А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 35
Текст из файла (страница 35)
9 хз--ех +1О 2) хз--ех+ 1О зк ИО111кзьву11 Од(111 11в рвссмотре)1них Вым1е методов„вь1- чмслмть опредез(еи11ые 11мтегрвхтз. х( — 4«+2О '''" "' ',) Хв '- х-(-1 "" 12,467. ,) хг+1охт+ 9 !2.468. ~ — "; - — „; сбпхг)х. (2«т + 13ху х' .:.13х« ЗЬ !2.469. ) —:,; — '-„- г(х. 12.470.. ~ ль ' 3 ' 4 с)х. 4. Прг)ниг)п аргумента. Йус).ь ф)нк)гяя )(х) я полис~и х), о)ранячегпщй проспим замкнутом контуром С„имеет конечное число й) нулей к ксксчаос ксло р полк)сон. гге каж..мй куль и кажамй пол)сс с щгмотся столько ра), кзк) аа нз ьрьт ссп, н)рк )см на контуре С ис и«кот пя пулей. ии щль.соа. Тогда разиостьм= и†Рран) ь челу оы)ро)оа раж) .с ье) тора и)=-((г) при облоу)е т«))кой г ноя«ура и.
Если 1(г) — аазлитк нская а (! фуиьщсь тс р= о и и х, 11ример К Найти число ну:са много)лава р(«1=«ь — Зз ).1, ° (6 Рас))к«раз) контур б, состщ)акй кз пслу .кр: )к.щстк г я радиуса ут, леж )щей а прж)ск )щл'пл) ск) стя, ь .,трсзка )и мот) осн [ — Ж, Ж), н лля исчзьточпо больщого Р применим к атому контуру п(зин)щп ар«1 мента. Так как р( ).=аз 1 — - — -+ —- 3 (2) га то о)еяилно, чп ))рн обходе точкой г ко)пу(а Ср ) рс-*на часоаой ) ~~репки а)Ь г получает прнрз мснис и, а щпому агигг") получит приращение Зт«(Сооюбражзст- ч а кркаую)и=)сзе)е, — Зл 2м,".ф я Зну2). Так как яторои ) омкожитс«ь и (2) лля лостатччно больших 1« блнжк к 1, то к прирыпещ)е аргун«г)та зтог)' множг))сля мало. Пусть тенер, г=)6 т.
е. точка г дяижщ я нем)п)моисси от точки г(с до точки — )г(. Тогда р(п)=-и+ге — — ! )(1«+ау)„т. е и=1, с=- — р — 31. Это озпа)аег, )то при аммеиекнк 1 от Ус ло — У)) при Ус ---+оз агйр(11) изменяется ка н (ог — и'2 ло к)2). Такам отразом. оби)ее прирзщснне агар (х) прн оптоле кщп ура раино 4л, а зтооз)мчзет.
по м'=-2, т. е. а прзасй г)олуплоскости миоточлеп р)а)=-.а) — Зх ) 1 имеет даа нуля. ~ Для данных многочлепов найти количество корней, лезкац(их в 'г)раной полуплоскости. 12.47!*. Р(г) = гь -Н 2гз-т Згз-з) г, 2. [2.472. р(г) =-2г' — Згх ('Зга — г 4 1, 12,473. р(г)=г' р г'+ 4г'+2г ) 3, !2.474". Локазать, что если функции ((г) и )р(г) аналитичиьг в замкнутой области О=О-1-Г и для точек Ч~ Г справедливо неравепс) во 1«р(т)) ) < ) ) (т)) ), то си!ело 246 1 )тлей функции Р(г) =')':(г)+ ср(г), лехсап(нх в области Хм „г),:с)ает с числом нулей фуйгсции )'(г) (т вор е м а с) 12,475е. Дог<ила гь обнови) кз тсо)тему Выспгей алтсбры: р (г) гг ' и гл Т 1 з и степени и )«."кости (")) точно и пулей ( уиираяс)ь иа теорему Р) и!е (задача 12.474), наг!тп 1исло си данных функций в указанпьгх областях: !2.476".
