А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 51
Текст из файла (страница 51)
'3 ' ' ' !О 13.165. х4$)=-Свсоь 3|+Се в(из|+ — ь1п 3|. 13,105. х(|) = б »= С|+Се(+ — ~евг. 13.107.к(|) — Св.'; ~Се — — ) г в|. 13 106. х(|) 2| = С,+ — ~а|+С,е-'|. $3.109. х(1) =.=С|+С е-' ! — е-|(сов | — мд |), ! 'г г ° Г ! .. (УЗ . 1)РЗ), 13.110, х($)--:е —..
»|п — соь — +е Г. 13.111. к(|) ($3 |'$ 2 $+|+ — ) е-|. 13 $12. х(|).-:= — (е-Ы вЂ” !) — е-В|. $3.$18. х(Г) г) ' ' ' =9 з ! 7 =- — ($ — ет) соь 1+ — (|+бе') ь|п |. $3.$14. х(у) — соь 2| — ь|о 2|— 5 * 5 ' ' ' 8 | 25,, 1 -- — соь 2|. 13 $ $5. х (б = — ьй 3| — сь 31- . — »9 1. 13 116. х (() — 3 1 |+ 4 ' ' ' 24" ' 6 + (1 — 2) ет.
$3117. х(б =-. — сб | — — в|п |. 13116. х(|) — е-|. | тв г4 13$$9. х(|)=! —.е |-- в) (| — 2) (! — е"|'-в). 13120. х(|) —.— в!п|+ г + — т)(! — и)(! — и) «1п(! — и). 13Л21. к(!) =ей ! — $ — — т)(! — $):$4*;;. 1 1 2 е ! — '$ )С (сй (! 1) — !). 13.122. к (!) --- 2 ~ Ыпз — — 2») (! — $) з!па + ', 2 ! — 2» + т!(1 — 2) Ипь ) . !3.123. 4$ Уравнению Нч'+а,Н"-ть+ 2 ...+ая т«'+а„к-.-.( пРп нУлевы«начальны» Условиак шКГ(Ы',;г ! нетсгвует операторное уравнегше !.
(Р) Х, (р) = —, где Х, (р) акт($$';:,;;;, Р' а Е(р)=-Р" +а,р" т+...+а„,р+а„— характеристический пьют(Ы„.'„, 1 член уравнения. Отсюда ! (Р)= . Уравнение»а РК, (Р) «гаг-)-а,х»в т)-; ...-:-а„,кг ра к=)(!) при нулевых начальнЫ~;:;";; условиях соответствует операторное уравнение 1. (Р) Х (р) =7: (р), цф!,', Х(р) ='«(!), з р(р).= 7(.). Отсюда К(р) =- — =РХ, (р) р»($($,"' У (Р) 1-(р) С помошью интеграла !)юамсля (см. $ 1, свойство И) получает6:::,'~, к(!)=«,(О)7(!)+~ к, (т)7(! — т)дт = ~ «,(т)/(! — т)дт (тан квй':-,'» кт (О) =0), нлн к (!) =( (0) кт (!)+ $ Г (т) кь (1 — т) дт. 9» 13 124.
х (!)=»,-,';" = — (ег — 1) — — гг+ — ег !и —, !3.$25. х(!) — -- — (ет — ! — 1еь) +-"':* ! ! И~3 3 2 -':"Гчт + ай ! !и —. $3Л26, х(!)=е' — ! — (!+ !и 2) (ег+!)+(е'-) 1) !и (еь+1)., 1 !ЗЛ27. х(!)- ь(п 1 ! — =асс!3 ~=)) +сов 1!п 4 ( 137)) 2-) з! '; !3.123, х(1) -~ е ' и з!п тат (ьточ интегРал ив выРажаетсв чеРемс влементариые фувкиви). !3.1Ж.
