А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 30
Текст из файла (страница 30)
х' 12.153. Доказать, ято ряд Д„( — 1)Я =- — — „' хе(33, 2м — Я(1 1 хл) ; х»3д11т.ся абсолютно и рав31031ер»3 О иа веси м13слггссо»63 оси, г Орда Как Ряд КЗ»ябСОЛ1ОТИМХ 13ЕЛ13МЗИ3 МЛСИОВ» да1ШО1 О ряса (ряд задами 12.152) иа всей ммсловой оси сходи;ся н» Ра813омерио 12.154. ИС31сллй,зуя орлииьвз макс13мх.на ходуля знали- .; 1ес1ъй ф).и333133к, доказать, ятс3 если 1лсн,1 риза «1) а1:алитн1сскимн в Мласс33 (д»!) йннсям1; 13 1кь :»».рь3в13ь3ми в зах3К1.73о33 облисти 0»=-В -, Г и если ряд )3 сходихся 13авно»гс)3ио 1»а 1, ТО Ои сходи ся «3ав13омерио амкнзтой Обтмс113 Гд (в1013ая тсо(»ема ВС1»13ррасся), 12.155.
11ай1'31 область сход33ьгг»ст33 и облас1ь рн3»31с»3»срЙ сходиъис333, а 3а3 кке стиму )»я:а ! :"ть й 3, Сяойстяй ряономерно схолюньхся ряхоя. »л»»»;-юл. *ну »»м рка л»3'В я о:»лтс яялм'3. 12.156. Доказать, » г если»3.»333ь3 (3нви "хс;31»г. »Озмисе»с" н Обла1.'1»3 33 63) 3:ьс3 033 3 31 н»иг» »я'*а (13 '»ммохкить сдиу н т»' их 01'рим13меинтк в Обз и'33 с), с л1кино то (»ая3»0» е)»ная сходим» сть )'гм з 1м иг 13уг»3н3ся 12.157, Д»ОКизйизь, '33», сг "'3,' ун.333»33,.' (33 3'емд»1 рмн1Ь3 ':,,ас3;и 1)л н ряд (1; ( ао: м::3.::: гит"::;. этой гн то его сумма ) (»3 13еирор3.3 ми р ог смст13 гл» 12.153.
Доказать, 30 осло,)мк3и»3 »гй иеирср:: вкеа .' засти 1), н ряд (1) (3а33ио»н'1»33с ."3ихлтск в этой то с»со ыо33сио иомдн1ио 13итсг)33ро»,а3з» 33: л1обой : 43 й велико;3 33е33сас11ей в О...засти Вм т. с. имеет ;О РВВСИСТВО Х ). ()) ) д33-- Х ). (3)) Ф. И. я сс»». Л. и. Вяля»»ОЯЛ В. Г3. Донял: йяяй (2,)69Я, Доказать, что если на отрезке )о, 61 функ- Ц 1к(Х) Д1:фф«'Р- . РУ, фУ«(НОЯ.. 1 й Р1Д ~~~ )к(Х) СХОДИТСЯ, а РЯД НЗ ЯРОНЗВОДНЫХ ~,); (Х) 1 рааномерно сходятся. то нсходн1сй ряд мохкно я! "1лс'яно дяффере111(ярОВать, т. е.
Яыент место раВеястао ,. Х )к(х) -- ~ ),',(х) Я=1 Длн райноыср1 о схстя1ийхся рядоа нз снгаатн тксх фтнкнйй НЫСОТ Ыаюто Т с а р с м с В с й с р ю 7 р В с с я. Гсли итал Ойиккцююатл огс 17ядо (11, а. с. сдтккйии,1, 12), ЯС1яюсксг~ акалитилткйми а области уй 1бункйинм1с и а любой занккутой кодобмгсти уй, О гмд (1) сходится )гаакййгр!ко, аю' г) сумма рида 11), т. с.
