32_PiskunovT1 (523111), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рис. 133. График исследуемой кривой изображен на рис. 133. зх Пример 6, Исследовать функцию у=у 2ахз — хз (а > 0) и построить ее график. Исследуя у как функцию от х, при — со < х < — УЗ при †)Г 3 < х < О при 0< а< )ГЗ при 73 <х<+со у" < 0 †крив выпуклая, у > 0 †крив вогнутая, у" < 0 †крив выпуклая, у" > 0 †крив вогнутая. ИССЛЕДОВАНИИ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 124 Р;е ш е н и е. 1) Функция определена при всех значениях л. 2) Функция всюду непрерывна. 3) Исследуем функцию на максимум н минимум: 4ах — Зхз 4а — Зх 3 рс (2ах' — хт)з 3 у' х (2а — х)з Производная существует всюду, за исключением точек ха=О и хз=2а.
Исследуем предельные значения производной при х — ь — 0 в при х — ь+О. 4а — Зх 4а — Зх Шп з — з =+.; еЗ у' х у' (2а — х)з " +е 3 у' х ус (2а — х)з прн х<0 будет у'< О, при х>0 будет у'>О. Следовательно, при х=О функция имеет минимум. Значение функции в агой точке равно йулю. Исследуем теперь функцию в другой критической точке х,= 2а.
При х — ь 2а производная также стремится к бесконечности. Однако в данном случае для всех значений х, близких к 2а (находящихся как справа, так и слева от точки 2а), производная отрицательна. Следовательно, в этой точке функция не имеет нн максимума, нн минимума. В точке х, =2а, так же как н вблизи этой точки, функция убывает; касательная к кривой в этой точке вертикальна. Прн х=4а/3 производная обращается в нуль. Исследуем характер втой критической точки.
Рассматривая выражение первой производной, замечаем, что прн х < 4а/3 будет у' > О, прн х > 4а/3 будет у' < О. 2 зев Следовательно, при х=4а/3 функция имеет максимум: у, = 3 а у' 4. 4) На основании проведенного исследования получаем области возрастания н убывания функции: нри — со < х < 0 функция убывает, прн 0 < х < 4а/3 функция возрастает, при 4а/3 < х < + со функция убывает. 5) Определяем области выпуклости и вогнугостн кривой и точки перегиба: вторая производная йаз у Охс/з (2а — х)ьсз нн в одной точке не обращается в нуль. Однако существуют две точки, в которых вторая производная терпит разрыв: это точки ха=О н хз=2а, Рнс.
134 Исследуем знак второй производ- ной вблизи кахсдой из этих точек: при х < 0 имеем у" < 0 †крив обращена выпуклостью вверх; при х > 0 имеем у" < 0 — крнпая обращена выпуклостью вверх. Значит, точка с абсцяссой х=О не является точкой перегиба. Прн х< 2а имеем у" < 0 — кривая обращена выпуклостью вверх; при х > 2а имеем у' >Π— кривая обоащена выпуклостью вниз, Значит, точка (2а; 0) на кривой является точкон перегиба. $!21 исследОВАние кРЯВых, зАдАнных ПАРАметпически 175 6) Определяем асимптоты кривой: з. 3 / у у' 2ахз — хз .
/ 2а й= Иа — = 1!пз = 1нп у — — 1= — 1, к е " к х к х 2ахз — хз 1 кз ха+ х1 11|и з з к к к к 1/ (2ахз — хз)з — х )/2ахз — хз.(-хз Следовательно, прямая 2а у= — х+— 3 з, есть наклонная аснмптота кривой у=у 2ах' — хз, График исследуемой функ. пни изображен на рис. !34. и 12. Исследование кривых, заданных параметрически Пусть кривая задана параметрическими уравнениями = |р (1) у = 'т' (1). (1) В этом случае исследование и построение кривой проводятся аналогично тому, как это было сделано для кривой, заданной уравнением у=((х).
Вычисляем производные ,Г! = р' (г) ! = р' (1). (2) Нзходим значения параметра (=(1, 1„..., 1, при которых хотя бы одна из производных |р'(1) или ф'(1) обращается в нуль или терпит разрыв. (Такие значения 1 мы будем называть критическими значениями.) По формуле (3) в каждом из интервалов (1„1,), (1„1,), ..., (1 т, 1„), а следовательно, и в каждом из интервалов (х|, хз), (х„х,), ..., (Хз „х„) (где х;=ф(1|)) определяем знак —, тем самым определяем области возрастания и убывания. ||у Это дает также возможность определить характер точек, соответствующих значениям параметра 1|, 1„..., 1а.
Далее, вычисляем с(зу ф" (!) Ч/(Г) — ф" рй ф' (!) лхз (,р (|Вз (4) На основании этой формулы определяем направление выпуклости кривой в каждой точке. Для нахождения асимптот находим такие значения 1, при приближений к которым или х, или у стремятся к бесконечности, и Для тех точек кривой, вблизи которв|х кривая является графиком некоторой функции у= Дх), вычисляем производную лу зр' (!) ах |р' (|) ' (3) !ГЛ. У ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 176 такие значения г, прн приближении к которым и х, и устремятся к бесконечности. Затем производим исследование обычным способом.
Некоторые особенности, появляющиеся при исследовании кривых, заданных параметрически, выясним на примерах. Пример 1, Исследовать кривую, заданную уравнениями х=а созе г, у=а аш' ! (а > О). (') Решение. Величины х и у определены для всех значений Д Но так как функции соз'т и з!па ! периодические с периодом 2п, достаточно рассмотреть изменение параметра ! в пределах от О до 2п„при этом областью изменения х будет отрезок [ — а, а[ и областью изменения у будет отрезок [ — а, а). Следовательно, рассматриваемая кривая асимптот не имеет.
