А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 25
Текст из файла (страница 25)
„11з»1»ггк искам фуиккие В облзсзк (г. Докзззт», по ссл11 Олиз нз фузк1ОГК и(х, В)== 1Кс)(г), г(х. »5).—:.1»11,':,г), сотрзнмст в ».блз»ти »ктстозю с зьзчеипл т»1 и «(г)та сопс( в )7 3. Скоротал а»»аль»касса»»к Фукьмай Р»ю ст»лт1Г: „. Рт»осрамь , к)4111!.киг»смь х ф» ьккий»егс'ьь!сз»1к В 1ы» 1мсььой, »т хра. 11.1!О. 7)»»кз.»;»ть.
ч:о 1» .и 1'(гт и 8(г) --юпл»»тзчсскпе "1';",. В Области тг ф) с»»ик»1, 'О *,"с1'кими ) (г) 3- 51гп 1 (г)-8(г) текле з»~злитичзь» и области 1), з ч:с1»ик )(~) 5(г)-- ».-,:-',':,;.;:-!:,,',, В11зл11т»» кокам фумкпкь ьо всех и м111л с»блзст11 с), в ко. торах 8(г) 4= 5» 1)ри вт. м ммсз;1 мессо Г)х»рт»ут.ь; ()(г) -'Р(л)) =-- "«г) л=)»' (»1 (г) 81»г))': ) (.) 8»г) - ) (г) ьр' (г), «т 1г) с) ',' Р5 5 «" О- т».») В' «г) с В»г) т ат р) ! !.!20. «бе ть,Р(г) --зкзлк1к искл»1 в об1зс1В с» фусп.,г~,." В01К С Обт»ЗОГЫО ЗКЗЧСИИЙ р — (««г) ) г ~ 1)), и ПСС1Ь фтКК.
::,::-':,."-'~;, Четв к(со) зпьл1ткчьз е облзсю1 О. Дока:зть, что г (г),-.-- ср () (г)) — -зизлм ткчсскзз В ю»лзст и 1» фу 1»к11км. !4 .;.,:У»1 „' е)1",,сю с 3»;зч; )1.!10, З11 1 Об» с ;;;;,,',,;"ЗНЗ».»1»1ТКК11С»СТЗ1 ф»УИККИй З КХ ОР»»1»ТВ»»»11»1ЛС: !!.121, )(г) — »К г. $1,122. 1'(г)---г е '. ! $ . 125. ) (г) -... '-,— '-'"-,;, 1 $. 124. Т' (г) .-.=- --,— .
$1.125.,'(г): ----,.—,";-- . $1.126. ) (г) -" - — . $1.!27, ) (г)».с)йг. 11.!28. )(г)= — — -':-" — — . !1.129. ((Окаэать, что действительиаи и мнимая части аналитической в области (7 ф)чгкиии г((г) =и(х, У) + + (В(Х, у) яааягьттея ГарМОИИЧЕСКИМИ В ЭтОй ОбЛаетн фуИК- ЦВЯИИ, Т. Е. ИХ ЛЗПЛЗСИЗИЫ Равггм НУЛ1О' гул» * с)уе О»а г .":,,- 11.130. ((Олучггть выражение ла; лж пана (угг В полярных координатах (и= — и(г, с()1 Зжгс-ч,. ч;с за;: жим лсасгвиьл,нг" ч гв мини«4 ча'ти анг.- лл г. (», Л) - )пг,г(е' =-. ( — и; и и. с(и, гл„глг г,е ,'л, гЬ) — Онксггрогаиьчя гочка а гс;астк ( гг ггу»ч кнг»трнггааг. "гя . кжс г,с,:.иг в обвал г ГЬ явсчслгя ...с":: тг ггтсгьнл„г ч,«; и пг ги:г рок ака»«си и с .оа и4 тлк как г'»и „гг Во вее«п»глсь стк, .: и(», у) — гав»«:ггчг:ьля фл«к. ия, а г таа ~л В 1)ронерить гзрмОничиость прийедеггг!Нх ииуке фуикиий В укзазниых Областях и нанти.
