32_PiskunovT1 (523111), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Числа, которые представляютсябесконечными, но непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными числами: таковы числа Р 2. УЗ, б — $~ 2 и т. д. Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (или веи)ественных) чисел. Действительные числа упорядочены по величине, т. е. для каждой пары действительных чисел х н у имеет место одно и только одно из соотношений х(у, х=у, х) у. Действительные числа можно изображать точками числовой оси.
Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны; 1) некоторая точка О, называемая началом отсчета, 2) положительное направление, которое указывается стрелкой, и 3) масштаб для измерения длин. Чаще всего мы будем распо. число.пв»емвннля. ьзнкция !гл. ! лагать числовую ось горизонтально и положительное направле. иие выбирать слева направо. Если число х! положительно, то его изображают точкой М„ лежащей справа от точки О на расстоянии ОМ,= х„если число х, отрицательно, то его изображают точкой М„лежащей слева от точки О на расстоянии ОМ,= — х, (рис.
1). Точка О изображает число нуль. Очевидно, что каждое действительное число изображается определенной точкой числовой оси. Два различных дейс!- вительных числа изобрзжаются различными точками числовой оси. Справедливо также утверждение: каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа (рационального или иррационального). Таким образом, между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует единственная изображающая л-«» ЯЯ его точка и, наоборот, каждой точРис.
!. ке соответствует единственное изображаемое ею число. Это дает возможность во многих рассуждениях в некотором смысле равнозначно употреблять понятие «число х» и понятие «точка хм Последним обстоятельством мы будем широко пользоваться в курсе, Укажем без доказательства следующее важное свойство совокупности действительных чисел: между двумя произвольными действительными числами найдутся как рациональные, так и иррациональные числа.
В терминах геометрических это предложение формулируется так: между двумя произвольными точками числовой оси найдутся как рациональные, так и иррациональные лз вики. В заключение отметим следующую теорему, представлякхцую собой в известном смысле «мостик между теорией и практикой». Теорема. Каждое иррациональное число а можно с любой степенью вы«ности выразить с помои~»в рациональных чисел. В самом деле, пусть иррациональное число а)0 н пусть требуется вычислить а с точностью до 1/и (например, до 1/10, до 1/100 и т. д.).
Каково бы ни было а, оно заключается между двумя целыми числами /!/ и /)/+1. Разделим отрезок между /!/ и л/+1 на л частей; тогда и окажется между рациональными числами /у+ ~ и Ж+ —. Так как разность этих чисел равна 1/и, то, следа. ы+! вательно, каждое из них выражает а с заданной степенью точности: первое с недостатком, а второе — с избытком.
4 ар АБсОлютнАя валичинА деиствитвльнОГО числА 45 Прныер, Иррациональное число г'2 выражается рацнональиыыи чи- слаыи: 1,4 и 1,5 — с точностью до 1410, 1,41 и 1,42 — с точностью до 1/100, 1,414 и 1,415 †точностью до 111000 и т. д. $ 2, Абсолютная величина действительного Числа Введем нужное для дальнейшего понятие абсолютной величины действительного числа.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) дейст- вительного числа х (обозначается ~ х1) называется неотрицатель- ное действительное число, удовлетворяющее условиям ~ 1= х)=х, если х)~О; х ~ = — х, если х < О. Примеры: 121= 2; 1-51= 5; 101=0. Из определения следует, что для любого х справедливо со- отношение х « ~ х ~. Рассмотрим некоторые свойства абсолютных величин. 1.
Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких дей- ствительных чисел не больше суммы абсолютных величин сла- гаемых: 1х+У1« ~ х1+1У ~. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х+ у ) О, тогда 1 х+ у1= к+ у «1 х1+1у ! (так как х «[ х( и у «1у (). Пусть х+у<О, тогда ~х+у~= — (х+у) =( — х)+( — у) «) к~+~у~, что и требовалось доказать. Проведенное доказательство легко распространяется на любое число слагаемых. Примеры: ~ — 2+3~ ( ~ — 2~+13(=2+3=5 или 1( 5; 1 — 3 — 5!=~ — 3!+1 — 5! =3+5=6 или 8=8. 2.
Абсолютная величина разности не меньше разности абсо- лютных величин уменьшаемого и вычитаемого: ~1х — У~) 1х~ — (У~, 1х~) ~ У~. Доказательство. Положим х — у=г, тогда х=у+г и по доказанному ~ х(=~ у+г~ «~ у1+~ г~=~ у1+(х — у(, откуда ! х~ — ) у~ «~ х-у), что и требовалось доказать. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ 1гл. 1 16 3. Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей: 1хуг~=~хЙ у) ~г~.
