32_PiskunovT1 (523111), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Число е — иррациональное число. Позднее будет указан метод его вычисления с любой степенью точности. Его значение с десятью верными знаками после запятой: е = 2,7182818284... 1 1х Теорема 2. Функция (1+ — ) при х, стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е: 1пп (1+ — ) = е, л тл ') Можно показать, что (1+ — ) — е при а — ь+ со если л не является л) ! монотонно возрастающей переменной величиной. 1 !л Доказательство. Было установлено, что (1+ — „) — е при и — оо, если и принимает целые положительные значения. Пусть теперь х стремится к бесконечности, принимая как дробные, так и отрицательные значения.
1) Пусть х +со. Каждое его значение заключено между двумя!положительными целыми числами: и < х < и+1. При этом !гл, н ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ будут выполняться неравенства 1 1 1 1 ! 1 — ~)- > —, 1+ — >1+ — > 1+ и к и+1' и к и+1! (1+ — „')"" > (1+ —.')" > (1+ +)". Если х- оо, то, очевидно, и а- оо. Найдем пределы перемен- ! !к ных, между которыми заключена переменная (1+ — ): Г)а (1+ — „')""= 11 (1+1)" (1+ — ')- = 1пп (1+ — ) ° 1пп (1+ — ) =е 1=е, и"++ Ф и-~.~. ОЭ и-~+03 !+ 1!и! (1+ — ) и+1 и+1 следовательно (по теореме 4 й 5), 1пп (1+ — „) =е.
(4) 2) Пусть х- — оо. Введем новую переменную Ю= — (х+1) или х= — (1+1). При 1 -(-оо будет х — оо. Можем написать = 1пп ( — ) = 1пп (1+ — ) = И!п (1+ — ) (1+ — ) = =е 1=е. Рис. 45. Теорема доказана. График функции у= (1+ — 11 изображен на к) рис. 45. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ Если в равенстве (4) положить 1/х=а, то при х- оо имеем а — 0 (но а~О) и мы получаем 11ш(1+и)ма=е. а- е Првверы! (!+ — „) = Па (1+ — ) (1+ — ) =а = Па ! 1+ — ) ° Па (!+ — ) =е 1=е. л), 1 и) (1+ — ) = Па (1+ — ) (1+ — ) (1+ — ) = = Па (!+ — ) ° Па (1+ — ) ° 1ип (1+ — ) =е е.е=е!.
~ 1йп ! !+ — ) ° Па (1+ — ) =ее.! =ее. е ( У) е ~ У) 1. Па л 2. Па 3. Па х 4. 1ип х Замечание. Показательная функция с основанием е, у = е", $8. Натуральные логарифмы В 2 8 главы 1 была определена логарифмическая функция у=!оьа,х. Число а называется основанием логарифмов. Если а = !О, то у называется Рвс. 46. десятичным логарифмом числа х и обозначается у=1нх. Из школьного курса известны таблицы значений десятичных логарифмов, которые называются бригговые!и, по имени английского ученого Бригга (1656 — 1630).
играет исключительно большую роль в дальнейшем курсематематики. Эта функция играет большую роль при изучении различных явлений в механике (теория колебаний), в электротехнике и радиотехнике, в радиохимии и т. д. Эту функцию часто называют экспонентой (ехропепВа1 1ппс1юп). Графики показательной функции у=эх и показательной функции у = е " изображены на рис. 46. НРедел. непРеРывность ФункциЙ $гл. и Логарифмы с основанием е= 2,71828...
называются натуральными, или ненероеыми логарифмами, по имени одного из первых изобретателей логарифмических таблиц, математика Непера (1550 — 1617). Следовательно, если е» = х, то у называют натуральным логарифмом числа х и пишут у=!пх вместоу=!од,х. Графики функций у=!пх и у=1дх построены на рис. 47. Рес. 47. Установим, далее, зависимость между десятичными н натуральными логарифмами одного и того же числа х.