г (г) = гь:; 2гт м 8«+ 1: а) и круге ) г)'... 1; я кг)льт(е ! ~~ ) г) -:„„2, 12.477. г (г)=- "— Бг ф 1: а) в круг е ) г( < 1, б) в кольце 1: г) ": 2; В) В кольце 2 '=:.:(г( с' 3. Ф' 2 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 1 Рззлоаеиие функций я тригонометрические рякм Фурье, Трн ) ) «чприческая системз ф)пиний 1, роах, зги х, со 2«„з1п2х...,, соя па, Ыпях, ... .)бис«си орлиь опальной па отрезке [- - л. тс) (как, порочен, и иа ),см отрезке ллюич 2л1, т е. пптсграл пс тему с)резку о) про)смлспия лкбмх двух различных функкнй зг)з)) сисгемм ракен нул)о Если )(«1 6 ь( — и, л)1 т.
с. ~ 1[(х)()ухе Ноь~), то сущест- )(х)ссз ахлх, Ьа...— ~ 1(с) з1пй)х«ух, й =О, ыез' ь)ме ) гм))бичи«) )гонь Фг)г и фу пки)'и ) (х1; рят 5(х);.-- —,)'+,л (а«соз йх.,'- Ьь., с йх) )1) ),)змаакется г)т))гм )р(урь: 4)у)и пик 1(х) члсмь. р..:а (1) можно ганн: .*и а ьг)ле гарме)щк пх соз п«лн) ь ып йх — ль ) оь () х --с х) )лпхп)лрЙ, Л«1' о, +О),, к«лщ)лоа г)хй-и и,'мха )(ь=аго1д —. ;*, ч ))))капни,'*.,'хз такой, чп) р(«1 ~ 1.( — гг, я), снрааедлнао у л 2 )з(з) Зх= — ь+~ (ох ! Ьл').
и ь-: ) 1:сак тке 1(х) ~ 1. (,, ы. ), то кояфт)»ицйеь»ты ФЯ»ье вап»1смх Т' 2»' ва»ется в виде рв Аз 2 и рлАА. 2 Г 2л» х аа =-— а = — ') ) (х) соз — — дх, (т =.— ~ ) (х) з»п — — дх„(2) 3 »а -из а ряд Ф)"рье- в викс ). »-м . ьпАА а яс с рлАх вл»,х т -а»вЂ” о(х) - — + е ' ЯА»оз — »..Зьз»ц „— » е р) ПОСАЕА»»»»К ряд-Ч»ааиаастея рядам Фрреа Е КСМ»»ааяеиаиз фарзит Здесь са..
— 1 )(х)е дх, А --О, 1. 1, ..., и для й.м О сьь. »)»А л» .' »1!А Сумь»»ь рягов (1)»» 16) кме»от соптьеттм им»»срноп»з рл к» Фу»»»»ц»»я 1(х) п»змяве»»я ь»с»»ь а л»адь»п»1 кз итре: ке (о, А), ссан сама фт»тпкя 1«х) ь ее»»рс»пзпо,.»»сз р (х)»»ь»сз»т на 1а, А) к»ь»»еч»»ое число точек рзз»пю»» 1-сс рзаа. Те о реме Есх»» периодическая»»уихпаз )(х) с»ирподцк 1 ху- "', само е,»с»дьа ьа о»»»тз~е 1 —.
1»2, А»2»1, по рхд»лерье (3) атьд» сзся х з»»а»ей»»х» ) (х) ь хажд»» се таете ьст»»е»»мена и»» и к з»»ачению —. (1(х *, О)+1(»» — 01) ь отать'ах разрмьа, т. е. ее . тпАх — 0(х 1. О) -Р')( -"ОУ- — 2 сае . (4) Если, да»»оья»»спехьно, 1(О ье»пермь»»а»а ьлй а и, то ряд (4) схо.'''!' дится я 1(х) равномерно. 11 р имер 1. Раззок»»»ть в РЯА Фт»Р»е ф)ккцн»о )(х) - ь»1,'ах, — »» < х <Ль и, пользуясь рамо»кс»»чем, наятк су»лму ря» а Лсйбняца 2. —:=-:-" ъ (. 1»ь , 2п 1-1' ° ф Так как фуякцпя» ечетаае, то (см.
