32_PiskunovT1 (523111), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ч'(е) ' й 16. Параметрическое задание функции Даны два уравнения х=ф(1), у=ф(1), (1) где 1 пРинимает значениЯ, содеРжащиесЯ на отРезке (ТП То). Каждому значению 1 соответствуют значения х и у (функции ~р и ф предполагаем однозначными). Если рассматривать значения х и у как координаты точки на координатной плоскости Оху, то каждому значению г будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда 1 изменяется от Т, до Т„эта точка на плоскости описывает некоторую кривую.
Уравнения (1) называются лара- метрическими уравнениями этой кривой, 1 называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим. Предположим, далее, что функция х=ф(1) имеет обратную Т=Ф(х). Тогда, очевидно, у является функцией от х: у = ф '1Ф (х)1. (2) (гл, ги ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 94 Таким образом, уравнения (1) определяют д как функцию от х, и говорят, что функция д от х задается параметрически. Выражение д =1 (х) непосредственной зависимости д от х может получиться путем исключения параметра г из уравнений (1). Параметрическое задание кривых широко применяется в механике.
Если в плоскости Охд движется некоторая материальная точка и нам известны законы движения проекций этой точки на оси координат, х = гр (1), д = ф (1) (1 ) где параметр 1 есть время, то уравнения (Г) являются параметрическими уравнениями траектории движущейся точки. у' Исключая из этих уравнений параметр 1, получим уравнение траектории в форме д=((х) илн г'(х, д) =О. Рассмотрим, например, такую задачу.
Задач а, Определить траекторию и место падения груза; сброшенного с самолета, движуРис. 75. щегося горизонтально со скоростью ое на высоте уе (сопротивлением воздуха можно пренебречь). Решен не. Возьмем систему координат так, как показано на рис. 79, предполагая, что самолет сбрасывает груз в тот момент, когда он пересекает ось Оу. Очевидно, что горизонтальное перемещение груза будет равномерным, с постоянной скоростью ое: э=сед Вертикальное перемещение падающего угз груза под влиянием силы тяжести будет выражаться формулой э= —.
Сле- 2 довательно, расстояние груза от земли в любой момент времени будет выра- угз жаться формулой у=уе— 2 два уравнения У=уз у~2 2 будут параметрическими уравнениями траектории. Чтобы исключить параметр О из первого уравнения находим значение г= — и подставляем это значение ое во второе уравнение. Тогда получим уравнение траектории в форме у у=уз э хз. 2оо Это — уравнение параболы с вершиной в точке М (О, уа), причем ось Оу служит осью симметрии параболы.
Определим величину отрезка ОС. Обозначим абсцуссу точки С через Х, заметим, что ордината этой точки У=О. Подставляя этн значения в предыдущую формулу, будем иметь о=у,— х, 2 2ге ,3 откуда й !7! УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 95 й 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме Окружность. Дана окружность с центром в начале координат и радиусом г (рис. 76). Обозначим через ! угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку М (х, у) окружности, и осью Ох. Тогда иоординаты любой точки окружности выразятся через параметр Г следующим образом: х=гсоз Г, у=г Мп ), 0~)~2п. Рис. 77. Рис. 76.
этих уравнений параметр (г то получим уравнение окружности, содержащее только х и у. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая, находим х'+уз =г'(созе Г+з$пз Г) или хз+ уз = гз. Эллипс. Дано уравнение эллипса хз уз — + — =!. а' Ь' Положим х=а сов 1, (2') производя необходимые преобра- Подставляя это выражение в уравнение (!) и вования, получим у=Ьзгп й Уравнения х=а сов (, у=Ьз3п Гг (2") Оя Г~2я, нвляются параметрическими уравненияМи эллипса. Выясним геометрический смысл параметра И Проведем две окружности с центрами в начале координат и радиусами а и Ь (рис. 77!.
