А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 32
Текст из файла (страница 32)
!2.302. ег1 к:.— = '1 е ') с(( е е 12303. ~3!а))Е 13 1 Ье О,; 01. 12304. ( —,: — и. '* 11() -1 () )Ве 12.306. 11спользуя ггв):ть()0)грзм)в,)-ф) п)спмв, пвлуе)евв)ыв',1 прь ретпеяяя зетзви 12,30) — (2 306, составл)в вз 1)ар траве п)3О)грз))))т репжвйя Одпой из зз,:зц 12 296- — 12,300, 3. Ыакомяенке сумм иисаовмк раков. Уг)мс)реиие сяоянмос)и -':1 11)ж как1 )квсв))я с) мим ".и!О331 аго ) я ы 11!Яисля ея во ')ас) иик01о, сумму, иля ко)орсо влн 3янв остатка рякв ве яреиосяоо)т заяан3 ой " акиол1от)31Л иогреи нее)и )(с. Ояиауя 1)ес.тив)1 р )ломания е сте13еи- -, име ракии с)ме)т;н и м,о риза и иекоткрик сау-)аик мсжяо а)ера „ ан)ь е внае аиди3икк 1') никия 0 оиремезениой т)1ке Показать укзззвпьге рзвсвс)вз' 12.30У.
-Е „ )ми Л)(се+)1-).)) о-).а ' !2.308*, У е „(" )-Л)(. +Л+))(в3.1)+й) В(а+и) ( „,( )). 12.309", Ъи, ( ',. и (о+в) (в+К+ 1)-.; (ее.Р,— г — Л) '-- (лба). (311 1)... (о во+о 12.310*. ~ ( 1) - ':,1„ и и=! 12 3110 ~ ( !и ) и и-. Е 1(айтп сум) и рядОВ, ве вьрп1сляя вист)жяыл т.ум)г 12.312. ~ ----;,. ! 2.313. ~~' ° (-- 1)" -,, 12.314. 12.315. ~ -,„- — —; — „—, 12.316. ~ 1 — ))" —" 12.317. ~ ( — 1)"; — — —,.
12.318. п)ж како кде)и Р ез)в3:3 ия'3 3)о ря)я пе'301 я "*геев вое и.с! и'ГсЯ 1% фора' ) и Л=-.св В ',0,,"и„ В вЂ” н)асмсиа)1 суееиа рита ~~~~ ~) 1, тико)е„.з с))вести)ст 11реяее ри (1) 1 е о-таток (к )Я) "ЗК'НЕ~))О Маяаи 694ее аыСОКОГО 1НВРЯЯКа) ИЕМ ООТЯТок рв,)а (1) 11й1 р«я А ва вьимава, в, и демвлоаваа 225 Прн мер 3. У)абтв сумму рвдв л — —.
- толвостмо ао 10-а. „ ..л Атв$ Бывсввм. сколько ~исков давлого (вда нужно взять ллв лестн-! женки трсбуеьвй тсллоств Оаеьйвав осзлток (см, залаву 12.3071,. 3 волу'каем откуда слеаует. нм л > 1000, т, е. Аля Лоствжмжи указанной той*У востк ~ребуегси азить 1001 о|ей колодного рида. Улу алим слоавьюль рвам Положив в формуле (2) 1 лх.-.—.—;, А»-- „,, 4-.=1.
о» вЂ” еа»вЂ” А(А ..-11* * ' Аз(А-). 1)' находам (см. заделу 12307 грк ст--.о н з —:1): !). --м2.. 2...= -Л.-,,—,;- Аа А(А+1) Аз(А 61) Аз(А-,'1) 11 . 1 ;. л;ом — -; — < 0,(уз( 2, отьула ла >--2(КЮга бббз.,у влй л,"ь9„ тл сбтемги толйс"ть доствгаетсй йрй л:=9. Слелооатнзьксз 1 Ъ .. —.:1+ — +2 ~л,, =1+0„25+2 0.1075=1„645, ,ь ю .*' ' 4 ' Ат(А-(-1) (А т-у) ~ * ,жййв лрсобразовайле (2) мне раз х рйлз Ат(А+1)(А+2): : мло бм еию более улуйижть ехолкмость. !» В алланах )2.3)9 — !2,32,5, йрнмеаяй 0)зеслз(заъзван1ге :,'.);; сра, Нанта Сужжса унаааа11стл рйаОВ О ТОНВОС11ЛО ЯО ', взяв алй этого не более 10 членов полуянааза ось . Ис; л-,з.;т, сх; ~~.
—,: =.ь(р) " Л. ( )!' — „, — '~! — =„=- ) ':(р) (р> !) Првмсывм фо) мулу (2) ллй греобраговлйкв ряда »=~ Аз(А-)- 1)'.; ооложвв телерь а»=- —... Ь»=.-' . —, е=:-.1 и л» 2 — бб»=. „, ...Тогда, Змктиаав (4), вькем (см, вахавут Аа (»+1) (и Е ) 1 12,308 грй я: 0 н л =- 1): % 1 вгв 1 вв Аз ~, А(А+1)(А-,'-2) л ° Аа(А, 1) (А ) 21 1-', — -1-2 л ' 2 2 Ат (А+ 1; (А+ 2),'ь', ч Вмвнслсйне суммм рйла „Д вЂ” а свелось х вьлммлс:вйх сумма рйх' »=, 2.