кОтлз это Вогможно, зналггтнческую фуикпюо ИО ланньЙ се чсЙствглтельиОЙ гьчи мп ~мой части: 11.131„г, (л, гй х —.;юг(л, (~.": , 'г ' оо. 1!.132. О(х, у .".';' ч';;, О и«(г':,:.: с„, 11.133. и(х, (:~=.— 2Х:;: 3., ('В..(, , '.', со. 11.134. И(х, (с)--ассгу» '-', 0 ..','г(';."' ж. 41.135. и;х,.:,)----, ', - 2у, О. (:) р оо, 11.! 36. И (х,:б — »с; л - хи, 0 ~ ( г ') ;.: хг ° 41.!37. с (х, гг).=.х(Й 0ч-.:г("..
оо. 4 3. (ГОифорыиые отображения ,сч~~~с ' ггу:*:"'. 1, Геометрк мекка сммси ояуся и ар«умения произвоанорь г г)сп с." -:, .иг- ) (г) гьа чгггггескся ь и ье»е:,'. г ~ ьиж,,";»Й Вс г' тоггга гс при сгобгьагг екии с, =-(~»,*, (г чьс ~р (г > .' н: сет меси расти. гксиье, н гР, В ( — сж(гг.с). ЛРг)мг гг ьг„ь* тггои гс(' 9: — аг( Р гаа) геомгг Ри есг к Р.
веи; Гаи ил ксл игл Вч н: и: сипеРк) гь касатеагигУгО чгобь, жл:, чкгь са ь:свьг жс и ыи е иь г ггл) к обрат« Е' вго(( кривой, рч лчобграл«ник о. )га) ();и злом, сс»и ср > О, со гквоф~г» рот п(кгислс»ьт . р ин ы::всй ст(:;н, а сени В < О, то гас Гакам гарса ', гссмстргж«'ЮЫ сл'лг ж О»я и ьрг)мыта сцгоизвсак'и сос сит а: м, и; пьн о,брнж«гн ь сгсуигесгв»(ггсглог« анааггн гсгсыт флг кпие( ул члг:.~вг рягоих(: юггомгго р (г«) ге О, В.—:(Р(»л) ыя гас Яст >о«руки;Огг ЬРлюгл(гааоначгггг иОХОбии беекОвсч и ы(ькгиг иг«еажги ч..гг егта в т кс г,, з:.р =.
аги Гу (т) —,гот г" г иове( ота итог. игл;м;чса Г( ример ( Ма)тгг яих((-гчгге.-. р:.::гьгк:нчч ', и угол поворота г и »--О 12 (ь(. Йь Г(. ! и':р Ь Пг алась, что '.*,'нг.1иг гн г' и (», р) -= а г»' Эрг)',- Ьс: гт, ф с(, и Ф О., ге и ж я сас,я, тесьной (каи мгсиька) ч, мо иик, кой акалигк. ггс«сигг —. '+л — „' = ча та О 1В ч4 Т.гл ьак иг -л Вг ( и и' (,, л- ) — Вг, то я--((Оаг( =1' .' .
г( ги ((Г-аг)-.— алгЙИ (!Ь 1!айти кггэ(хггегг(ггснт расгяжсиия Й и у.ол: оаорота ~ Йля:злаинглх тображеьчгй жл —.~(г) в указжгиых точках. 11.138..»: =-.:",,",-.— — !' 2(1 г). 11.139. и ==.г', г,=(. 11.!40. ги=-г-', г,' 1 с 1!.141. с —..—.:", гч=-1 11.142. си=э(пг, гч —.:О. 11.143. В ==(с»», г, =.2~й. Л,;.;; Выяснить, какая часть комплексной плоскости растивиаастся, а какая сисггмается при следутосигсх отображе- 11.!44, вв.=1(г. !1.145. си=-е' а. 1!.146. и=)п(г+1). 11.!47. Вг-.=га+2г. Байти миожсстпа асех тех,точек г„в которых г;рн слепугоптих отображеггиях коэффициент растяжения Й. 1,: !1,146. од —.
