32_PiskunovT1 (523111), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Следовательно, 1(х) — ) (а) имеет раз- ные знаки при х< а и при х> а. Но это значит, что при х=а нет ни максимума, ни минимума. Заметим, что если при и четному'л+в! (а) > О, то 1(х) < !'(а) для х < а и 1(х) ) 1(а) для х) а. Если же при и четном ~"'+в! (а) < О, то ~(х) ) 1(а) для х < а и ! (х) <1(а) для х) а. Полученные результаты можно сформулировать следующим образом. 6 Н. С.
Пввкуввв, т.! ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ !ГЛ. У 162 Если при хе а имеем )' (а) = (" (а) = ... = )чш (а) = О и первая не обращающаяся в нуль производная('а+и(а) есть производная четного порядка, то в точке а ((х) имеет максимум, если (<а+и (а) (О; ~ (х) имеет минимум, если )'"+а! (а) ~ О. Если же первая не обращающаяся в нуль производная ~'ч+а! (а) есть производная нечетного порядка, то в точке а функция не имеет ни максимума, ни минимума. При этом )(х) возрастает, если )ы+т1(а) ) О; у(х) убывает, если у'а+и(а) <О. П р имер. Исследовать на максимум и минимум функцию )(х) =ха — 4ха+6ха — 4х+1. Р е ш ен и е.
Найдем критические значения функции г' (х) = 4ха — ! 2ха+ 12х — 4 = 4 (ха — Зх + Зх — 1). Из уравнения 4 (ха — Зха+Зх — 1) = 0 получаем единственную критическую точку х=! (так как данное уравнение имеет лишь один действительный корень). Исследуем характер критической точки х= 1: ("(х) =12ха — 24х+12=.0 при х=1, )"'(х)=24х — 24=0 при х=1, )~~(х) =24 > 0 при любом х. Следовательно, при х=! функции )(х) имеет минимум.
й й. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба Рассмотрим на плоскости кривую у = ~ (х), являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции ) (х). О п р е де л е н и е !. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, Ь), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (Ь, с), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз — вогнутой.
На рнс. (15 показана кривая, выпуклая на интервале (а, Ь) и вогнутая на интервале (Ь, с). Ч ч1 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ Направление выпуклости кривой является важной характе. ристикой ее формы. Настоящий параграф посвящен установлению признаков, по которым можно было бы, исследуя функцию у=Г(х), судить о направлении выпуклости ее графика на различных интервалах.
Докажем следующую теорему. Теорем а 1. Если во всех точках интервала (а, Ь) вторая произвсдная функции 1(х) отрицательна, т. е. )" (х) < О, то кривая у=1(х) на впюи интервале сбраи(ена выпуклостью вверх (кривая выпукла). Доказательство. Возьмем в интервале (а, Ь) произвольную точку х=х, (рис. 115) и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой х=х,.
Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале (а, Ь) лежат ниже этой касательной, т. е. что ордината любой точки кривой у=1" (х) меньше ординаты и касательной при одном и том же значении х. Уравнение кривой имеет вид у=1(х). (1) Уравнение же касательной к кривой в точке х=х, имеет вид у — ~ (х,) = 1' (х,) (х — х,) или у=1(х,)+)'(х,) (х — х,). (2) Из уравнений (1) и (2) следует, что разность ординат кривой и касательной прн одном и том же значении х равна у — у=)(х) — ) (х,) — г' (х,) (х — х,). Применяя теорему Лагранжа к разности )(х) — )'(х,), получим у — у = 1' (с) (х —,) — )' (х,) (х — х,) (где с лежит между х, и х), или у — у = [1' (с) — )' (х,)1(х — х,). К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда у — у=г" (с,) (с — х,) (х — х,) (3) (где сч лежит между х, и с).
Рассмотрим. сначала тот случай, когда х ) х,. В этом случае х, < с, < с < х; так как х — х,) О, с — х,) 0 и так как, кроме того, по условию, 1" (с,) <О, то из равенства (3) следует, что у-у < О. Рассмотрим теперь случай, когда х< х,. В этом случае х<с< < ст < х, и х — х, < О, с — х, < О, атак как по условию 1" (с,) <О, то из равенства (3) следует, что у — у < О, ьч ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ (гл. ч 164 Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения х их, на интервале (а, Ь). А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана. Аналогичным образом доказывается следующая теорема.