Пусть у=!их, или х=10». Прологарифмировав левую и правую части последнего равенства при основании е, получим 1пх=у1п10. Определяем у= —,1пх, или, подставляя значениеу, имеем 1дх= —,„1пх. 1 1 Таким образом, если известен натуральный логарифм числах, то десятичный логарифм этого числа находится путем умножения 1 на множитель М= —,„, ж0,434294, не зависящий отх.
Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным: 1д х = М 1п х. Если положим в этом тождестве х=е, то получим выражение числа М через десятичные логарифмы: 1ие=М (!не=1). Натуральные логарифмы через десятичные выражаются так: 1 1пх= — !дх М где — ж 2,302585. 3 а м е ч а н и е. Для вычисления натуральных логарифмов чисел существуют специальные таблицы (например, см. Б р о нштейн И. Н.
и Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1980). НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 9 9. Непрерывность функций или, что то же самое, 1ип [[(х,+Лх) — [(х,)1= 0. ь»- е (2) Условие непрерывности (2) можно записать и так: 1ип ((х,+Лх)=((х,) ьх -» 0 или 1(щ [(х) = 1 (хх)х х »О но х,= 1ип х. » хо Следовательно, равенство (3) можно записать так: 1ип ! (х) = ( ('!Нп х), х-» хх ~,х х, (4) т.
е. для того, чтобы найти предел непрерывной функции при х — х„достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента х его значение х,. Описательно геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у= ((х) в точках х,+Лх и х, будет по абсолютной величине произвольно малой, если только ! Лх~ будет достаточно. мало. Пусть функция у = ) (х) определена при некотором значении х, и в некоторой окрестности с центром в х,. Пусть у„=~(х,). Если х получит некоторое положительное или отрицательное в безразлично в приращение Лх и примет значение х=х,+Лх, то и функция у получит некоторое приращение Лу.
Новое, наращенное значение функции будет у,+Лу=~(х,+Лх) (рис. 48). Приращение функции Лу выразится формулой Лу = 1 (х,+ Лх) — ~ (х,). ххг' Оп ред елен не 1. Функция у = =1(х) называется непрерывной при значении х = х, (или в точке х„), Рис. 48. если оиа определена в некоторой окрестности точки х, (очевидно, и в самой точке х,) и если 1ип Лу=0 (1) ь- о пиндвл. н нпрврывность функции 1гл.
и Пример 1. Докажем, что функция у=ха непрерывна в произвольной точке ха. Действительно, Уе = хе аУе+ЛУ= (хо-).Лх)»„ЛУ= (»е+ Лх)» — хе» = 2хейх+ Лха, 1!и! Лу = Им (2хеах+ Лхз) = 2»е 1!ю Лх+ 1!а Лх. 1йп Лх= О ь»- о ь»- а Ь»-~0 Ьх Е Ь»-+О при любом способе стремления Лх к нулю (рис. 49,п и б).
Рис. 49. П р и ме р 2. Докажем, что функция У=в!и х непрерывна в произвольной точке ха. Действительно, уз=а!пхе Уе+ЛУ=з!п(хе+Лх) Лх У Лх 1 ЛУ=в!п(ха+ Лх) а1п хе = 2 з!п — ° соз ~хе + — ), 2 (, 2)' Лх l Лх1 Было показано, что Жп в!и= — О (пример 7 5 5). Функция соз ~х+ — ( ь» о 2 2( ограничена. Следовательно, 1!ю Лу=о. ь*- а Аналогичным образом, рассматривая каждую основную элементарную функцию, можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Докажем далее следующую теорему.
Теорема 1. Если функ!(ии (г(х) и (а(х) непрерывны в точке х„то сумма ф(х) =(! (х)+(а(х) также есть непрерывная функ. г(ия в точке х,. Доказательство. Так как !»(х) и 1а(х) непрерывны, то на основании равенства (3) можем написать 1йп ~,(х)=~!(х,) и Вп1»(х)=~,(х,). На основании теоремы 1 о пределах можем написать 1йп ф(х) = 1пп (у,(х)+(а(х)1= 1йп (!(х)+ 1пп уз(х) = «" «в « "+ »4 «х, х-~ »» = 6 (хе) + 1» (хе) = ф (хе) Итак, сумма ф(х) =у,(х)+(,(х) есть непрерывная функция. Тео ема доказана.