-. т 1 , Аз (А )-1) (А 1-2)' Оненкнли осталов ~~~, А»(А.+1) (АО(. 2) „~', (А --1) А(А+1) (А+2) ' Аь л А(А+1)(А+2) (А+3) Зл(л-( )) ~л-~'-ф':!.' : ййи авета ')6нк1гнй (, (р) взйть иа табллаи 12 310 .,'~'. —.-',—,— 1 2.-320'. ~, з( г Р—, . 12.323'. ~ ( — ! )л ьт „...
12.324. ( ест авйт . Ба ~)хзртране грограавму ребаенИЯ : и -яааа 12,310 — (2.323. 4 Ий,ервроаанве лнфференайальйых уравненкб о оомлщьто рвды о~кроко л(знмениютсв йрв резаний лйф(лрей" в моьй. Длв велого Айда лйфбмренййальйьм ураввеййб 227 1 3 4 1,Л 44 О 14 0668 1,20ж.:о0032 1,062"д 2337 (Гбл;О 77с51 1,01731"""20 1„8033102774 1, 1хм 0 7 73 К 2 1 !2.322'. у ( — 1)'"' = — — „- ° «((1л-).з) л- ~ ноказаво, ло рец»енне у(х) нредстввнмо В анде сгзпынм~ ряда Ь-4 уп»1 (х ) . (Л)=»2. Оа(х — х.)Я=1, —,, е (.—;)з; (б) '; Д1 а=в *=О коз»рфкцне»лы которого»!он!ко опредв»лять с учетом заданного урав-:." ныл!Я разлк"»нымн ынхоба»лн а) Пусть требуется ньйын рен»енне »равненкя у );х„у, у')„ довлетворяня»ее условням у (ха) =»аы у' (ха).=.уг, Орн ем функция, (х, у, у') в,Очке (х1., уе ул) ймсст честные пронлводим лк»бото, поряд»га.
тогда корффнцнент»1 !Лз»(ха) ряда (5) оиределя»ется путем г!Оследг»вате»»ы»ого/ а»»фференц»ровання нсходного )ранье жя н пода,» ( П р н мер б. Пай»к ре»ынне уравнения у'"=хху, удовлетворякы д в!ее телом!Ям у !0)-.=0, у' (0)=.1. Имеем у !О) =. О, у' (О).=-. 1. Яз заденаоп» У Раенення нахалам' (О) - — -О. л(алев, дкффс»певцкруя уравкенке, нмсем у'1»=.л'у +4ху'+21, у' = л»1)'"+ бху -1 Су', у441 Я хеу»м., 2зл,.14 — 11+ Д»ь '11174-21 н прн х.-.0 11ыучасм ото;О»л 11е 1 (01 — !.
(1. 1) ~/х-е (О) 1 Так как У(0):=У" (О)--.У"' !3!) =-0 н У' (»!) -.-1„.1 (0) 04» .*101.,!Ы,»110) к угал~ы(0) -14л+2)(4л+3)14»л'1'(О)-=. 2 3 (и 7 ... (4л .' 2) (4л Р 3'1, л Е. Д(, Следовв тельно, ) '~' 2 3.0.7 ... (4л-р2)(4л-).3) !4л 4-1)1 :»-в По прнзнвку Даламбера »ыл)чыыын ряз схознтся,еля Особых хй»л» '. т. 6, Опрекеляек»ан зтнм гядом фо»нкцкя у(х» является рсссннем'. аадакного урзвненкя прн л» бых х.
а»» Найти рентепия уравнений, удовлетворя!Ощие за)1анпыы'::, 11сло вн яун 12.326. у =-ху, д(О)=у'(0)=1. 12.326. у» = — хеу* — 2ху+ 1, у (О) = у' (О) '=- О. Найти первые 5 членов разложения реп!енин диффе-',:: ренциального уравнения 'н степенной ряд: 12,327. у'=2созх — ху'1 у(О)=-1. 12.328.
у" =- — 2ху, у (О) =- у' (О) == 1. 12.329. у" — -усог х-, х, д(0).=1, у'(О).=0. б; есля. Ясходное дкфференц!!злы»ое урзкоокне лннейко Откос- „.ы!,!кй лгскоыоа функцнн и ы н(»о»»леса!Вь!х, лрп- ем козффкцнеат ярк .. .;:р»пей»производной в то»ке х, отлккк от 11)ля, тс- глкхенне сзеы.кать в анте ряда (Б) с 11еокрежтен»414мй коэфаф»п)!не!»та»»н лз, ,'. — О, 1, ... 3зкоя»ксгь такого к|е»аз плавает вз Н»ье)»кдгн ня, каа»»взсмоп' е знзлктнкескоз тепрнн лвф»16»ле»лнальвых уры»нсннл, ср1.11 14ы лрнз6дем дхя трз»'н6ння 2-!'с поряъга Тсо рема 1.