(г — 1)2., 11,!49. со ге — гг, 11.!56. Ьч= — '-- $1.$51. и — — г'. 1 — гг 'г)айти множества всех тех точек г„в которых при следунтит»х отображениях угол попорота гр.— рк 11.152. 221=- — —. 11.!53«. 22 = 11,154. 12.-22 -,' гг. 1!,155. ы — г' 2ъ 2. Копфармные опюрзження. Лнзгсйнгя н дробно-.чкнейная фукк- ннн. 6«лнчаь олйозггчпое отабг агкеп,е: гжь сей 1 гл скос"й (2) йа об .*четь б пло:2.«:и (ал казы.жется:,,на:пьчсак, гслн в каждой точке бог тн " .:о об. жает сж йсгпд,ю созгаьепня углов н пос.
товк ге: пас ' ж нкк. К:, нгсркн коссрормнгс:к 2тобрджснян Длч спасо :;--:. : , )2 Й даюкеяюг ч обрат о Хьк н," рд юбражсн1а1 функпней 12.-(2', 1 '2, '' .'., '' .. ж ',2« 'ЛЗ) фучкюгн к '2 г г;„зл;, ю: к О ~ г, км р 2 с 2),::ктьоькнке Вь гсинтн, к,:ие и: и,апгилх 4»У;юц;1и и =-.((2) апРе- дслгпот к иф ргз»гд: зебра;ьгюигя уг ддоииых областей 0: 11.156. ж-:(г 1)-',,'..'-. (г' 1.
(2 ' 1(.: 3, 0 агп г Зн/2), $1.157. 12 --)гм), 1)=-(г1(г1< )) 11.158. пг=-е', 0 =- (г ) О 1гп г < 2п). !1.159. и'=-- -' ( г.'; — ), 0= — сг~т - ,'г( < 1). $$.160. Ьз=-(г — !)', О -(г((г ! (< !). Отображе пе, ссгтнсгтйлйемое 2йнейкоа фуйкпйсй п~=-аз+ Ь, рао матрена выюс (см.
пример 3 1 1). Око предстааг нет собой компознпюо рлс'яженйя (юг==(а)2), понорота (пч --22 "гк'в~) н парил. ельного перекоса (к' —.гас-(-Ь). ()браткая к лйнсйнойфункпкп также 1 Ь есть лннейаая функкня г=.=- -в --. Так как ьг =-а Ф О, то а а , отображепке ж коь~фоимйо йо нссй )засо:крайной плосяостн, орйчем нмест дае кеаодайягяые тожн 2,: — (прн а ф 1) и 22= се 1.а т) р я м е р 3. Выяснять, с)чжста) ег лн лннетгп,:я ф ккггня, отображвююан треуголюмпс с аергпн. *амк О, 1, г а пас«кос ~й '2) на трс)гольнкк с ксрвпнкмч О, 2, 1+1 п плог: ютн (ь).
° ф Замеп,*м, что грег голькнк с нор».нкамй О, 1, г юдобсн г1 етгольанку с аервюгкг«зг О, 2, 1 ьг, прячем:срвкна а точке ", О соотастстяуст сер ~ к |е а т::чкс сп 1 41 нсдап»га а то" кс 2, — 1--кер ~нюне а го"-кс юз О ч ье" . "я а а зо",кс 22 =-м аерюю12 в ~очке аа 2, Ьып:. ю * и:г .сонате» по преж раз 'в:,н и а) ж, г «г — ~1я: . т:«юо на юла кггр„~гнат ьл 2~сс.*а=огп4 протнч .;. по 1;т) ь г:) аг--У2 г- гг':и»я г к*ж)!сегюра им Ь . У2; г) ь» ист-11 1 6 1.1, л,елю пя 21г ьс на векпр, нз. бо жжогггпй ь жггек.г, с ччс.л 1 ) ~ и р.
