32_PiskunovT1 (523111), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

На рис. 3 изображена окрестность (х,— е, х,+е) точки х, с радиусом е. $ 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины« Ограниченная переменная величина Будем говорить, что переменная х есть упорядоченная переменная величина, если известна область изменения этой переменной величины и про каждое нз двух любых ее значений можно сказать, какое значение предыдущее и какое последующее. Здесь понятия «предыдущее» и «последующее» не связаны современем, а являются способом «упорядочения» значений переменной величины, т.

е. установления порядка соответствующих значений переменной величины. Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность хо х„х„..., х„, ... Здесь при й' < й значение хь †«предшествующее», а значейие х„ †«последующее» независимо от того, какое нз этих значений больше. Определение 1. Переменная величина называется возрастающей, если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения.

Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего. Возрастающие переменные величины и убывакпцие переменные величины называются монотонно изменяющимися переменными величинами или просто монотоннммаввличинами. П РимеР. Пра удкоенин числа сторон прзвильиаю вписзннсге в кр1т многоугольнике площадь з »того многоугольнике явля«тон возрзстзющей переменной величиной. Площадь прзвнльного описзнного около круга многоуголь* пика при удвоении висла сторон является убывзющей переменной величиной. Заметим, что не всякзя переменнзя величина является непременно возрзстзю. щей или убывающей.

Тзк, нзпример, переменная х=в1пм, если а есть воврзстзющзя величине нз отрезке (О, 2п], не является монотонной величиной. Онз сначала возрзсгзет от О до 1, затем убывает от 1 до — 1 и, изконеп, возрвстает от — 1 до О. Определение 2. Переменная величинахназывается ограниченной, если существует такое постоянное число М) О, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удав. летворяют условию — М< х<М, т.

е. ~к~<М. Иначе говоря> переменная величина называется ограниченной, если можно указать такой отрезок ( — М, М1, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут принадлежать этому отрезку. Однако не следует думать, что переменная величина будет принимать непременно все значения отрезка ( — М, М1. Например, переменная величина, принимающая всевозможные рациональные значения на отрезке 1 — 2, 21, ограничена, тем не менее она не принимает всех значений на ( — 2, 21, а именно иррациональных. 5 6.

Функция При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а следовательно, н в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изучении движения пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от изменения времени. Здесь пройденный путь есть ф у нкц и я времени. Рассмотрим другой пример.

Известно, что площадь круга выражается через радиус так: Я = пЯз. Если радиус )т будет принимать различные числовые значения, то площади* Я также будет принимать различные числовые значения. Таким образом, иаменение одной переменной влечет изменение другой. Здесь площадь круга Я есть функция радиуса )с>. Сформулируем определение понятия «функцня». Определение 1. Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от л или, в символической записи, у=)(х), у=ф(х) и т.

п. Переменная х называется независимой переменном илн аргументом. Зависимость переменных х и у называется функциональной зависимостью. Буква ~ в символической записи функциональной зависимости у=) (х) указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение у. Вместо ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ згл.з записи у=у(х), и=Ф(х) и т.

д. иногда пишут у=у(х), и=и(х) и т. д., т. е. буквы у, и и т. д. обозначают и зависимую переменную, и символ совокупности операций над х. Запись у =С, где С вЂ” постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении х одно и то же н равно С. Оп ределение 2. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила у (х), называется облаелзью определения функции (или областью существования функции). Пример 1.

Функция у=згн хопределена прн всех значениях х. Следо. вательно, ее областью определения будет бесконечный интервал — оз < к < +ез. Замечание Е Если имеем функциональную зависимость двух переменных величин х и у=у(х) и если х и у=у(х) рассматривать как упорядоченные переменные величины, то из двух значений функции у' = ~ (х') и у" = ) (х"), соответствующих двум значениям аргумента х' и х", последующим значением функции будет то, которое соответствует последуняцему значению аргумента. Поэтому естественно, например, следующее определение. Определение 3.

Если функция у=((х) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее значение функции, то функция у = ~ (х) называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция. П р имер з. Функция й=нйз прн О < й < +се есть функция возрастающая, так как большему значенню й соответствует большее значение (). 3 а м е ч а н и е 2. Иногда в определении понятия функции допускают, что каждому значению х, принадлежащему некоторой области, соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной в отличие от определенной выше функции, которую называют одноэначной. В дальнейшем, говоря офункции, мы будем иметь в виду только одн азн а чн ые функции.

Если в силу необходимости придется иногда иметь дело с многозначными функциями, то мы будем делать специальные оговорки. $7. Способы задания функции 1. Табличный способ задания функции. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента х„х„..., х„н соответствующие значения функции у» уз! ° ° ° 1 ул: СПОСОБЫ Зйдания ФУНКЦИИ Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.

д. В результате экспериментального изучения явлений также могут получиться таблицы, выражающие функциональную зависимость между измеряемыми величинами. Так, например, в результате измерения температуры воздуха на метеорологической площадке в определенный день получается следующая таблица: Значение температура Т (в градусах) в вависимссти вт времени С (в часах) Эта таблица определяет Т как функцию е. И. Графический способ задания функции. Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некоторую совокупность точек М(х у), при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу, то зта совокупность точек определяет некоторую однозначную функцию у = 1(х); значениями аргумента являются абсциссы точек, значениями функции — соответствующие ординаты (рис.

4). у=, г у Совокупность точек плоскости хОу, абсциссы которых являются значениями у незацисимой переменной, а ордииаты— соответствующими значениями функции, сг т называется графиком данной функции. Рис. 4. 111. Аналитический способ э а д а н и я ф у н к ц и и. Сначала разъясним понятие «аналитическое выражение». Аналитическим выражением будем называть символическое обозначение совокупности известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные или переменные величины.

Отметим, что под совокупностью известных математических операций будем понимать не только математические операции, известные из курса средней школы (сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.), но и те, которые будут определяться по мере изучения курса. Аналитическими выражениями, например, являются х' — 2, (1д х — з1п х)((бх»+1), 2и — )г'5+Зх и т. д. Если функциональная зависимость у = 1(х) такова, что обозначает аналитическое выражение, то говорят, что функция у от х задана аналитически. число.

пврвмвнная.4врикция 1гл.т Примеры функций, заданных аналитически: 1) у= х' — 2, 2) у=(х+1) (х — 1) ', 3) у=У1 — х', 4) у=з(их, 5) О=пй' и т. д. Здесь функции заданы аналитически с помощью одной формулы (под формулой понимается равенство двух аналитических выражений). В таких случаях можно говорить о естественной области определения функции. Естественной областью определения функции, заданной аналитически, является совокупность значений х, при которых стоящее справа аналитическое выражение имеет вполне определенное аначение.

Характеристики

Список файлов книги