32_PiskunovT1 (523111), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно, так как О < 1, то величина ее" при фиксиро- ванном х ограничена (она меньше ех при х) 0 и меньше 1 при х< 0). Докажем, что, каково бы ни было фиксированное число х, ха+а — — 0 при и- оо, (и+ 1)1 Действительно, Если х — фиксированное число, то найдется такое целое положительное число ))), что !х~ ( М. Введем обозначение — „= д; тогда, заметив, что 0 < г) < 1, !х! можем написать при и = !т'+1, И+2, 0+3 и т.
д. !(о+1)1! ! 1 2 3 и л+1! =!-"! !-" .! !-".! ! —.-" ! !+! !-" .! !.—.х ! к х х к х~ г и-гг+а ( —.—.— ° ... ° — ° !) г) . ° . 0= Ч г ! 2 3 ''' Ф вЂ” 1 ''' (М вЂ” 1)! потому что ! — '!= !.х ! "'!.+ ! *) Иначе суммарная погрешность округления при расчетах мажет значительно превысить тта (например, при количестве слагаемых, равном 10, эта шикана может достичь величины 5 1О-ь). !49 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕРШИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ !ГЛ. 1У зх хп"' Следовательно, и )г„(х) =езх, — 0 прн и — оо.
Из предыдущего следует, что йри любом х, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить ех с любой степенью точности. 2. Разложение функции 1(х) =в!пх. Находим последовательные производные от 7(х) =в!пх: ! (х) = 31 их, (Х) — СОЗХ вЂ” В1П (Х+ — ), !и (Х) = — 31ПХ=В1П (Х+2 2), (х) — — сов х = в>п (х+ 3 — ), ~1У (х) = в!их = в!и (х+ 4 — ~1, 2)' !п(О) =О, 1- (о)= У1Ч (О) = О, !1п> (х) = 31п (х+и — ) 1 (О) = юп— 71пПИ(Х) = В>П (Х+(П+ 1) — ), )Ы+>1 (9) = ЮП (9+ (И+1)— 2)' Подставляя полученные значения в формулу (10) 9 6, получим разложение функции ! (х) = в!пх по формуле Тейлора: хх хп хп пи хпп1 п1 в!ох= х — — + — —...
+ — в!п — + в1п ( $+(и+1) — ). 3! 51 ' ' ' п1 2 (и+ 1)! 2)' Так как ~в!п (й+(и+1) и) ~(1, то 1!ш )т„(х) =0 при всех л-пп значениях х. Применим полученную формулу для приближенного вычисления вш20'. Положим и=3, т. е. ограничимся двумя первыми членами разложения; в!п20'= вш — ж — — ( — ) =0 342. Оце 9 9 3!(9) ним сделанную погрешность, которая равна остаточному члену: ~ Кз ~ = ~ ( — ) —, 3!п Д+ 2п) ~ ( ( — ) — ж 0,000б2 ( 0,001. Следовательно, погрешность меньше 0,001, т. е. в!п20'=0,342 с точностью до 0,001. На рис.
97 даны графики функции ! (Х) =-вшх и первых трех хп хп хп приближений: 5,(х) =-х, 3, (х) =х —,, 5п (х) =х — 3 + 3 хм-1 Но величина постоянная, т. е. не зависит от п, а дп >Р+' (1Р— !)1 стремится к нулю при и- оо. Поэтому хпп 1 !Нп, =О. (1) 14! УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1У 3. Разложение функции [(х)=созх.
Находя значения последовательных производных при к=О от функции [(х) =созк Рис. 97. и подставляя в формулу Маклорена, получим разложение: хэ х" пл х"+т / п) созх= 1 — — + — —... + — соз — + 21 41 ' ' ' п1 2 (а+1)1 соз !15+(я+1) — г), 2г'' [$ ! ()х[. Здесь также 1(пт )с„(х) =О прн всех значениях х. Упражнения к главе !У Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: 1. у=х' — ах+2 на отрезке [1, 21. 2. у=хз+бхз — бх на отрезке [О, Ц. 3. р=(х — Ц (х — 2) (х — 3) на отреаке [1, 31.
4. у=в!пах иа отрезке [О„н). 5. Функция 7(х) =4х'+х' — 4х — 1 имеет корнями 1 и — 1. Найти корень производной 7'(х), о котором говорится в теореме Ролла. зх а. Проверить, что меигду корнями функции у= у х' — бх+ 6 находится корень ее производной. 7. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции у †. — совах на отрезке [ — п)4, + и/41. з l 8. Функция р=1 — у' хч обращается в нуль на концах отрезка [ — 1, Ц.
Убедиться в тон„что производная от этой функции нигде в интервале ( — 1,!) в нуль не обращается. Обьяснить, почему здесь неприменима теорема Ролла. 9. Составить формулу Лагранжа для функции у=зат хна отрезке [хы хе). Огиз. зщ хе — 51п ха — (хт — хг) созе, хт ( с ( хз. 1О. Проверить справедливость формулы Лагранжа для функции у=2х — хз на отрезке [О, Ц. 142 пцкоторщк тпоонмщ одпФФкрпнггг!ррньтщк оуыкцмдк 11. В какой точке касательнан к кривой у=х" параллельна корде, стя.
а гнаающей точки М, (О, 0) н М, (а, а»)? Отв. В точке с абсцнссой с =— в-рт/ 12. В какой точке касательная к кривой у=1пх параллельнн корде, стягивающей точки Мд (1, 0) и Мз (е, 1)? Отв. В точке с абсцнссой с=е — 1, Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства: 13. ех ~ 1+х. 14. 1и (1+х) < х (х > О). 15. Ь» — а" < лЬ"-' (Ь вЂ” а) прн Ь > а. 16. агс1п х < х. 17. Написать формулу Коши для функцнй 1(х) =хз, гр (х) =ха на отрезке (1, 2] н найти с.
