имеет производную в точке х=х„т. е. если существует Ьу 1 1 (хе+ Ьх) — 1 (хе) (2) а ойх а ° о Ьх то мы говорим, что при данном значении х=х, функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка (а, Ь1 или интервала (а, Ь), то говорят, что она дифференцируема на отрезке (а, Ь1 или соответственно в интервале (а, Ь). Теорема.
Если функция у=((х) дифференцируема в некоторой точке х=х„пю она в втой гпочке непрерывна. Действительно, если 1пп —" = 1' (х,), , Ьх ~„"=Г(~.)+т, где у есть величина, стремящаяся к нулю при Лх — О. Но тогда Лу =1' (х,) Ьх+уйх; отсюда следует, что Лу — О при Лх О, а это и значит, что функция 1(х) непрерывна в точке х, (см. 2 9 гл. 11). Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т. е.
из того, что в какой-нибудь точке х= х, функция у=~(х) непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема: функция 1(х) может и не иметь производной в точке х,. 1гл. Ры ПРО1!ЗВОДНАЯ Г! ДИФФЕРЕНЦИАЛ Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Функция 1(х) определена на отрезке [О, 2[ следующим образом (рнс.
61): [(х)=х прн О~а~1, [ (х) = 2х — 1 прн 1 < х ~ 2. Эта функция прн х=1 не имеет производной, хотя н непрерывна ватой точке. Действительно, прн Лх > 0 имеем 1(1+Лх) — 7(1) [2(1+Ьх) — 1) — [2 1 — 1[ . 2Лх — = Иа о дх о Ьх дх о Лх дх оЛх прн Ьх < 0 получаем — = 1' — =1 Лх дх о Лх дх-о Ьх Таким образом, рассматриваемый предел зависит от того, каков знак Лх, а это значит, что в точке х=! функция не имеет производной '). Геометрически Рнс. 62.
Рнс. 6!. этому соответствует тот факт, что в точке х=! данная окрнвая» не имеет определенной касательной. Непрерывность же функции в точке х= 1 следует нз того, что Ьу=Ьх прн Лх < О, Ьу=2Ьх прн Ьх > О, н, следовательно, в обоих случаях Ьу — + 0 прн Ьх — оО. Пр н мер 2. Функции у= ~~/ х, график которой изображен на рнс. 62, определена н непрерывна для всех значеннй незавнснмой переменной. Выяспнм, имеет лн эта функция производную прн х=О; для этого найдем значення функцнн прн х=О н прн х=О+Лх1прн х=О имеем у=О, прн х=О+Ьх имеем у+Лу= зг' Ьх.
Следовательно, Лу= [; ~Лх. Найдем предел отношения прнращення функции к прнращенню аргумента: Ьу ~~/ Ьх 1!а — = Иа — = Иа з =+со. дх о Ьх дх о Ьх дх-о )з~'Ьхо *) По определению производной требуется, чтобы отношение — стреЛр Ьх мнлось прн Лх — о 0 к одному н тому же пределу яезавнснмо от того, каким образом стремится к нулю Ьх. ПРОИЗВОДНАЯ От ФУНКЦИИ а=к» 71 Таким образом, отношение приращения функции к приращению аргумента в точке к=о стремится к бесконечности при Ьк — О (и, значит, предела не имеет).
Следовательно, рассматриваемая функция не диффереицируема в точке х=о. Касательная к кривой в атой точке образует с осью абсцисс угол н/2, т. е. совпадает с осью Оу. 2 5. Производная от функции у=х" при н целом и положительном Для нахождения производной от данной функции у=)(х), исходя из общего определения производной, необходимо произвести следующие действия: 1) дать аргументу х приращение Лх, вычислить наращенное значение функции: у+ Лу =1(х+ Лх); 2) найти соответствующее приращение функции: Лу =)'(х+Лх) — 1(х); 3) составить отношение приращения функции к приращению аргумента: Ьу 7 (х-)-ак) — 1(к) ах Ьх 4) найти предел данного отношения при Лх- О: ау 1 1 (х+ Ьх) — 1 (х) ь-одк ь о ах Мы применим здесь и в следующих параграфах этот общий способ для вычисления производных от некоторых элементарных функций.
Теорема. Производная функций у =х', еде и — целое положительное число, равна пх" ', т, е. если у = х", то у = пх" к, Доказательство. Имеем функцию у = х». 1) Если х получает приращение Лх, то у+Лу = (х+Лх)'. 2) Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим Лу = (х+ Лх)" — х" = =х" + — х" 'Лх+ х" "(Лх)'+... +(Лх)' — х" 1 1 2 1гл. гц производная и диечварннцилл нли Лу=алч гЛХ+ Х" а(ЛХ)з+... +(ЛХ) . 3) Находим отношение ах 12 — у = пх" '+ ) х" абх+... +(Лх)" в. 4) Найдем предел этого отношения 1гггг оУ ИГЛ (ПХч-г+" ггг 1) Хв-а ЛХ ( +(ЛХ)ч-г1 Ггхч-г ах. оах а»- о~ следовательно, у' =ггх" ', что н требовалось доказать.
П р имер 1. У=ха, у'=5хв-'=Бхв. При мер 2. У=х, у'=!х'-г, у'=1. Последний результат имеет простое геометрическое истолкование: касательная к прямой у=х при любом значении х совпадает с втой прямой и, следовательно, образует с положительным направлением оси Ох угол, тангеас которого равен 1. Отметим, что формула (!) верна и в случае п дробного и отрицательного. (Это будет доказано в 3 12.) П р и м е р 3. у= 1Г х. Представим данную функцию в виде степени: у=х~г~; тогда по формуле (1) (учитывая только что сделанное замечание) получаем 1 1 — г у'= — ха 2 или 1 У == 2)~ х 1 Пример 4. у==. хг х Представим у в виде степеннбй функции: х-вгв Тогда в в 3 — — -г 3 3 у'= — — х в = — — х в 2 2 2хвУ х й 6. Производные от функций у = зйпх; у=созх Теорема 1.
Производнал от з)их есть соз х, т, е. если у=з(пх, то у'=созх. тз ПРОИЗВОДНЫВ ОТ ФУНКЦИЙ у=вм х; у=сов х ю ю! Доказательство. Дадим аргументу х приращение Лх; тогда 1) у+Лу = в!п(х+ Лх); 2) Лу=в1п(х+Лх) — япх=2яп сов Ьх ( Ьх), = 251п — сов (х+ — ! ' Ьх / Ьх1 Ьх 251п — 005 ! х+ — / 5!и— Ьх у !1П1 1пп ' 11пв сов(х+ 2 ) ь ю Ь ь ю Ь ь ю 2 но так как Ьх 5ГП 1пп — = 1, 2 ь„ю Ьх 2 у' = 1пп сов (х+ — "~) = сов х. ьх- ю Последнее равенство получается на том основании, что сов х есть непрерывная функция.
Теорема 2, Производная от совх есть — в!пх, т. е. если у = сов х, то у' = — яп х. (П1) Доказательство. Дадим аргументу х приращение Ьх, тогда у+ Лу = сов (х+ Лх); Лу = сов (х+Лх) — совх= — 2 51п 2 в!и х+Ьх — х . х+Ьх+х Ьх . ( Ьх) 2 ( ' 2/в = — 2 яп — вив (х л- — ! ' Ьх 51П— — — яп (х+ — ); 2 Ьх у' = 1пп — = 1пп — — яп (х+ — ~ = — 1пп яп (х+ — ~; ь. 0ЬХ ь ю '15 1 2в' ьх ю 1 2( 2 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФфВРЕНЦИАЛ (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