Сбсгккйия )1г',, Явлвтксл акалискийссйий а облотти 0; б) ряд 11) мотка кся мика йнйхссрскйнйсяскт любос ак Ло газ„ т е. Сари ~салолы раасксхма 12 рт(2).- Х )-"'(7) .1'=-1 -' " гам; (2), 7 к=1 В) а любой замкну кой'ксйоблассни Дс 1: кон,,скнмс Я рсзилан1атс да 1СРгйняирслхгкия ряди (21 сажнтся риаканср7ю. )2.)60. ИСЯ71тьзуя утосрж тяае галан )2 )57, )2 )53; тсоретгй Мс рера (тсорсыа, Обрат яая 71 Огемс )тс шн), доказать утясрскг,.сине а) тео(неь1ы Всйер1н ~расее )2.(6!. Восноль сязаатясь формулой КОО1н для яронт* Вод11ОЙ и утасрткд~«ие71 заданн 12 ) 518,,Наказать )тасрясде-,' б) е'рс," . Вб) р.. р 6 3. Степенные ряды 1. Область схонныости и саойстая стснскйых рялоо. Ряд сл 1" 77 ОΠ— гл) 1'сг ( "27) Н - б ~,* (г гс) (» ° — ~~~, с„(2 — го)л к=О 11) ' нозынасн Я санлсккым нс стгйскяы (г — гл). В чкс комн Рйл СС ..;г 1.7тг'+...
( Скг."' ., — ~Я" Скг" (2).'й) ЯВНЯстсй стстсгин 'ы но сс!ха Яы г. б гоы* кис 1с ткй сны — 2с ' 2 ряу!,' (1)'саоянт~ я к ря;и,а с с о осы 3 Або 7 Я, «'сли с,снсккаи тлд (гя сх,йитсл и снонна г= гг-,'' О, то ок абсолютно юодит. Я длл асах г г атсх Ясно; г! .: ( г ),5 Ярийсм . хтт:ийосксь йидст ранкомсркнй а лкбом замкнутом круга)', 2)О )г(т.с < (гс й Если аса Ряд (2) Расхадин~ся а аюнка г--.г„, та он 1,ЮХСН)иа|ся и ды асах г люках, ко а ) 21 > 1г,( Из тнорсиы Лснюн слслуст, и: сблас(ыо схознакютй ссстскйосо 1'Яак ЯВЗЯСТСЯ КРУС' С НСКТРОН Я НЯНЯ а 1кк31ЫКЯЯ7 (С НС'ЯТРОФ В : нкс гй), ратйус 1сосс~рого ыомст быза Онрсдслсн нрн кнттга гябо : "йзяйкя Днлгнбсря, ЯЯНО йгнзнЯкя Ксийт 7 с.
йг тсЛОВЯЙ яылйслскнй рянн)са Р нртт сття7кктн т7лунасы !~От НКЯ Р =- -. ----- — — йлн к) -- —:="--- —:=-= . 1! р к О ~ р 1. И, тнис аят ня схс:тт: та ркн «Я 111кытн;и пркзкак Д и. Вбсря 1г 1 ',. р' 12 1 2Рк ('.*.,'. 1 -" 3 *: са з,:клюнкаы, Ян. рян сттнтсн н крт~ с ~ г Ь 21 < )7 3. Далее, кр1юл, т с. т и ) а+к) —. ! 3, ныссы Лткло:., ЯО РЯД:НСОЛКкйо СХОЯНССЯ В ОЛЫКНУ77 Ы К;СНС !',7, а(и' сы схОтнс Ост ь зим 3 ~ы~ Ог '7! Нртсс раао~ -М )2.)62. С1)Н1рь1улнроаагь теогсм~ Абсл 1, для ряда ((). (2,(63, Уста11ов171ьа нтсз сгенеяяон ряд (!) обж(ает ся~н1 та1айля: круге схохгя11остя (г--,о( к: К сумма стеневного 1' .." ) !2) налЯ1 тсЯ 111ун111О1е(1 а11алй'1 ннес17О(1; и ь(7уг~:* сходн71остя (7 г,,) <„гс стеганной ряд . и' ионсн:нно д11фферснинрояагь л~бое нясгк1 )таз, яро;снс)7) ерея1(яроааяя1 1с )тнды и;1е1ОТ тот ьке самый схо-:1еаоогн 12 — -г,, '", гс; 12.166, К - -",...,— =- "-'",, р *к«-«-1 12.165.