ч . юь гю .: ю кч осрювкамн О, .'. г гп„),икается па т~т трстгольнкк с г,: ~ н аь! О, "', 1 '-~, сгвж ~го як«ь:к ч. отображс юс нская нл. ю ая,рж к» я кмг.т: гд в, о~-'",;- ю=азого«,.г«г:: 1 22 «2 ';. (1 ) 1) ... 2 ~ . -„.. -- г —, — ~ 2 и 1 - г - 21 1. 6 (1 — 2), ф» Уг 11.161. Двгс: ать чт от::51:ать»кис, осусцсстпльснос пелои дгиейпои фупкиге11, пмсст дпс пеподгиокпые тскиси н ..,.:'22 (Сппиадяйдгцпе, ЕСЧП а=-. )).
Для уиаеаниык ИИЖС Отпфраиеаянй гаантп НОИЕЧИ)1О ф .~, Ччс«.",";.,Г "21ЕПОДППж1 ';1: Г чи У г,, (ССЛИ Она С)1ЦСС',ИУСт), УГОЛ Ипап" ь!2«нь'.,',"!!:;, Рота '1' и коэ(капп'миг гс)мотет ии А" 11.!62. гж--22 ь 1. 11.163. ы -,- гг+ 4. !1 !64. и: —.е 'г--е ', !1,165. п2--.-пг -1-Ь а, 1: ДО, гтьо, 22 а' *,*::Осупгестп; яет конформн, . ото ~.,: 'епйе рас. » 1гч чой п.ч скостя (г) ка .; расгчкреньую плоск с ь (и).
11рк агом, л углом меж,.т крнаымн :, в точке г — сс ю ннм..е»я )гол в точке 2' — О между образе«я зткл крпаыл, гогу«синг«к путем отображения 2':-- —. У)рсатгйгж12 дробчо"Лйпскясй функпксй (, м,кчппй от лгп:сййс2й) ясляется ф)пкчкя 1 аг — —, юло.: оя кс;ю г: кть г ре,.стью в,а п ак. е компсзк1гг»1 ююем Сснн СтпОСкзельк О Ехю;К анй .Кружнг гтк а, - — ь ко» плЕКЮЮГО 2 со$$рвйсе$$$$й о$„.. -: ят)т$р$ктеР$$$а$$ .$рса$$$С$ асйсаййаа фу йкойй Сйоб)таттаст ск)$$сй$$остй йаосйос$й $а) и окруй$$$остй йа жйос$$$1$с) 1$$рлйай Яйййи с $$$т$$$тссй $йрув$$$$сс$ло Вс..ойер о$о $м$$$$$уса). Так ййк $$бй$$$й дрЖВйо $ййсфйай фч'$!екйи $$$$е,$ста$счяе$$$$$ и $6$$$е кся$й *тйййй,чй. $йййой фу$$$ол$й м: ==се ф арсе сй $$В ар $ ос-ойй Вй;$$ м .=.-- $$ сйоаз яйкеййой ыа--к.— - — $$$$ $) --, "с ома так;$ ос::С$яа$км$Я тйрув$йость а ск) уйа 7цсс$$$о-$$$$$$е$$$$ам )О$$$$$лй м й $6 $ос$$$$е о$$$$.$$очс ся за$а.
ййсч $$В$ ам а Л$$ $ $$$" $ й У ча $м о. Сс.:и а$ - . с $„,$.; "- '; $; $. — — * , "а„то а оосле засй й$ а ' —" йм$см ,". В Я61)'ч: '::» Ф$р:"" С$) ач::2$ ' $ — ": -- л —;. -- '+ $ 11.167. 1)р$$$а$О$$ р= — х2. 11.166. 1$р$$$$$$$) $$==Х вЂ” 1. 41,169. О$$6$)ЯСЯ$$ОТ$$ хтф $6$, ). 2х —.2ц-)-1; —.1). 11.170. Д$$$л$йкт$м сстс$ $$1$$$ЯОЯ$$$$$$В$$ че)$В$$ ВВЯВВО ЯОО)$- В$лчуч' $$к)$2$$$$$$» $$ Л $х $ $4$26с ) О6$ $3 $$рес$брас$$$$Т$$.Я $ч$.7$$$$$$$$О$3 л' — л $$$2$$м$$сл а лк$б' я $$р$$м$$я стх $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