задачу 12.470) ах .О, А '„1,..., 2 Г 2 «ьсзах1с 'т Ь =- -- дт з)9п ха»пахах А= -л ') 2 -- — прв п..упт — 1, 4 = — (1 — сов»»л)--( л(2»п — 1) ' . ' и, л р( О прк и.:: 2п», ' зип(2»»» — Т)х 2; — ' 2п» вЂ” 1 ь..» »-ря х — л»2 получаем 4 ъ" ( — 1)'ь"" 1 =- — е л 2п»- 2п»+1 4 " 12.478. До»сзззть, цто если»(х) имеет период!„то при рюб м а~Я ь»» Е ) ) (х» а»х == ) ) (х) с)х-:= ~( ) (х)»)х. 12.479. Ззп»»сзт», ьзы)»з»кент»»» коэффициентов Фурье «2) .:,, :метис»к и ие»е»нои фу»»киий ив (--1»2, 02). Ркзло»нить период»»цеск)»о с пери»х»»о»4» фуикцьцо в рпз Фь)»ьс, построи»ь»р»тф»»»к» есо первьах»»ястияиых сум;ь х), 5,(х), 5ь«х) и 5,(х)» изи".и зь»з»»сш»е 5(х») суммы ",учение»»т» рь»»тз В зздзпяои топке хд 11 ири О <х <и„ 12.480, 1(х) —" ~ .
' . 1=-2л, хь=-.л О при -- л < х ..'О, 2 12.482. ~(х) —.-~~х) пр»» хС ( — 1. 1), 1.— --2, хь-— -1. Рззлож»;ть в ряд Фурье сл»еду»оитпс функции периода 1: 12.483. )(х):--.»соях,', — л<х ..', л, 1==2л. 12.484. )(х)--хь, — -л < х < л; 1==. 2л. 1 — 1. --т<х. О, ! 2.486. 7 (х) —.— ~; 1-.- 2т: 1, 0<хе<с; 12 486 ~(т) — )я)пх) — л<х"- и )-.
ол ! 2.487. 1 (х) —. 2х, О " х < 1; 1- = 1. 12 488. ~(х):=10 — х, 5 < х < 16; 1=10. 12, 489. ~ (Х) —. З)П аХ, — и < Х < Л, 1 —.- 2Л. 12.490. ) (х) ==- совах, — л < х < л, 1= 2л. 12.491. ) (х) =- з)» ах, . л < х < л, 1= 2л. ! 2. 492. ~ (х) = с)т ах, — л < х < л, ! = 2л.
,ес '1'Ф' 25! Доопределил пеобход мим образом задапнуят в про- межутке (О„й) фуннпнвз до пе(тноднчесссс1Й, получпть для псе: з) ряд Фурье по косинусам, б) ряд Фурье по синусам. 12с493. 7(х) е"', х б (О, 1п 2). 1 1, О < х .'-, л,'2, ' $2.494. )(х) — ~ О, л,с*2<х- л,.
1х. О < х..'1, , ' 12. 495. ) (х. '12,496. » (х»--= ха»пх, хб(О, л), ° 12.497. $(х) — х"-, хб(О, 1). ° 12.498. 7(~) ь- 4 — ", б(О, л). 12.499. 7(х» - -'-,— х, хб(О, л). 12. 500. ) (х) — х, х б (О, !). $2.50!. Используя рид Фурье, получепиьсй в задаче 12,482, наптп суммы следу1сясспх рсяйиян ис 1 ия 2ья1 з' 7 —,,; б)е и ( — 1)" — — — — „.