Осли а 1!Офд;дтк11налпом 1»рс»л»»елк»1 р (т) у'+ р (лч у' 4 1'; (х) у =1(х) (01 ' 1/ уи(ил р» (х), рг (х), ре (х) а 1 (л) Оклад»личны е Окрасе»1»сс»»к» л»л кл х» л р1,(ха) та О, лго сущесл1л1мл» р»и»алн. ».глгм»ы» лч (б'„:., Оред- ,:":,:.имое е виде слылснчоло рядо у (ю = ~~Р Ол (х — х 14. П р н ма р 6, Излтк рап!61»4»е (в анде степ»е»п»О1»л ряда! Траапекнх 17 — хз' -,,'- у.=.. 1, кадетьоржыцсе тсп, 1пян у(0)=у' (01 =". ~ 11!ДОМ РЧОСНКС З ЗНДЕ (ЯДЗ Р !Х)-: Ч»„окЛ4, Ь Ко!Яр»11» а Скчу 2(л '! ~~к~ Д(е — 1»:.,:."' - — ~4»',оа.»4, ~~Р .,44=:- !.
:» (1 -,:-1) 14--ХЫО»е»-=-!С --11:л » ' т.)хк Вк»е»л" ь»1 Оьье»ытпэ Л»»ма О— 1' а. -1 ..аз» ..ьго, нскоыы ре"'саяе нмеет плд 2 (2л ., 'Д' 11;". ы солуче1»ныб ркд сходнтся прк всех х ~ е 2ь Используя степенные ридь, п(лоннтегрировать оле. . *"01.*'!ге дп!дреренцнальные уравнения: 12.330. у" +хд'+у=1, у(0)=1 (0)=О. 12.331, д' — ху'+ у = х, д (О) = у' (О) = О. 12.332, у +ху'+у=х, у(О)=0, у' (О) — — 1. а) Если коаффтткевт «1р««стертой аровзводной в лвнейвом урвввевнн в то' ье хя Оесюиеетсв а в)ч ь, то следует всхлочьзОВвтьсн след««оатк 'ГЕО(неон.
'Реорема Й, Есча е О««4~Ар««и«тлен««м уравнгнаи рь(х) ~+««т(х)у + От(х)у=-О ('О фанкииит р«ь(х). «ч (х,'. а «.я (х) айа.«; «яичйь«« ««рачгм акт«а ~,, йылга«тя йилсм чернуха т функииа р, (х)„~«««лгм ла«тдка т т:ьж' т.. ( фхинкцаи р, (х) и «а«лгм ««арлйча ня) й«жь ь — 2 ф!«нкс аа рт (ь), а!«' Сетгйье ««ралнгйал Су) а Окат«но о йт таььь' ХС, с)касс«а«у«о«и й "нустазлмл«ся е иядс оуоитгьнта ..лимана«а;Улда — х„иг '~~~~ ав (х х )а чма,ФО игами () уйме р «. ((Хутй ретеййе (е акде о«в~Ой«ьййото стесеаясто ряда) тряьася ~я -. "+ у'+""=.', удоилетаорвьттее начальвич условиям у(О) — (, у' (О)::О. «ф )(озфрйаасятм урлаоев««я уталстворятт,.слое«,яж тт ромы 2, тттому вщем рьиен««е а виде обобьтсй«~о«о а тетшого ряда у(х) — л' ~ ахх".— ~', ььхлчг, ач -,,~ О.
ь-е ь-о )!меем (Ь ) „)а ха,г-в у"-.". ~Р (д-(-т) ~у.( — () ахах (сйур(я нтвут формулу' а т — ч (Йт)е * йс',И о(( йол) итч ао (~ут)о~'"' ' Йт*" (т*: :- Ояательяо, «мкОь«~ ровня««е ',тай«««ос«ся в виде у (х) - (+ ~, (- (),„„, т, х б р Р 1)и()т««Оби(ее )тс«иеи««е «(ифферсиииаль«тот« урии««е««ии еи«уе Обоби(е«и«О О сто««е1«истго )тйдв: (2.333в. х««"-у Оу' — - т««::: О. )2.334. 4х««' «2«,' О у=- О.
О )«равнение н функннк Бессеев. Частйиы слттвем урлон«ь ,(ь, й «ттй«всьсч«ты х том со тлоаьаво( яют ъслоев ~и те,.реь«м 2, ч:.'я урьоасюс Отоеля хту -( ху'+(хх — ть) у==.о. (О) сайянй явля ьася йьтйь«рячсскхс фьой Ои. Бесселя ьсся. «т ',2/ ()=. и х ; ..~. () (т и '«, (т ', «О) Р(одстьалйя ын рядь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