~~ а12.167. с ( -. 1)" — '— 7 т а«" 1. 169 ~". - "-=- 12.171.,~, - .-'--" 1.".1 2. ~в,' --:-' ', ,т' а:- « !2.!73, ~ -'--'.'-'4:-.' —..'...—:. !2.174. '.' ";,,'". В) ряд (1) ' мож«10 ЙочлеБИО интегрнрОВать 00 льт«сб11 крнВОИ,, ле»кя1не«1 В круге сходнмОетн Брнчеа« иаееграл аааиен« только 01 наваля и кониа 109НВОЙ ннтв«(тнрова- «ьин„а рвд, т«р»с«ученнь«131 йа («яда (1) В реаультате ии»егрй)тоааннн От аа до а, на1сет тот ьхе кРУг схстн«ности ', а -. Яо) ~ )т 12.164™ 1(усть стеОенноб ряд (1) сход»пся а круге )а — а„«< «с, «т > («, и )(г)--сумгна лого р»да. 1ъказ«1«ь, 11; .: В;РО . »ЕД« РЬ(г) В ТО Е аа а« -: ВЫ-,' раин«ть ч« р«а«к чс«х«»»нннсч«111 рндя 11) «ио 30.~«чляы 1»с»1(а»»» .;, б М вЂ”. 'т(а«ттн облас1в або««лкс«ио«1 сходи'.~ест«» и Обляс«н равт: КОВер Об схолнаостн следу осана Р.
Лоа а бС). Зат»енвн'; Э«НХ РЯДах (кроче 12.179, 12.131, » "1.187-.!2.('-:х««а На-~-"": КАР', игбсл;дооять их на абсот«кт«и»10 и раыов«ср«»к«схс»-.' ДИКОСТЬ, 12.181. ~~~ «"- — '-; — . 12,182, ~~» (З«1+ 1)(а 1 с ° ° 1 12.183. ~ ~ — 1)в»1 —,,(а '-1 —, 12.1на, Ъ а=.1 12.185». ~~', ( — 1)в т-„3-1--1 . 12,186.
Ъ 1 12,191. Ъ. ' —..' — ', '«г — 1 '. 12.192. 1?.193. ~ (--1)"'' — "" ','-,—, 12.194. ч» с-,1 12.19о. ~~~ «-',—.,-+-, 12.193. ч ( — 1)", " ' «а '- ЗРЧ в .« 12.197, ~~' п!т» . 12.198, а 12.199. ~ -'.;,. 12.299. Ч. 2" а''-. 12 НО1. ~ '-'- — '-;-.-'- . 12.2О2. ~ -' — '. Р.»»ск»т:ввв фунвввв в рва Тсйоора. «Ь«сс«мт то своду«о»««ав 12.17о. ~а ь- )»о' ' ла'.
12.! «6. ~ ( — 1'1' 12177. ~, -'.-'- — „-'-. 12.173. ~, ( с- —: .: 2'(а — Ф~ва в=1 о:. 1 Ф .«Ф 12.179. ~, «11 «а — «)". 12.189. ~~~ в=« о-:1 о'"с - х»ссор«»со оврсст«о«тк.о«св во 4 см«аов '1 1«,' « ~ 1 (1«1 сс» н,васе ллв агввкв 1«рвволв»;сйо«1«х вите«равов во агм ' срт («сов«»рвот 1«»«то«ралов) ыи Неволь«ус»1 оаьчвый -«тссрев а. Следе гаме. Есле фуйклвя г'(2) акалнтясла в областл В и аа~(), 1о в к(уге (2--21( < (с (ее, В), г е лг(ал., 12) — йакмейглмеа рвссто1111ле 07 олкй 2е ЛО грвйййы облвстм О Йлл ЙО блйл121)1ле11 7ОЛЙМ в .кОТ11ЙОЙ 1 (22 лг вллгк7есял, 1 (2) 12огкет 2мть л)жгс1ааггсйа ВЙЛЕ Стлйекйгйь РЯДЛ а ) (2) ~ (л (2г) (2 - 21)Л, Р) ь:олффкллгйт1 которого стореле,цлгогя ло форыолггй ,ГЛ112) ( (' ) (гфт Л) гяг „1 (Г) -22)"" (71-2, ~)=г <ЙГг, Ь1 Еслй хь=-б, то рйд Хсал11( л йл1мййФТ гакгке рядок 1)(ггклорело.