Пусть точка М (х, у) лежит на эллипсе, а  — точка большой окружности, имеющая ту же вбсциссу, что и точка М. Обозначим через ! угол, образованный радиусом ОВ о осью Ох. Непосредственно из рисунка следует х=ОР=а сов Г (это — уравнение (2')), СО=Ьзпз Н Это — параметрические уравнения окружности. Если мы исключим из ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ !ГЛ.
гм На основании равенства (2") заключаем, что СО=у, т. е. прямая СМ параллельна осн Ох. Следовательно, в уравнениях (2) ! есть угол, образованный радиусом ОВ и осью абсцисс. Угол ! иногда называют эксцентрическим углом. Цнклонда. Цикхоидой называется кривая, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рис. 78). Предположим, что точка М катящейся окружности в начале движения совпадала с началом координат. Определим координаты точки М после Рис. 78. того, как окружность повернулась на угол !. Обозначим через а радиус катящейся окружности. Как видно из рис. 78, х=ОР=О — РВ, но так как окружность катится без скольжения, то ОВ=МВ=а!, РВ=МК=азгп!. Следовательно, х =а! — а эш !=а (! — э!и !).
Далее, у = М Р = КВ = С — С К = а — а сов ! = а (1 — соз !). Уравнения х=а(! — зш!), у=а(1 — соз!), 0~(~2п, (8) являются параметрическими уравнениями циклонды. При изменении ! от 0 до 2я точка М опишет одну арку циклоиды. Исключим параметр ! иэ последних уравнений и получим непосредственную зависимость х от у. На отрезке 0 ~! чСп функция у=а (1 — соз !) имеет обратную: а у ! =агссоз —.
а Подставляя выражение для ! в первое из уравнений (3), получим а — у а — уг х=аагссоз — — азиз ~агссоз — ) а а а — у нли х=аагссоз — — )г 2ау — уз при О~к~па. Непосредственно из рис. 78 а замечаем, что при па я,х~2яа а — у х=2па — ~а атосов — — у 2ау — уз) . а Заметим, что функция х=а(! — з!и !) имеет обратную, но она не выражается через элементарные функции. Поэтому к функция у= 7 (х) не выражается через алементарнью функции. $!81 производнАя Функции, зАдАнноп пАРАметгически 97 3 а меч ание 1. На примере циклоиды легко убедиться, что в некоторых случаях для исследования функций и кривых параметрические уравнения удобнее, чем непосредственная зависимость у от х йли х от у.
Астр аида. Астроидой называется кривая, заданная следующими параметркческими уравнениями: х=асоа'й у=аа1псй 0~/а 2я. (4) Возводя все члены обоих уравнений в стевень 2/3 и складывая, получим зависимость между х и у: х'/'+ у'/з = а'/' (соз' 1+ з1п' 1), или хс/» + ус/8 — ас/3 (5) Ниже (см. $12 гл. 1/) будет показано, что Рис. 79. ага Кривая имеет форму, изображенную на рис.
79. Эта кривая может быть получена как траектория некоторой точки окружности радиуса а/4, катящейся без скольжения по другой окружности радиуса а причем меньшая окружность все время остается внутри большей; см. рис. 79). Замечание 2. Отметим, что уравнения (4) и уравнение (5) определяют не одну функцию у=/(х). Онн определяют две непрерывные функции на отрезке — ач-»~+а. Одна из ннх принимает неотрицательные значения, другая — неположительные. 9 18. Производная функции, заданной параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями х=ср(1), у=ф(1), уо<1<Т. (1) Предположим, что эти функции имеют производные и что функция х=гр(1) имеет обратную /=Ф(х), которая также имеет производную.
Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у=/(х) можно рассматривать как сложную функцию у=ф(1), 1=Ф(х), 1 — промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получим У»= У/1»'=ф/(1) Ф»(х) (2) На основании теоремы о дифференцировании обратной функции 1 следует Ф„'(х) = —.. Подставляя последнее выражение в равенф/(1) ство (2), получаем у„'= —, или ф' (1) 9 (1) у»= —, (ХХ1) Выведенная формула дает возможность находить производную у„' от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредствейной зависимости у от х. 4 Н, С. Пискунов, е. $ !гл.
