32_PiskunovT1 (523111), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Произведение а,а, есть величина постоянная. Величина а,сс, + +ар,,+а,сс, иа основании теорем 3 4 есть величина бесконечно малая. Следовательно, !ппизи,=а!аз=Ипат 1йпиз. Следств ие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Действительно, если 1йп и, =а„с — постоянная и, следовательно, Вше=с, то 1пп(си,) =1ппс 1ппи,=с.И!пи„что и требовалось доказать. Пример 2. Пт бхз=б Пи! аз=5 8=40. к '2 к -«3 предел. нвпвнрывность оникции !гл. и 44 есть нуль, то теорема о пределе дроби не может быть применена. В этом случае требуется производить специальные рассмотрения. Пример 4.
Найти Ба (хз — 4)!(х — 2). Здесь анаменатель и числитель х -~ 2 при х — 2 стремятся к нулю и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведем следующее тождественное преобразование: хз — 4 (х — 2) (х+ 2) =х+2. х — 2 х — 2 Это преобразование справедливо прн всех значениях х, отличных от 2, Поэтому, имея в виду определение предела, можем написать Ит — = Нщ = Пщ (х+2)=4. хэ — 4 (х — 2) (а+2) а х — 2 х а х — 2 х а Пример Б.
Найти 1пп х/(х — 1). Прн х — 1 знаменатель стремится х-~ ! и нулю, а числитель я нулю не стремится (числитель стремится я единице). Следовательно, предел обратной величины есть нуль, т. е. 1пп (х — 1) х — ! х О !!щ — = = — =О. а ! х 1пп х ! х -~ 1 Отсюда на основании'теоремы 2 предыдущего параграфа будем иметь 1пп х/(х — 1)= со.
х -~ ! Т е о р е м а 4. Если между соответствующими значениями трех функций и=и(х), г=г (х), о=о(х) выполняются неравенства и г < о, при этом и (х) и о (х) при х — а (или при х — оо) стремятся к одному и тому же пределу Ь, то г = г (х) при х — а (или при х — оо) стремится к !лому же пределу. Доказательство. Для определенности будем рассматривать изменение функций при х — а. Из неравенств и<г< о следуют неравенства и — Ь< г — Ь<о — Ь; по условию 1пп и=Ь, х -~ а 1пп о=Ь. Следовательно, при любом е> О найдется некоторая х а окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство !и — Ь~ <е; так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство ~о — Ь| < е.
В меньшей из указанных окрестностей будут выполняться неравенства — е < и — Ь < в и — е < о — Ь < е, а следовательно, будут выполняться неравенства — е < г — Ь < в, т. е. 1пп г=Ь. х а Теорема 5. Если при х- а (или при х — оо) функция у принимает неотрицательньге значения у) О и при этом стремится к пределу Ь, пю Ь есть неотрицательное число: Ь) О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что Ь < О, тогда ( у — Ь !) ))Ь(, т. е.
модуль разности )у — Ь! больше положительного числа !Ь( и, следовательно, не стремится к нулю при х — а. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Но тогда у при х — а не стремится к Ь, что противоречит условию теоремы. Значит, предположение, что Ь (О, приводит к противоречию. Следовательно, Ь) О. Аналогично доказывается, что если у(0, то 1ип у(0. Т е о р е м а б.
Если между соответствующими значениями двух функций и=и (х) и о=о(х), стремящихся к пределам при х — а (или при х оо), выполняется неравенство о) и, то имеет меся!о 1ип о ) 1ип и. Доказательство. По условию о — и)0, следовательно (по теореме 5), 11ш(о — и) )О, нли 1ипо — 1ип и)~ О, т. е. 1ипи) ) 1ип и. Пример 6. Докажем, что Пав!их=О. х.
о Из рис. 42 следует: если ОА = 1, х > О, то АС=а!п х, АВ=х, в!их < х. Очевидно, что при х < 0 будет )впз х! < )х). Из этих неравенств на основании теорем 5 и 6 следует, что Пгп в!п к =О. х О Пример 7. Докажем, что !пав!п(х/2)=0. х-+О Действительно, ! з!о (х/2) ! < (в!п х 1. Следовательно, Ппз в!п (х/2) =О. х- о П р и ме р 8. Докажем, что Ищсозх= 1; заметим, что созх=1 — 2ваэз(х/2), о следовательно, Пгл соз х= Иа (! — 2 в!пз (х/2)) = 1 — 2 Ппэ впэз (х/2) =1 — 0=1. х-хо х О х-хо В некоторых исследованиях вопроса о пределе переменных приходится решать две самостоятельные задачи: 1) доказывать, что предел переменной существует, и устанавливать границы, внутри которых рассматриваемый предел находится; 2) вычислять рассматриваемый предел о нужной степенью точности. Иногда первый вопрос решается с помощью следующей, важной для дальнейшего теоремы.
Ю с" (х Теорема 7. Если переменная величина Рис. 42. о возрастающая, т. е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т. е. о < М, то зта переменная величина имеет предел 1ип о=а, где а М. Аналогичное утверждение имеет место и для убывающей ограниченной переменной величины. Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, так как оно основывается на теории действительных чисел, которую мы здесь не даем х).
