32_PiskunovT1 (523111), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из рис. 24 непосредственно следует: х=рсозф, у=рз«пф и, обратно, р=)«'хе+уз, 1нф=у«х. П ри меча н и е. При нахождении «р нужно учитывать, в какой четверти находится точка, и брать соответствующее значение «р. Уравнение р=г'(ф) в полярной системе координат определяет некоторую линию. Пример 1. Уравнение р=а, где а=сопз1, определяет в полярных координатах окружность с центром в полюсе и радиусом а, Уравнение атой окружности (рис.
25) в прямоугольной системе координат, расположенной так, как указано на рис. 24, будет З/хз-«-уз=а или аз+у«=аз. Пример 2, р=аф, где а=сапы. Составим таблицу значений р при некоторых значениях «р: УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ $ Соответствуницая кривая изображена на рнс. 25. Эта кривая называется спиралью Архимеда. П р н мер 3. Р=2асоз«р. Это уравнение окружности раднуса а, центр которой находятся в точке р,=а, «р=О (рнс. 27).
Напишем уравнение этой Рнс. 25. Рнс. 26. Ряс. 27. окружности в прямоугольных координатах. Подставляя в данное уравнение х х р= у ха+уз, соз«р= , будем иметь ]с' хе+у«=2а нлн г~ ха+уз у' хе+уз хг+ у' — 2ах = О. Упражнения к главе $ $. Дана функция /(х) =хг+бх — 4. Проверить, что /(1)=3, /(З)=23.
2. /(х)=ха+1. Вычислить значения: а) /(4), Отв. 17. 6) / []г 2). Отв. 3. в) /(а+!). Отв. аг+2а+2. г) /(а)+1. Ово. аз+2. д) /(аг). Отв. ос+1. е) [/(а)]г. Отв. ас+2аг+1, ж) /(2а). Отв. 4аг+1. я. «р(х)=(х — 1)(Зх+5)-г. Написать выражения «р(1/х) н 1/«р(х). Ово, «р (1/х) =(1 — х) (3+5х)-г; 1/«р (х) =(Зх+5) (х — 1)-г. 4. ф(х)= у' ха+4. Написать выражения «р(2х) я ф(0). Озо. ф(2х) = =22' хг+1 ф(О) =2 5.
/(О)=!20. Проверить равенство /(20)= 2/ (О) 1 — [/(ОН ' 1 — х 7 а+Ы 6. «р(х) =!й —. Проверить равенство ср(а)+«р(6) =«р !« — /!. !+х' '( !+аз/' 7. /(х)=!Ех; «р(х)=хг. Написать выражения: а) /[«р(2)]. Отв. 3162. б) / [«р (а)]. Ово. 3 !й а. в),«р [/ (аЦ . Ово. [1й а]г. 8. Найти естественную область определения функции у=2хг+1. Отв.
— со < х <+ со. 9. Найтн естественные области определения функций: а) У' ! — хг. Отв. — 1~х т;+1. 6) у 3+х+ ~/7 — х. Отв. — 3~х~7. в) ~алесь+а — )зе х — 6. Отв,— со< х<+со. г) —. Отв. х та. д) агсз!пгх. Отв. — 1<х<1. а+х а — х' е) у= !й х. Отв. х > О. ж) у=а" (а > О). Отв. -со <.
х <+ со. Построить графнкн функций: 1 10. у= — За+5. 11. у= — хе+1. 12. у=З вЂ” 2х'. $3. у=хг+2х — 1. 2 14. у=1/(х — !). 15. у=з!п2х. 16. у=созЗх. 17. у=ха — 4х+6. 13. у= = —. 19. у=з!и «1х+ — /! . 20. у=сов ~х — /! . 21. у=!6 — х. 22. у= =с!5(х/4),23. У=З".
24. у=2- '. 25. у=!од,(!/х). 26. у=х +1. 27. у=4 — хз. 28. У=1/хг. 29. У=хс. 30. У=ха. 31. У=]с х. 32. У=(]/ х) . 33. У= )е~х. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФРИГИЯ (гл. 1 ° У=! !. 33. У= ! . ° У= (-) ° У ~™+3). 33. у=4сов ~х+ — ~. 2/' 39. Построить график функции 1(х), определенней на отрезке ! — 11 1) сведующим образом: ) (х) =1-(-х при -1 аЕ х ~01 е(х)=1 — 2х при О~х< 1. 43, Построить график функции (1(х), определенной на отреане (О; 2) сведующим образом: ~ (х) =ха при О ~ х ~ 11 1(х)=л при 1 ° х(2. Построить кривые, данные полярными уравнениями.' 41.
р=арр (гиперболическая спираль). 42. р=.ае (лагарифлиееекал спираль), 43. р=аг'сою2р (лелииската). 44. р=а(1 — соыр) (кардиоида). 43. У=а взп 39ь ГЛАВА И ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ $1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина В этом параграфе мы будем рассматривать упорядоченные переменные величины, изменяющиеся специальным образом, который определяется терминами «переменная величина стремится к пределу». Во всем дальнейшем курсе понятие предела переменной будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа в производная, интеграл и др. Определение !.
Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного 2а числа е можно указать такое значение в л 4 переменной х, что все последующие зна- л-а1 чения переменной будут удовлетворять Рнс. 28. неравенству !х — а~ ( в. Если число а есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу а, и пишут х а или 1ппхс ае). В геометрических терминах определение предела может быть сформулировано следующим образом: Постоянное число а есть предел переменной, если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром в точке а и радиусом и найдется такое значение х, что все точки, соответствующие последующим значениям переменной, будут находиться в этой окрестности (рис.
28). Рассмотрим несколько примеров переменных, стремящихся к пределу. П р н м е р 1. Переменная величина л последовательно прннямает аначеннв 1 ! 1 В!=1+1, «а=1+-ю ха=1+ З з ° Вв=1+ — а "< л1" е) а!!щв есть сокращение латинского слова 1!щеа-предел. ПРедел непрерывность Функций (гл. ц Докажем, что зта переменная величина имеет предел, равный единице.
Имеем 1«„— 11=~ (1+ — ) — 1 ~= —. Для любого е все последующие значения переменной, начиная с номера», где 1/» < е, или» > 1/е, будут удовлетворять неравенству )х„— 11< е, что и требовалось доказать. Заметим, что здесь переменная величина стремится к пределу, убывая.
П р и м е р 2. Переменная величина х последовательно принимает значения 1 1 1 1 1 ха=! — — ~ ха=!+ну ха=! — а ха=1+ а ~ ° ° ~ «ч=!+( !) 2х ' Эта переменная имеет предел, равный единице. Действительно, 11 — !(! 1 ( 1)х/2х) 11 — 1/2и Для любого е, начиная с номера», удовлетворяющего соотношению 1/2" < а, нз которого следует 2" > 1/е, »122 > 1Е(1/е), илн» >— ! Е (1/е) 1Е2 все последующие значения х будут удовлетворять соотношению )х„— 11 < в. Отметим, что здесь значения переменной величины то больше, то меньше предела.
Переменная величина стремится к пределу, «колеблясь вокруг него». 3 а м е ч а н и е 1. Как указывалось в $ 3, гл. 1, постоянную величину с часто рассматривают как переменную величину, все значения которой одинаковы: х= с. Очевидно, что предел постоянной будет равен самой постоянной, так как всегда выполняется неравенство )х — с( = !с — с( = =0<е при любом е. Замечание 2. Из определения предела следует, что переменная величина не может иметь двух пределов. Действительно, й-и 2 Рис. 29. Рис. 30. если 1ппх=а и 1ппх=Ь (а <Ь), то х должен удовлетворять сразу двум неравенствам !х — а! <е и (х — Ь) <е при произвольно малом е, а это невозможно, если е< (Ь вЂ” а)/2 (рис.
29). Замечание 3. Не следует думать, что каждая переменная величина имеет предел. Пусть переменная величина х последовательно принимает следукнцие значения: 1 Хт= — ~ Ха= 1 — — г Ха — — — ° ° ° ° Г Хаа — 1 — -дц г «За+1 =2ааЧ.а ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 5»1 (рис. ЗО). При достаточно большом я значение х,а и все последую1цие значения с четными номерами будут как угодно мало отличаться от единицы, а следующее значение х, е» и все последующие значения х с нечетными номерами будут как угодно мало отличаться от нуля.
Следовательно, переменная х не стремится к пределу. В определении предела указано, что если переменная величина стремится к пределу а, то а — постоянное число. Но понятие «стремится» употребляется и для характеристики другого способа изменений переменной величины, что видно из следующего определения. Определение 2. Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение х, начиная с которого, все последукнцие значения переменной будут удовлетворять неравенству (х~) М. Если переменная х стремится к бесконечности, то ее называют бесконечно болыиой переменной величиной и пишут х — оо. П р и и е р 3. Переменная величина х принимает значения х»= — 1, х»=2, хз= — 3, ..., х„=( — 1)ел, Это †бесконеч большая переменная величина, так как при произвольном М > О все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше М.
Переменная величина х «стремится к плюс бесконечности», х- +со, если при произвольном М > О все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять неравенству М < х. Примером переменной величины, стремящейся к плюс бесконечности, может служить переменная величина х, принимающая значения х»= 1,х,=2, ..., х„=л, Переменная величина х «стремится к минус бесконечности», х — » — «е, если нри произвольном М > О все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять неравенству х < — М.
Например, переменная х, принимающая значения х» = — 1, х»= — 2..., ..., х„ = — л, ..., стремится к минус бесконечности. $2. Предел функции В этом параграфе будем рассматривать некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности, Определение 1.
Пусть функция у=((х) определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция у=-1(х) стремится к пределу Ь (у — Ь) при х, стремящемся к а (х — а), если для каждого положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число 6, что для всех х, отличных от а н удовлетво- 2 н. с, пас<гнои т. 1 ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ !гл. и ряющих неравенству *) ! х — а ~ ( 6, имеет место неравенство !у(х) — Ь! (е. Если Ь есть предел функции у(х) при х — а, то пишут 1!шу(х) =Ь а-~а нли )(х) Ь при х- а. Если !'(х) — Ь при х — а, то на графике функции у=1(х) это иллюстрируется следующим образом (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