Х-Я (2Я+1)х' Хм (Е1с 1!»с(ее;1)Я' я,„е д о $2.502. Ис1еплЬЗуя РЗД Фурье, получеьчсмй В задачв 12 497, найти сумму ряда ~~~, ( — 1)"'с —;, . $2.503. Используя равсьзтво Пзрсеизля для фупкпип задачи 12.481„найтп с чу ряди д --.;. с, . ° ая 12.504", Зпзсс вирзя1епис ядра Дирссхсе с Я, (х) — —, +~ соьйх =-- — — ' —, А=:1 пзйт11 вьфзжскпс ясрл Фсссясос1 отя(х); я %" ', с с Е от я(х)=- —,Д сдх(х).=---4 ~ ( 1 — ---- )сов йх. А 12.505. 11слользуя равенство Парссваля для фупицяп .1адачи 1..484, найти сумму ряда хм —. $2.5О6.
дпая пыраисепссе;иск ядра»$прпхле (см. зада, ч) 12.5О"), получить пнтесрзлс,нсм представленссе для чзст- 292 них счсмм Осс(! Х)=-2- ( ~ (ССХСОЗйХ+ЬЗЗ1НАХ) яда 111урье фуслсссли 1(х) периода 2л 12.507. Зная .вьсражеияе для ядра Фойера (см, задачу 2 504), получить пн их рзльпое представление сумм Фейера о, ($, х) = — —, ~ од () с Х) фуикппи ~(х) и(-риодз 2л. $2.508**. Исиользуя псс1Л)чесспос в задаче 12 507 вира- жсппе для с) мм Феиера а„(7, х), показать, что для пепре- рьвкой па ски фуиипссп )(х) в каждой .со1ке хб ( — л, л( С СФЗВЕДЛИВО СОС1ТБОПК ПС1Е йл о,„с;, х» — -»(х). 2.
Двойные рады Фурье. Если фрвяиия 7(х, у) имесс исриод ! осряод 1с ио ясрсмсиной р, исярермвсся и ямсст с) О1 смярермвм е явстные орояьяо я яе -:,—, — и; —:,— в врям усояьсссс яе сс =-- ((х, р) ! — ! 2 < х <!12, — Зс2 < р < З12), т. )оь сд ярелс в- вямя двсйяым рядом Фурье 1= З н, я=е 2:смх 2ляу, 2лсях 2иисс ам, В1Я вЂ” ' — — СОЯ вЂ” З-+С „СОЯ - — "'-- В1Π— — - — "- 1 2я сох Зууси сси с,веи Мо — ' сас $114 1 ри вс=и=.о, Х.х .
— 112 , "ри и > О, и — О или ся =--О, я > О, 1 ири яс>о,и>О и иря т, О, я >хо Е Р ", Зисах 2ляс а, -- — — )»(х„р» соя — — соя ' '" сизи, и 4 Г Р 2ясях 2ж со Ь „=- — » ) ((х, д) я1я — ' — соь — Зхс1$И Е Г Р 2лясх аляз См и= ' ) ) 71Х; З)СОя — я1В ' Ляс'сс 'к Зм я . 1 1Х, Р)БСИ "-- Е1В- ЛХНИ а 5) койжзексйой'с(хзрйе (зйя Ф)йзе йяй 1(х, р) йайясжвйеясйсй фязрйй ((х„у)--- ~~у~ с, „, е ° фе ) (( с „с) з й ухсфя сй, й~ж.
.„,.л----„- П,; .. Я. р-ззожйсз а хвойкой рйдфурзефуйзсййазр(х,у)лл Йрйяср . аз ' ' я «яя зз . с,я йй ай ~з«зяйе й«яйосзз йяй йеяесйосзз йояййзесралзсяях «я5 ззрвй«й«ясс и ф)йзкйвй, йаходим "-.- — ) ( хр соз "* .. 'Оз лрйхйр — "-. юл-' "«) . '-'" '' ЯЯ« я ссз аййр ~ х сйа «лх ЯХ-.«Е, ж, й -'= Е' — ясозярйй с з зй«слхух-0, лй 'л « =- — з- Л' — ся Ю«л ' л Я вЂ” — й1 и р йр ~ х Ий сл х йх == жя Л Г' Сй зязедовасозьйо, йрн х й ( — я, с:), р ~ ( —, л) з)й ж«' зй«лр хр Ра«сйенн.сь в дворяоу рву Фурье еледуййс(йе фрикции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