*) Доказательство атой теоремы приведено, например, в книге: Фи хтен- гол ь ц Г. М. Основы математического анализа, т. 1.— Ыс Наука, !968, ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ !Гл. !! В следующих двух параграфах будут получены пределы двух функций, имеющие большое применение в математике. $6. Предел функции — при Х- 0 8!П Х х Функция — ие определена при х=О, так как числитель и 8!П Х знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдем предел атой функции при х- О. Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис. 43); обозначим централь- а ный угол МОВ через х, при этомО< х< и!2.
Из рис. 43 непосредственно следует У площадь,/~ МОА ( площади сектора МОА ( < площади ~),СОА. (1) Ю 1 0 Площадь,Л, МОА = 2 ОА МВ = Рас. 43. — 1 5!и х = — 51п х. 1 . ! 2 2 1 1 ! Площадь еектора МОЛ= — ОА.АМ = — 1.х= — х. 2 2 2 Площадь !~ СОА = — ОА АС= — 1 !и х= — !и х. 1 1 1 2 2 Неравенства (1) после сокращения на '18 переписываются так: 51пх( х< !и х.
Разделим все члены на 5!пх: х 1 1« —— 3!П Х 008 Х или 1) — ) сов х. 3!П Х Х 18(ы вывели это неравенство в предположении, что х) О; замечая, 8!П ( — Х) 8!П Х что = — и соз( — х) =созх, заключаем, что оно верно и при х< О. Но 1цпсозх=!, 1нп1=1. Х-~0 8!П Х Следовательно, переменная — заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, равный 1; таким образом, на основании теоремы 4 предыдущего параграфа 3!П Х 1пп — 1.
х-~0 График функции у= — изображен на рис. 44. 8!П Х число о 47 а!1 Примеры. !ях . зак 1 . в!пх, 1 1 1. !пп — = 11а — ° — = На — ° 1!а — = 1. — = 1. кок«ох совххох«осозх! 2. Да — =1!ай — =й 1пп — =й 1=й (й=сопв!). в!и йх в!и йх . в!п (йх) 'к о к к о йх к о (йх) !о«-ю! Рзс. 44, х к 2 вао — в!и— 1 — сов х 2 .
2 к 3. На — =На — =Па — з!п — =1 0=0. 'х-о х «о к! х о !х 2 2 2 7. Число е Рассмотрим переменную величину ( 1)» где и — возрастающая переменная величина, принимающая значения из натурального ряда чисел 1, 2, 3, ... 11» Теорема 1. Переменная величина (!+ — ~ при и — оо »7 имеет предел, заключенный между 2 и 3, Доказательство.
По формуле бинома Ньютона можем написать ( + 1 )» + л 1 +л(л — !) (1 )~+л(л — 1)(л — 2) (1) + л (л — 1) (л — 2)...(л — (л — !)) 7 1 1» з1п ах з!и сох а ах а 4. Ба — =Ба — ° о вопр« к оТ( в!п(!х (1 рк з!и ак 1!а ко ах . ° р Иа— о ()х а 1 а = — ° — = — (а = соло!, () = сопв1). р'! () пзвдвл. нвпгврывность еэнкции !гл. и Произведя очевидные алгебраические преобразования, получим ( +1)» + +1 ( !)+ 1 ( 1)( 2) '+12 и( л)( и) ''( л )' Из последнего равенства следует, что переменная величина ( ) 1!и 1 + †) †возрастающ переменная величина при возрастаюл) щем л.
Действительно, при переходе от значения и к значению л+1 каждое слагаемое последней суммы возрастает: ! 2(1 — — )<12(1 — — 1) и т. Д. и добавляется еще один член. (Все члены разложения — положительные.) ! !и Покажем, что переменная величина ( 1 + †„ ) ограничена. Замечая, что ( 1 — †) < 1. ( 1 ††) ( 1 ††) < 1 и т. д. из выл) '! и)! и 'Э ражения (2) получим неравенство ( и) 1 2+1 23 ''' 1 2 3 ....л' Замечая, далее, что 1 1 1 1 ! 1 1,2.3 2з 1.2.3.Ч 2з ' ' ' '' 1.2...и 2и-и можем написать неравенство +и) < + +2+2~+' '+2"-'' ( .) 1!л 1 1 1 Подчеркнутые члены правой части этого неравенства образуют геометрическую прогрессию со знаменателем д=1/2 и первым членом а= 1, поэтому ( +и) < +1 + 2+2~ '''+2" '-(-')' =1+ =1+~2 — ( — ) ~ < 3.
2 Следовательно, для всех л получаем (1+Ил<3 число а йт1 Из равенства (2) следует, что (1+ — ) ) 2. Таким образом, получаем неравенства 2< (1+ — ) <3, (3) 1 ~л Этим установлено, что переменная величина (1 + †„ ) ограничена. 1 тл Итак, переменная величина (1 + †) — возрастающая и ограниченная, поэтому на основании теоремы 7 $5 она имеет предел. Этот предел обозначается буквой е. 1 тл Определение, Предел переменной величины(1+ — ) при л) п — оо называется а) числом е: 1 тл е=1пп (1+ — ) . л л ! Из неравенства (3) на основании теоремы б э 5 следует, что и число е удовлетворяет неравенству 2 < е < 3. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