Теорема 1'. Если во всех точках интервала (Ь, с) вторая производная функции 1 (х) положительна, т. е. )" (х) > О, то Рнс. 117. Рис. Пб. кривая у=-((х) на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута). 3 а м е ч а н и е. Содержание теорем 1 и 1' можно иллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую у=(" (х), обращенную выпуклостью вверх на интервале (а, Ь) (рис.
116). Производная Г'(х) равна тангенсу угла и наклона касательной в точке с абсциссой х, т. е. )'(х) = (иа. Поэтому 1" (х) =1!р,а~„'. Если 7" (х) (О для всех х на интервале (а, Ь), то это значит, что 1и а убывает с возрастанием х. Геометрически нагляден тот факт, что если !иа убывает с возрастанием х, то соответствующая кривая выпукла. Аналитическим доказательством этого факта и является теорема 1.
Подобным же образом иллюстрируется геометрически и теорема 1' (рис. 117). П р и и е р !. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, заданной уравнением у=2 — х'. Рещение. Вторая производная у"= — 2 < 0 для всех значений х. Следовательно, кривая всюду обращена выпуклостью вверх (рис. 1!8). П р и м е р 2. Кривая задана уравнением у=с". Так кзк у'=ех > 0 для всех значений х, то, следовательно, кривая всюду вогнута, т. е. обращена выпуклостью вниз (рис. 119).
Пример 3. Кривая определяется уравнением у=ха. Так как у"=бх, то у' < 0 при х < 0 и у" > 0 при х > О. Следовательно, при х < 0 кривая обращена выпуклостью вверх, а при х > 0 — выпуклостью вниз (рис. 120). Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.
На рис. 120, 121 и 122 точки О, А и В суть точки перегиба. Очевидно,,что в точке перегиба касательная, если она суще. ствует, пересекает кривую, так как с одной стороны огатой выпуклость и вогнптость книвон й 91 165 точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны— над нею. Установим теперь достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Теорема 2.
Пусть кривая определяется уравнением у=((х). Если )" (а) = О или )Я (а) не существует и при переходе через Рис. 118. Рис. 119. Рис. 120. значение х=а производная 1" (х) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=а есть точка перегиба. Доказательство. 1) Пусть Г" (х) < О при х < а и)'"(х))О при х> а. Тогда при х< а кривая обращена выпуклостью вверх и при х) а — выпуклостью вниз. Следовательно, точка А кривой с абсциссой х=а есть точка перегиба (рис.
121). Рис. 121. 2) Если ~" (х) ) О при х<Ь и 1" (х) < О при х>Ь, то прн х< Ь кривая обращена выпуклостью вниз, и при х>Ь вЂ” выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абсцнссой х=Ь есть точка перегиба (см. Рис. 122). П р н ие р 4. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутой кривой у=-е-"' (кривая Гаусса).
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ (гл. и Решение. 1).Находим первую и вторую производные: у'= — 2хе-х>, у'=2е-">(2хз — 1). 2) Первая и вторая производные существуют всюду. Находим значения х, при которых у"=О: 2е-*з(2хз — 1) =О, хз= — 1/г' 2, хз — — 1/г' 2. 3) Исследуем полученные значения: при х < — 1/йг 2 имеем у > О, при х > — 1/)/ 2 кмеем у' < О; вторая производная меняет знак при переходе через точку хп следовательно, прн хт= — 1т> 2 на кривой имеетси точка перегиба," ее координаты: ( 1/)/ 2, е >/з)! при х < 1/у' 2 имеем у" < О> при х > 1/ у' 2 имеем у" > О.
Следовательно, при х>=1/г' 2 на кривой также имеется точка перегиба: ее координаты: (!/)/ 2, е '/з). Впрочем, существование второй точки перегиба вытекает непосредсгвенно из симметрии кривой относительно оси Оу. Рис. 122. 4) Из предыдущего следует, что при — са < х < — 1/г' 2 кривая вогнута, при — 1/г' 2 < х < 1/)/2 кривая выпукла, при 1/)/ 2 < х < + о> кривая вогнута.
б) Из выражения первой производной у'= — 2хе-"' следует, что у' > 0 при х < О, т. е. функция возрастаег, у < 0 при х > О, т, е. функции убывает, у'=0 при х=О. В этой точке функция имеет максимум, а именно: у=1. На основании проведенного исследовании легко построить график кривой (рис. 123). Пример 5. Найти точки перегиба кривой у=х>. Р е ш е н и е. 1) Находим вторую п)>оизводную: у' = 12хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