Далее, находим — = — Засова гзю Π— =За з!пз ! сов Й ах ду аг Эги производные обращаются в нуль при !=О, и/2, и, Зп/2, 2л. Определяем ау За з!п' Г соэ Г Тих — Засов'!з!п ! (3') На основании формул (2'), (3') составляем следующую таблицу: Из таблицы следует, что уравнения (!') определяют две непрерывные функции вида у=[(х) прн О~!~к будет у)О (см. две первые строчки таблицы), при п~ г~2п будет у~о (см.
две носледнне стречки таблицы). Иэ формулы (3') следует: г!у . Зу Пщ — = со и Пш — = со. 1ьз ах х зны ах В этих точках касательная к кривой вертикальна. Далее, находим: В этих точках касательная к кривой горизонтальна. Затем находим: д~у ! ахз За соа4 ! з!п !' $ !21 ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ НАРАМЕТРИЧЕСКИ 177 Отсюда следует: дзр — > 0 при 0 < 1 < н †крив вогнута, с!хз йзу йхз — < 0 при н < Г < 2н — кривая выпукла.
На основании результатов исследования можем построить кривую (рис. 135). Эта кривая называется астдоидой. Рис. 135. Р е ш е н и е. Обе функции определены при всех значениях 1, кроме 1= — 1, при этом За! 1!т х = 11ш —,„, =+ со, Е -з-о е -з-о -г а= Засз Еш у= 1нп —,, = — оо; е -з-о е -з-о +Н а 1!ш х= — о, 1!ш у= + со. -!+о е- -!ео Заметим, далее, что х=О, у=О при 1=0, к — О, у — 0 при 1 — +со, х — оО, у — оО при 1 — о — со.
йх йу Найдем — и —: й1 йт' /1 (, 2,е !д За((2 — (з) 6а ( — — тз ) йт (1+!з)а й! (! ! Ез)з (2") П р и м е р 2. Построить кривую, заданную уравнениями (декартоо лиат) За! За!з х= —, у= — (а > 0). !+1з' ! ) тз (1') исслвдованин новвднния функции !гл. и 179 Длн параметра 1 получаем следующие четыре критических значения! 1 зхгз=-1о Го=О, го==, !о=)~ 2. з Далее, находим о(у ~Ь а! ! (2 — !о) На основании формул (!'), (2"), (3") составляем таблицуз Из формулы (3") находим: (х=а) (х О) Следовательно, начало координат кривая пересекает дважды: с касательной, параллельной осв Ох, и с касательной, параллельной оси Оу, Далее, — = оо при о(у бх В втой точке касательная к кривой горизонтальна.
Исследуем вопрос о суще* основании асимптоты: х о х ! -з-о За! (1+!о) Г За!о За! 1 у= Ыщ (у — йх)= Пщ ( —,— ( — 1) х о -х-о~ !+и 1+и ~ .За! — 1!щ = — а, о -о-о ! — !+го В этой точке касательная к бу о(х — =О при ! — (х=а~~Г4, у=а Ьзх' 2). ьз х— кривой вертикальна. = ~/'2 (х=а ~~/ 2, у=а ~~/ 4).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч 179 Следовательно, прямая у= — х — а является асимптотой ветви кривой при х — ++ ео. Аналогичным образом найдем: Ь= 1пп (у — йх]= — а. Таким образом, найденная прямая является асинптотой и для ветви кривой прп х — +-«о. Рис. 136. На основании проведенного исследования строим кривун« (рнс. 136).
Некоторые вопросы, связанные с исследованием кривых, будут дополнительно рассмотрены в главе А!11, 6 19 «Особые точки крпвойз. Упражнении к главе Ч Найти экстремумы функций: хз 1. у=хе — 2х+3. Отв. у 1„=2 при а=1. 2. у= — — 2хз+Зх+1. Отв, у,„= — при х= 1, у„„„=! при х=З. 3.
у=ха — 9х'+15х+3. Отв. 7 «вах 3 у „=10 при х=!, у,1„= — 22 при х=5. 4. у= — х«+2х . Отв. у „=1 прй х=+ 1, ут;„=О при х=О. 5. у=х« — Вхз+2. Отв. у „„=2 при х=О, у н„= — 14 йри х= ~ 2. 6. у=Зхз — 125хз+2!60х. Отв. Максимум при х= — 4 я х=З, минимум при х= — 3 и х=4. 7. у=2 — (х — 1)з/з. Отв.
уе =2 при х=1. 8. у=З вЂ” 2(х+!)'/'. Оиы. Нет ни максимума, нн минимума. Э. у= хз — Зх+ 2 — Отв. Минимум при х= р«2, максимум при х= — у' 2. хз+Зх+2' (х — 2) (3 — х) 12 19. у=- . Отв. Максимум при х= —. 11. у=2в" +в-". Отв. х« 5 ' 1п2 х Минимум при х= — —, 12. у= †. Отв.
у„,ь,=в при х =в. 13. у=сова+ 2 ' ' 1пх' +знзх( — л/2~х~л/2). Отв. у,„= у' 2 при х=л/4. 14. у=в1п2х — х ( — л/2~х~л/2). Отв. Максимум при х=л/6, минимум при х= — л/6. 15. у=х+!3 х. Отв. Нет ни максимума, ни минимума. 16. у=ахи!их. Ота л 3 Минимум при х= 2йл —, максимум при х=2йл+ — л. 17. у=ха — 2хз+2. 4 ' 4 Отв. Максимум при х=О; два минимума при х= — 1 н при х=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