4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя: Последние два свойства непосредственно следуют из определения абсолютной величины. 3 3. Переменные и постоянные велкчины В результате измерения таких физических величин, как время, длина, площадь, объем, масса, скорость, давление, температура и т.
п., определяются числовые значения физических величин. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, т. е. меняются их числовые значения, другие величины сохраняют свое числовое значение. Так, при равномерном движении точки время и расстояние меняются; скорость остается постоянной. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения.
Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной величиной. В дальнейшем переменные величины мы будем обозначать буквами х, у, г, и,.... и т. д., постоянные величины будем обозначать буквами а, Ь, с, ... и т. д. Замечание. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы. Следует отметить, что при рассмотрении конкретных физических явлений может иметь место такое положение, что величина с одним и тем же названием в одном явлении оказывается постоянной, вдругом †переменн.
Например, скорость равномерного движения есть величина постоянная, а скорость равномерно ускоренного движения †величи переменная. Величины, которые сохраняют свое значение в любом явлении, называются абсолютными поспюянными. Например, отношение длины окружности к диаметру есть постоянная величина и= 3,14159... Как мы увидим на протяжении всего курса, понятие переменной величины является основным понятием дифференциального и интегрального исчислений.
«Поворотным пунктом в ма. тематике, †пис Ф. Энгельс в «Диалектике природыз, †бы декартова переменная величина, Влагодаря этому в математику »41 ОБЛАСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ПЕРЕМЕИНОИ ВЕЛИЧИНЫ 1У вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное н интегральное исчисление». $ 4. Область изменения переменной величины Переменная величина принимает различные числовые значения. В зависимости от характера рассматриваемой задачи совонупность этих значений может быть различная.
Например, температура во- лу ды, подогреваемой в обычных условиях, будет меняться от комнатной температуры, равной 15 — 18'С, до точки кипения, 100' С. [Переменная же величина х=созм может принимать все значения от — 1 до + 1. Значения переменной величины геометрически изображаются точками числовой оси. Так, значения переменной х=соза при всевозможных значениях а изображаются совокупностью точек отрезка числовой оси от — 1 до- 1, включая и точки — 1 и 1 (рис. 2). Определение.
Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной. Отметим следующие области изменения переменной величины, которые часто будут встречаться в дальнейшем. Промежутком или интервалом называется совокупиостьвсех чисел х, заключенных между данными числами а и Ь (а <Ь), при этом сами зти числа н е п р и н а д л е ж а т рассмаъриеаемой совокупности чисел; его обозначают так: (а, Ь) или с помощью неравенств а < х < Ь. Отрезком или сегментом называется совокупность всех чисел х, заключенных между двумя данными числами а н Ь, причем оба числа а и Ь п ри надлежат рассматриваемой совокупности; его обозначают так: [а, Ь] или с помощью неравенств а<х<Ь. Иногда отрезок называется замкнутым промежутком или замкнутым интереалом.
Если одно из чисел а или Ь, например а, присоединяется к промежутку, а другое — нет, то получается полузамкнутый промежуток, его можно задать неравенствами а<х<Ь и обозначить [а, Ь). Если присоединяется число Ь и не присоединяется число а, то получается полузамкнутый промежуток (а, Ь], который можно задать неравенствами а < х< Ь.
Если переменная х принимает всевозможные значения, ббль- шие чем а, то такой интервал обозначают (а, +со) н задают 1гл.т условнмпи неравенствами а < к<+си. Так же рассматриваются бесконечные интервалы и полузамкнутые бесконечные интервалы, задаваемые условными неравенствами а < х < + оо, — оо < х < с, — со < х( (с, — оо < х <+ оо. П р имер. Область изменения переменной я=сова при всевозможных вначениях а есть отрезок 1 — 1, 1) и определяется неравенствами — 1е,х~1. Данные выше определения можно сформулировать, используя вместо понятия «число» понятие «точка», например: Отрезком называется совокупность всех точек х, заключенных между данными точками а и Ь (концами отрезка), причем концы отрезка принадлежат рассматриваемой совокупности.
Окрестностью данной точки х, называется произвольный интервал (а, Ь), содержащий эту точку внутри себя, т. е. интеру ~ е — --. ~тв вал (а, Ь), концы которого удов- .~ летворяют условию а < х, < Ь. Рис. 3. Часто рассматривается окрестйость (а, Ь) точки х„для которой х, является серединой. Тогда х, называется центром окрестности, величина (Ь вЂ” а)12 называется радиусом окрестности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