1( р м мс р "'. Раало1кйть ф1йклл1О 1'(2)- ЛЬ 2 в ряд 11л стелсйяы 2 (7. е. в рлд 1')Лклорсйл). ~Так как вй 2-= — -' — — лгляигя:мзьглгглггскгтя во гася лл скостя, то ло теореме ) сб ~ора ге рлд гвл лорена булет схоантм.я к лск ЕО ВСЬД ЛЛОСЛОК1Л. ) (МЛЕМ (Л)12)ге" ": —.гл 2, л=. б () рй ма р 6. Рвзлолгйть в рйд йо стельййы л фуык1гйкг 27 — 22+ 111 (2 — 3)г('22+я) ' л(( Разложны (1(2) на влеггел111) йме лроггь )1мсею Й 2(2)-- —,, —,.
+-- —-- УЛЛ.Й ' 2-3 ()О фв1ЛГУЛЕ С)ММТЛ 1ЕОЫГГГР11ЛЕСГГО11 ЛЬ,Л(Е1кйк )" ,„=о ;2 ТЛ (КД 2)ь:л --Ь)1 2. Л~(ть Р1»1 (Л1 Рал ьл (Л) (лсдоялтсл1ыььсе„'-"- --,—,— "О, в гьл,.г= --.— — — -- — — — —, й '1-' 1улу ' ' "" (Йл '-))! (рл „- ()(' КСКОМГА )ЫЛЛОТКГ1 ЛЕ .1МЕСТ ВЛД Л ° (Ул Р ))(" 3 а ма ч 2 11 л с. ()слй (*логь1лт( йвьгь 1ЯЛ тейлора ф) йклыл ) (хг;:" лебсглл:ьльл лй воеьгеклол. т. е.
Йял ят )1лл(х) то для слрайеллйвостй лагс1'с7ЯЛ (3) (лрл 2 "х й 2е.". 21) леобхо,1О4О досгвтолло, алом 1КТЛТОММГ22 МЛЕЛ фОРМУЛМ Тейлоре л„(х) стрвф мнлсв к лула лгл и - се. Остать Фыа 1лел м12йгег быть атлйслй;,„', йолрлмср, в форме Ллгргюка (Л.-х ~ "" (Лл(х)=- — —." р (1Л-'м(х, ' 0(х--хл)), где 0~6-"(, (лф )' :(:;: Ллй В фгРЫЕ (<. Гак гх — х ) 71 (( — 61" )2, (х)" — ' — ' — -; — — — ',"" ' "(х, (-(1(х —.22)), йал В 1ФКОЛ Л11ГО ЛР1111(1 1)ТЙ1ме ц р й м е р,'3. гаьыглгггть в ряа тейлора ло стелек11м хфуоклйю сей-';*,: «ф Футгкякя 11 (х) — "2" Гссколст л «лф(враля круеыа л (ех)1лг =.-Йяйу( г'=,саовлготьло, )г"1(б) ...
(, Формула ) еблора с остлголймы Йлейоилвгс Й(4 2 (-, (72 ' .*2) (2 :, лысо Т, )1аллсллг11, в рл *,, ' л л 1л 1 2 (х~р) фл ллил1л ,( ~ ЬИ1л л О ЛЙ,ЛЬ 2 РЛЛ:Овсййв фтййгмй Л1"* . ''- ~ ~ )1 — — — (СМ. 1ЛЛ 'О Лкмеем и '(ьяг - ))(' л —. а а лотову, всвоаьзуи свой«тао а) ажта~в (2.1бз, воаучаем — =ж.. — - З~- ~. (- 1)а ~ -„-- — -(1)в —. в ' ) 2А: ()( ь.о -ч ХФЯ1 ( - ()" — „— — - -; — — —, хЕБ. 1~ рдт()3('21! ()' Используя теорему Тевлора (1(орз1улу Тейлора с остаточиь1н 11леи1Б1 в каков-лтнбо 1)карые длк фуикиий денствнтельиой иереыеииой)„разложить в ряд ткь стеиеиям г следуюз(не Функиин, гровериБ тея самым справедливость юотыетствяО1дих сООтно1всивн из а) - е): 12.203.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