ак следствие отметим, что теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Опираясь на свойства пределов, так же можно доказать следующие теоремы: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ а) Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. б) Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль. в) Если и=гр(х) непрерывна при х=х, и 7(и) непрерывна в точке и, = ф (х,), то сложная функция [ [гр (х)1 непрерывна в точке х,. Используя эти теоремы, можно доказать следующую теорему.
Т е о р е м а 2. Всякая элементарная функция непре рывна в каж дой точке, в которой она определена "). П р н мер 3. Функция у=хо непрерывно в любой точке хо н потому 1оп х'=хо, 1пп хо=34=9. х -а хо » 3 П р н мер 4. Функция у=зиз х непрерывна в любой точке н потому Пю з!и х=з!п (и/4) = ух 2/2. х.а х/4 Пример 5. Функция у=о» непрерывна в каждой точке н потому на о»=е".
а-4 а Пример 6. 1пп = 1пп — 1и(1+х)= Ию 1п[(1+х)ах). Тзк !и (1+х), 1 х о х х о х х кзк !!ю (1+х)ах=о н функция !пз непрерывна прн з > Он, следовательно, х е прн з=е, то 1пп !п[ (!+Х) а»1=!п[ 1пп (1+х)Ы»1=!по=1. х-~0 ! ! [х о Определение 2. Если функция у=)(х) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, Ь), где а ~Ь, то говорят, что функция непрерывна на эпюм интервале. Если функция определена н при х=а, и при этом 1пп [(х)= »-аа4 о = 7(а), то говорят, что[(х) в точке х= а непрерывна справа. Если 1пп Г(х)=[(Ь), то говорят, что функция ! (х) в точке х=Ь нех- ь-е прерывна слева.
Если функция ) (х) непрерывна в каждой точке интервала (а, Ь) и непрерывна на концах интервала соответственно справа и слева, то говорят, что функция )(х) непрерывна на замкнупюм интервале илн отрезке [а, Ь1. Пример 7. Функция у=хо непрерывна нз любом отрезке [а, Ь), что следует нз примера 1. Если в какой-то точке х=х, для функции у=[(х) не выпалняется по крайней мере одно из условий непрерывности, т. е. если а) Этот вопрос подробно наложен в книге: Фихтенгольц Г. М. Основы мзтемзтнческого знвзнзз, т. 1.-Мл Наука, 1993. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 1гл. и при х=хе функция не определена или не существует предел 1пп /(х), или 1нп /(х) чь/(хе) при произвольном стремлении х х, х- хе х- х„хотя выражения, стоящие справа и слева, существуют, то прй х=х, функция у=/(х) разрывна.
Точка х=х, в этом случае называется точкой разрыва функции. П ремер 8. Функция у=1/х разрывна при х=О. Действительно, при х=О функция не определена: Ию 1/х=+ОО, 1пп 1/х= — ОО. Легко по- Х -»+О х-»-О казать, что зта функция непрерывна прн любом значении х ~ О. Пример 9. Функция у=2О/х разрывна при х=О. Действительно, Ию 2О/я=оа, Иа 2О/О=О.
При х=о функция не определена (рнс. 50). Х -»+О 'Х-» О Пр имер 1О, Рассмотрим функцию /(х)=х/1 х). При х < 0 будетх/)х( = = — 1; прн х > 0 будет хй х)=1. Следовательно, Иа /(х)»х Ию х/) х) = — 1, ИпО /(х) хх 1йп х/) х) =11 Х-» -О х -» — О Х-»+О х -» + О при х=О функция не определена. Таким образом, мы установили, что функ- ция /(х)=х/)х! разрывна при х=о (рис. 51). Рнс. 51.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