к(!)==-С!+С, ь!п !+С» соз !+1,у($) гз *=С,+Саз1п1-С,соа + — „. 13 !30. к-С,-)-С, ай!+Свой 1, у4»,;., Сз — Сьзк ! — Ст ЕН !+Со !+СО« Ы 1ЗЛ31. «(!) Е', У(!) = — Ф,:.1 13.32. к(1)=!сов!, у(!)=-1Мп !. 13.!33. «(!)=в1п ! — соаг, у(!)--." В(п !+сав 1. 13 134. «(1) = «Ш !+ай 1, у (!) = СО« !+се !. 13 $35. к (!)="".Г !з ! -1- —, у(т) =1 — ет. $3.136. к(!) =.-зтп 1, у(!) = — сов!, г (1)=з!п1."; $3!37. «(()=(1-! ! — з!о! — сов!) — 2»!(1 — —,7!дг — — )-,'=, з!п (1 — +т! (! — и) ( 1 + (! — и) +сов (! п) — ь(п (! — и)).',": 2 !! рй у(1) = (! 1+ «1п! — соз 1) 2»)~! — — 1 — сов 1 — —, +;:Ь + т$(! — и) (1+(! — и) — В!а (! — П) — СОЬ (! — и ). !3. 33.
К (!) мй', — (с)»„! + соз 1 2! — т! (! и) (сЬ (! и) + соз (! — и) — 2) (а) 362 + — т! (1 — 2п) (с!» (! — 2и)+сов (1 — 2я) — 2)„у($): — (с)»1 — соь !)— $ ! '2 1 — т)(! и) (сЬ (! — и) — соь (1 — я))+ — ь)(! — 2п) (сй (! — 2п) — соз (! — 2п)).
2 $3.139. 2«1п1. 13.140. сй2! — «521. 13.41. ее. $3.142. сй!. 2 ГИ вЂ” ») 13.143. — —. 13.144, 1 ° 13.$45. «(т, У)=-Усоь «+ — Г(1+()) Г(и+6) ! +хяпк. $3.140. з(«, у)= — — д! «йа(х — Г)7(051. И.$47. «(к. !)= ад — 4 (1 — к )Г !Х) = Е ма ю (1- -«У»1 С), ! (х, !) =- 1 — у (1 — х )г ! С) =- у Š—. ЕЪ вЂ” «1пм (1 — ху»ЕС), ! > х у»!Х.
° ф Преыюлагая. что и(«, !) и !(х, !) н нх производные как фувю цин переменной 1 являются оригинала»~и, н»бознз ~вя (l (к, р) =,' ='и(к, !), ! (к, р) =~ (к„!), получим операторные уравнения д(7 (х, И д1(к, Р) дк * ' дх — — !.р! (х„р), * — СРП (х„р) с граничными Ею условиямн 4 (ф — — ' (7 (О, р) = (7 (р) = —.
Исклю зя 1(х, р) нь перрь+ыь »Гь(Г (К, р) ного ураняевня и считая р параметром, находим акь = ЕХР«(7 (х, р). Отсюда Ег (х, р) =- т((р) е" !'с' †,'- В (р) в д! ~™ . у~.с Из физических соображений следует, »по прн к- +»о решение (/(к, р) ограничено, а потому прк $»ер > 0 кои)финнеит прн яервом слагаемом долж» оыгь рва~в нулю, т. е. А(р).=0.
Лалее, яз Еы Еы условия Ет(0, р)=- —,' следует, ччо (!(х, Р)= —.е д р'+ ' ! д~.:(, ) .lС Ею дрсск а тогда ! (х, р)= — — — ' ' — =- $г — — е ° При!.р д« = У Е рь+ыт меняя теорему запаздывания, из«одим отсюда искомое решевие. (~ !ЗЛ43. и (, '!)=-Е ~ ~'~ (т) (! — УЕС) — т) (! «)г Е( — т)) ! т(к, !) =- 5/ — -Ее т '(т)(! — «З~ЕС) — 1(! — «$»ЕС-т)). г !.
13.149. !п . $3.150. — ~ !и сь) . ° ИспользоФ" р'+ 7" ! ! 1ч (р+ !) а ' аиы (, Г(0+ц вить решение задачи !3.67. $3.15!. — е-"" $3.152,— '2у' 1' $3 153. 1 — (Уд — )7 а) . 13 154. )г 2п($/ й — Ъ' 6). 13 155. Згй)С г ай 7((у' () — $/ а) ° В ьздзгшом интеграле предварительно положить «ь=и. 13,155.
2, мй Имеем з Ф!«Ь —;А=! Позтомупофоу. ( 1 з' 2' » 14 1 сов х 1+ 21,»з х+Гз 1.1 при — < —; —, е Е 1 1 Г муле (9), 3 ~ — — 1зЬ вЂ” 61 !а а г(1 ',аафг) г -" ! — е 1 2 о 74 с г'))»Ф -- — 'г, Рз ' +2е " / )о --2. ~ 13,137. — и. чззго12 — =-.агс(п 4 ' пз 1 1 .Згп1 1 . з1п1 1 — аго12 —.Ноагс12 — — — ' —,агс12 — ='е 1 —,асс(и~~:;~ ' ) «-) 1' р г ' р+1 1 ' р-1--',,' згп 1 $»ег — (по теореме сгззцевнв).