Оглв. с= !Я?9. Вычислить следующие пределы: х — ! 1 е» вЂ” е х !кх — х 18. Пт — „. Отв. —. 19. Пш . Отв. 2. 20. Ищ х !х ! и х о вн!»»«о х Отв, 2. 21. Пщ . Отв, — 2. 22. оп . Отв. Предела е»~ — 1 а!п х х о созх !» о г»1 — созх 1п з!п л не существует (у' 2 прях — «+О,— )г 2 прн х — + — 0).23, 1йп г! (и 2») ' а 1, ໠— Ь» а х — агсеш х 1 Отв, — —, 24. Пш —. Отв. 1п —. 25, Пщ а, Отв.
8 „,о х ' ' Ь » а з!пах ' ' 6' 26. Ип! . Отв, соз а. 27. Пщ . Отв. 2. в!п х — а!п а, ег+з1п у — ! » в х а в- о !и(!+у) е»з!пх — х 1 Зх — 1 3 . 1пх 28. Ппг, . Отв. —. 29. Ип! —. Отв. —. 30. Пш — (где и > 0), в-«о Зх'+хь ' ' 3 ' ' »~„2»+5' 2»-~,» хч !и(1+ — ) !ив Отв, О. 31. Пю . Отв. 1.32.
Иш, Отв.— 1.33. Пп! агсс!2» ' ' '„. „, х — 1 ' ' ' 'в„.+„вав' !ив х Отв. 0 прн а > 0; оз прн а~О. 34. Пгп Отв 1 35 Иит е»+в«» 1п впт Зх х +ма» е» вч«о )изгон Отв. 1. 36. Иш — —. Отв, 1. 37. Иш ' ) . Отв. О. !п!37» )и(х — 1 — х ,„. о!и!52»' ' ' ', ! и !ив 2» 38. Иш (1 — х) !3 —. Отв.
—. 39. !ип [ — — 1, Отв. в. ! 2 ' ' и' х- !(х' — 1 х — 1]' ' 2' 1 х 7 40. ПШ 1 — — 1! . Отв, — 1. 41. Иги (зес !Р— !П гР). Отв О. ![!их !пх е-«н?2 Г»11! 1 42. 1цп [ — — !. Отв. —. 43. 1ип хс!22». Олы. —. 44. Иш хае»'„ '„,гЬ» — 1 1пх ]' 2 х «о 2»-. о ! Отв, чо. 45. Пш х' ".
Отв. —. 46. Пш р' Гз. Отв. 1. 47. Ищ ( — ) 1, ! — /1»гк» к ! в » от х) Отв, 1. 48. Пщ (1+ — ~ . Отв. е . 49. Пщ (с!Пх]рк". Отв. а '!» 1 х) в-«а в УПРА!КНЕНИЯ К ГЛАВЕ !Ч 143 и з 1 50. Нш (соз х) з . Отз, х и/з з пх !а г 52. Пш(16 — ) . Олы, —. 4) ' 'е' 53. Разложить по степеням к — 2 многочлен хг — 5хз+5хз+к+2. Ошз. 7 (х — 2) — (х — 2)а+3 (к — 2)з+(х — х!з. 54.
Разложить по степеням х+1 многочлен хз+2хз — хз+х+1. Ошз. (х+1)э+2 (х+1)з — 3(х+1)з+(х+1)з. 55. Написать формулу Тейлора для функции у= Г' х при а=1, л=з. л — х — 1 ! (х — 1)з ! (х — 1)з 3 (х — 1)з 15 Ошз, у х=1+ — ° — — ° — + — ° — — — ° — Х 1 2 12 4 123 8 41 15.
Х(1+0 ( — 1))- "з, 0 < 0 < 1. 56. Написать формулу Маклорена для функции у= У' 1+х при п=2, Ошз, у' 1-(-х=1-(- — х — хз-(- з , 0<0<1. 2 8 15(, ( йх)зтз 57. Пользуясь результатамн предыдущего примера, оценить погрешность 1 1 приближенного равенства Г' 1+х - 1+ — х — кз при х=0,2. 2 1 Олы. Меньше —.
2.10з Выяснить происхождение приближенных равенств при небольших анапе. пнях к и оценить погрешность этих равенств: хз хз хз 2хз хз 56. !п сов х гз — — —. 59. 10 х гл х+ — + †. 60. агсз1п х ш х+ —. 2 12 ' ' 3 15 ' ' б ' хз ел+ е-х хз хз 61. асс!6 х ш х — — . 62. гз ! + †+ .
63, 1п (х + $г ! †3' ' 2 2 24' 5хз яз к — хз+ —. б Пользуясь формулой Тейлора, вычислить пределы выражений! х — з!пх . О, 1. 65. Г !п'(1+х) — з!п'х Ошз, О. х з хз х з 2 66. ЕШ ! —,— — ), ОШЗ. —. 69. 1!Ш ~" — СгззХ). ОШЗ, —. х захе х) З' 'х захе ) З ГЛАВА Ч ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ $1. Постановка задачи Изучение количественной стороны различных явлений природы приводится к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, т.
е. в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, при исследовании явления полета снаряда в пустоте получается формула, дающая зависимость дальности полета К от угла возвышения сс и начальной скорости о,: ~о~ мя в~х Р= Ю (у — ускорение силы тяжести). Получив эту формулу, мы имеем возможность выяснить, при каком а дальность Я будет наибольшей, при каком — наименьшей, каковы должны быть условия, чтобы при увеличении угла а увеличивалась дальность и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