И1 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ йв Пример 1. Функция у от х задана параметрическими уравнениями х=асоз 1, у=аэнс1, 0~1~и. Ус у»= —, «с Но «с=а(1 — сов с), ус=анас 1. Следовасельно, 1 2 звс — соз— 2 2 ! (и — ссй — =1И ! — -1 2 12 21 2 а э!и 1 а (1 — соэ 1) Следовательно, угловой коэффициент касательной к циклоиде в каждой ее уп точке равен 1И !1 — — ), гДе 1 — значение параметра, соответствующее этой '(2 2) ' и точке. Но это значит, что угол сс наклона касательной к осн х равен — — —. 2 2 Осли значений 1 между — н н и) «), $ 19, Гиперболические функции Во многих приложениях математического анализа встречаются 1 „1 комбинации показательных функций вида — (е» вЂ” е ") и — (е" + е-").
2 2 Эти комбинации рассматривают как новые функции и обозначают так: а" — е " а"+а-" з)сх= —, сЬх=— 2 ' 2 «) Действительно, угловой коэффициент равен тангенсу угла сс наклона касательной к осн Ох. Поэтому lи сна=12 (1 — — ) 2) и и 1 и и=, — — для тех значений 1, для котормв — — лежит между О н и.
2 2 2 2 Найти производную — ! 1) при любом значениии 1; 2) при 1= —. ау и ах 4 ' Решение. (аа!п 1)' асов! 1) у»= ,=- — = — с12 1! (а сов 1)' — азш ! 2) у» )с пу« = — с12 (и/4) = — 1. Пример 2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде х = а (1 — з!п |), у=а (! — соэ 1) в произвольной точке (0~1~2п). Решение. Угловой коэффициент касательной в каждой точке равен значению производной у„в втой точке, т. е.
равен $191 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Первую из функций (1) называют гиперболическим синусом, вторую — гиперболическим косинусом. С помощью этих функций можно определить еще две функции 1)1х=~ и с111х=~ сс к сок' ек — е-к 111 х = „+ — гиперболический п1ангенс, е" +е-" с111 х = „, „— гиперболический котангенс. Ряс. 80. Ряс. 81.
между соответствующими тригонометрическими функциями: с)19х — я)19х=1, с)1(а+д) =с)1ас)1Ь+я)1ая)1Ь, я)1(а+Ь) =я)1а сйЬ+с)1ая)1Ь. (2) (3) (3') Действительно, ~~'х — 'пех=( ~' ) — ( ' ) = ее" +2+е 9" — еек+2 — е" ек 9: — 1 Далее, заметив, что с)1(а+Ь) = + Функции я)1х, с)1х, 111х определены, очевидно, для всех значений х. Функция же с(11 х определена всюду, за исключением точки х=О. Графики гиперболических функций представлены на рис. 80, 81, 82. Из определения функций я(1х и с)тх [формулы (1)1 следуют соотношения, аналогичные соотношениям ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ юо 1гл. Ри получаем: еа+е а е»+е Ь еа — е-а е» вЂ” е-Ь сй )Ь+зй з)й —,, + еаьь+е-ааь+еа-ь+е-а — ь+еаьь е-аьь еа — ь+е-а-ь е еа+ь+е- -ь = с)ь (и + Ь). Аналогично доказывается и справедливость соотношения (3').
Название египерболические функции» объясняется тем, что функции ЗЫ и сЫ играют ту же роль для параметрического представления гиперболы х' — у'=1, какую тригонометрические функции в!пГ и сов( — для параметрического представления окружности х'+ у'= 1. Действительно, исключая параметр е из уравнений х = сов Г, у = в1п г, получим х'+ у' = сов' г + вш' Г, или х'+у'=1 (уравнение окружности). Аналогично уравнения х=спг, у=ВЫ Ряс. 82 являются параметрическими уравнениями гиперболы. Действительно, возводя почленно в квадрат вти уравнения и вычитая нз первого второе, получим: х' — у' = с)ьь à — з)ьа Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