Следовзтельао, его!2-3 —,. /(1) ~:~ р' г е-т Г е-" е» вЂ” ' — И«1; а=-1. Позтому по формуле (2) 8 ~ ! — е-г г а — е-! Г 1 фе"г 1-) е "г ! И вЂ” з)п 1 г)1 =- — * — з1г 136 Но — — - з1п 1 —.— ' аго1(( — +; 1,, 3 +его(2 — — =-Р (р), Е (О) =- аго(2 (+ в>)+его(2 1-.— — и. Следова. „" р+1 +Ф Г 1+ег 3 ° ельно, по формуле (6) — в1«1г(1.=- — и. )$» $3.$38. 1 $ ' ' ' 2' 2р-) 1 1 1 и — — — — — г— !3.)М. (рв ) 1) (рз..) 2р ).2) в ) 1 рз ).2 3 1 1 е агс12 -, — аго16 — его!2 —; см, регоеине задачи «',' Э«т 1 и «+3' $3.137.
13.160. агс(зх. ° Положить Ф(Г, х) к 1+хе( х и — к 43.16$. агозгпх ° Положи« $6(1, к) = —. $3.162. )г! —, з( 2 (згп к Используем произволпжую фуизии~о г)г(г, к)-.—.— — =. 1 — 21 соз х+гз е-1з$п к $ , 1" заг . И ° г)г( —, х)Ф вЂ” —; — =-'т)(1) = 1 — 2е" г сов х -) е зг р 1(1), з)(1)- 1 при 1~»0.
1!входим по формуле (Ю): Т(х) Ф +Ф » Ф ез1«ко( е-Г г)1 згп к !»»Й-гсоз х+е-зг (е-1. соек)з ) згпз„ О е г — гоз х1+ Ф 1 — соз к — аго12 =- — аго12 ( — с12 х)+зг 66 —, и, таи з!и к 1о згп к азн — етого ( — с12 к) — аго12 (с(2 х) — — к, аго16 и 1 — соз к 2 з!пк п,е и — к ° аг«12 (1$$ — ~ »»-ьа, то Т(х) =- — — х + — »» —. (6 2 2 2 $3, $63.
— )п ~2 ~ сов — ц . м Использовать разложеен — —— ек1 1+1 соз к 2Ц' 1-) 2(гозх+(а $3.$66, — ' — " е '~ з1п $/ — — —.— 1 прн — „> — — -," с--и -',- г Г 1 )7$1 Ез „ Е ' $/ гС М'; .гС . 4).з' 1.' $'С 4(3 и Я Е вЂ” ие 3 г 1 Р» Е--гд з -г а/Ю2 е — е з з)г а — 1 зг.
з~ Е зТ У 4сз и: есз гС 1 Рз при —, < — -,, 13.167. Ег тле ( сез — — У 2)( гу; —; ',У у,— — ";" ')з У )., 4р ') " )., 4$» / Ез 4й" г Х~) —,— -11 срн — ==- —; Ее трс' ' с)~-- У 4(т 1 1 ° / 1 У 4))е 1з 2Р 4)ту 1., з~й,гг, г И. — ( — — ) / $/1 .1 4 ' $/Р+Ж6. Хе + — е гт с)г — — „— — ' 41.СРг Хзй — '-1Д. 13.171. — (ам с +)гзгпон — 1гзсозеи ~ )Г (.х-)- 4Сз ~~ Е 21.В: д' " ' )(з-).сзгз т т Я Е вЂ”.--ге гт; Š—,ье, 13.172. — е (тг — — ~. $ЗП7З. — е ' 21 — Г'— Сй )( 2/ ' ' ! 7е С 4Е г 1 рз зво — — — -1+ — Х АС 4С' + ЕС 4Е! 1-/1 Рз" $(з)пв — у — — -- 1 : 2 У )Е 4/1 7) $ЗЛ74.
—,—— Еа(ЕΠ— Е СОЗ()) Еа(ГŠ— Пебаер) $3. 175. ете улегц соу $+езц ' езе .;„ее гоз ()+пн';;г саго (ее+до),нэ (ге+и) $ $3.17$$. —. $3.$77. — —,— —,— —. $3.$76. (еа-.ам)з '' ' (еа о)э' ' ' ' (еа !)з+ь * егге г. ° г а "т » По свойству З„а). 1ЗЛ79. — — — при гл < Зг -', (,е 1)ать т-1 ЕГм +Ма и — Сг егм гг а пРи гл Ре й. о По двойстаУ З,.б). ( $еьг гг Ь $3ЛВВ.
его!2 . «$9 Применяем формулу яггтегрнропапз(П "., з1п () ее — -соз () змЗл . Р газо()ба ггзобрансепия (свойство 5, б)) л ' 3 е"е — 2ге сод 3+1 Ог еез)п() г(а ге — соз()(м мпЗ вЂ” =- его!2 " = згс16 а (ее — гоз З)е+ з1п' 3 з1л Ь 1» ее--сок ~ — — ). ее — соь ()1» л ее — соз р ззп Р так клк згс$6 — — — -1 =.= —,--згс12 — — — --агс1З . М» '*.
ьМЗ ~е 2 з1пВ ее — сод Зу" 1 1 1 2" з(3-г-( — 11""з) — 1»-з:'ззг) $3.!В$. 1(л) =-.— — $»+ — 2"-) — ( — 2)" = 13.182. У(гг) —:- Мп — соз — и. $3.163. з (л) =-(ЗГ 2)' 'зсоа — — и. ггп л+1, -, Зл4 1 2 4, " 4 ° использогать бормулы для изображения функцяй л" мп Зл и" г' л'г+" о» соз ()гг (пример 3 к задача 1Х17эгзц 13.$64. ( +1Ц *;,:.' !3185. — — — —. (чц:З вЂ” 2» т з1п гг()-92» з(п(л - 1) З) пРЯ и г» 1 5 — -4 соз )) л (ле 1) $3.$66, - — „—.
° Исчкыьжвать г)ормулу умполгееггя ггзобракгсвиЗ.,г 30 1-1 ЗУ 3 13. 1о'гг $ — — $3.$96. — -- — — — . 13.169. х 2 — (5" "" 1 ( — 2)""е). 13.190. х =з1п . $3Л91. х =-~'.,;; 2 2(л+ 1) л У 13.193. х» =-2' — (л-т 1). 13.194. хл — »(х,--2»„— 21 3» ч (1 — хз Зх ) 2»+„':„"-;г 4»=.Сз.3»З СЗ-2 -14 $3„195, х»: (.—.1)" 2гзг3гг, 6,=2(--1)н " '® .-2--3. 13.196. х» ="" "'.2 -1--"Л+-"'3: С,-2 4С,З-„:,, 20» — бх„„, 36,+бхе, „ СВОР Н НК ЗАДАЧ помдтВмдзнкп длд втззов , Соек»ель»не рэ»дели Н»ееяасечыцого внь»кэ» Под редекцйея я.
В. егьимопл. 6. и. кем илбпиая Рсд»»тор и, и Дцыер хуямместаее»мд рея»атер Г. м. кермен» ае»а»чгеккд редактор 6. П. ем»роома Корректор и и Дрим; ем Сднио н набоР 26 06.86. Подл ггсено н печати 02 0466. Форма» 6«х108»32. Кум«ге тдп ЗО 3. Гарн»нура лнгсратурнея„Печать емсо. нел. з'сл. печ .. золг з'сл.
яр.- тт г0,53. уч:кззь лг 25.66. Гиране $30 000 екз. Заказ Дз 4881. Цена 1 руб„ Ордена Трудозого Крзснсго Знак *нн над»тел»стог »Н»ун»» Гла»кан Р.делон» Фнэкко метем»зачес» и лксерыуры Мос;»а 8-"1, Лен»ценно проспект, 15 Ордена Октябрьской Рсзолк цкм н ордене Трудозого Красного Знамен» МНО »Пер»ал Обраэцоеа» гнлогреФн» нменк А А язденоаа»вЂ” СогозполнграФпрома прк Гостдарстег"кнсм комитете СССР по дел»И нэдательс ь, полнграФкн н кнклок и тсргоелн. $13054 Москва, Вггмозцл, тз отпечатано в тнцограФнн нэднтельстда »коммуна»„ г.
Воронеж, пр. Резользцгггг, ЗЗ, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
