А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 28
Текст из файла (страница 28)
а) )т —,;---., ~ г, 6) гр --.;- -, 6г. 11.'6 . Ф вЂ”,-'-;,,-, 1,26 . Ф -;-'-. „йг. 11.263. ч' Х Ма. ж:(г — -~! 11,265. Ф -;-- —,,;-*-- ~г" ~Р й т 0* ' й"? 11,266. ф — -' — -'-,-; Лг. 11.267. ф -'-: — пг том йруте (г —.г,~КЛ,' то айайевве Фуйеаащ в йеятрй йруйа ргййе е(геайейр арйфт~етййеейейр ее' айайеййй йа: ей(.'тжйейгтй„т. е. / (ггу ..
—, 1 )(г,. °;*- Ра' )т:6 = —.= — *- ф 7(й) Дг й~-:...=й ~ де г(~ — ге В, г) г ре й й й ад дт ~ й, 11.273+. 1)твеегйе„йте еейй /(г):т" гойе- -гйглйтййеекая В ~х Айат Р (т и Вейре(~ыййгя й гзйкйт тей млаег й гг=:. гг(16 ф(йкийй тО Рай ~ ~ (г) ~ Зестй1ае*:ей тсйьке БЯ 1 )гйййе ~ ~!ла*'ей (й(~йй3яй яайсйу)ыа ыедтай), Дейяга~ й, й йт еейй, йрайе тете, тг е гг) (г) -, — ~.', .те й ~л~а ',,* (г) ~ йх: йгаией тайгйе ла г()ййййе.
11.274. И~ай.льтуя фар~,:угу (б) йгй')'(г), гокааать;.е .- рейр Лйрййлйй! еейй ) (г) — айаййтййесеай й Ятрайййеййай йе егтей ййееййетй (г) ф, ййййй, те,'(г) ==.:,еег~.:1. 11.269. '~.' — --,.' --;-, - дг. 1!.270, .: --,, те--т-,:г. 11.271. р' —,-,; — „—,6". : 4=-~п' 41.272. Дй~~гтате тейрет6 О «рг:;:айй: еелй !Ятей;.йй ) (г)-: аййлй!йййа В йррее )г — -г,,е г 1, й йг*йре)лгайа а тайййр 190 Гл.ввй 12 ЮДЫ И ИХ ПРИИЕНЕНИЕ ф Е Числовые ряды х. Ск»»х»»ность ряда. Критерий Кои»н. Выражи»33»с и,+И,- ...; И.»+... — Н„»3333 (1) тле (иа) р(""333* аннаЯ числоеаи .»е»»савв»»тес»ь»»ая вли ко:исексииЯ »СР("" ' . 3»ОСЛС3(еаатнт»и»3 »Ч»и »жЗЫаастеа»ижмм в Ли)3:33. 1(ииечят сх 3»33» 53 - и», 5»»-.
333.). '.*,, 5», а- и» Хр ие .3 .. -1 3 „, ° .. (2) казыижотсв»3»ж»3333 ° 33, ви »рил, ....: и иа; '.3. Кслн уи»иста»с» к»вечюхй »*ре„е» »юслсзоаатс;ьио»лн ас;н ю»х с) м» (2) 5.— яю 3„..3 рях 31' иа» нисв.в ю3ди»них ги, и число 5 сфльчх 3»х'3О 33) К 13 Итс р И й К 03»и. 33,и ижс и и»лн й» »еагя »%3 (1) бм» 33(если лаю 33'=-33) (»1 то».ос, »ж, с3ж м»х и > 33»' и и =-.1„, ...
Ям- 1)еобх».3(н3 ый ».ри»из» 3»озимое»н Если рид (1) сход»виси, л»О »и» 3.," б. 33 ример 1. 1)о»»азат»„".: рял» вЂ” — — — -схо. втгв и иайтя „ и;и 11) 3»ГО СУММУ. ° (В Так как лрооь —,— ирелстж»на в внле 1 1 х (,»и- 1) .3 х-1-1 то частвчкую сумму ряда можно зависать слелукж»нм образом: 1 3, 1, 1 5и- — +г-+ — + -.+ — — -)- — — — = 1 2 2.3 3 4 ' ' (и--1) и и (»3+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ' 2 3 3 4 '" и — 1 л+и и+1 л+1'.»)3 С»»едойательт»О» ' ' и 33-ам и 3, и+1 у т е.
заданный рвя СХОж»ТСЯ В ЕГО СТММа ранка 1 1» И ример 2. Иссле»зевать ка схоз»3»33»сть рял ~~~ ди в а сау иве и — О схолвмоств найти его сух»му. ~( Имеем 5и==)+4+3)х+ .. -3 О"-3. ГСЛН О=1, тО 5и=-.л„т. Е. МЮ 5и.--.»О, К, СЛЕЛОВжЕЛЬНО, рва ри;- :олвтсв. 1)усть теверь д ф 1, тогда .,и ),и 3, ж ж»гм г,а:-ге»3', тогда ди.=.г'3 "»чв. 31233 о 3 < 1 3»нм.м 13»в да= '»и» гиене .—.б. с. Кж - — »:=-б, 3»тку»нч Кж 5и = —.— ' .. Колк же г > 1, то 4': а. - 1 — 4»3» 1ув Ги »с н. ОлелОиатсль»3 ', хо"»ес»'3 О и)»с,чла у»г — --, а '»яачи», -..
„1 — д' 3 орелсла иослезоаатсльисстн »асти»аьж сумм не существует, Иакова»3, И» И Г вЂ” 1 и 3»ж30 (той 2и» чреяел 1йи е'ие =- 1»гя ( оа лр -,'-3 згя 33»р) Ю » 'а "ггму н ире»ел Кги 5„Х33 жжже ие су»исствует. и Т,3,нм образом, ряз ~ д»3, член:3 кото>ч»о составл»иот бссюжеч- 3 . »сом»три кскую йро».*, ессюо с 3:срами ч»еиюм 1 к жжмеаателем О, 'х»:33 .и и)»н )3)3 а,' 1 33 е»О с)3»м» )июиа —,- 3 рисхолнгс»» й)л» 3 — - 3) ф» 3(и н.»»е р 3. »хоказатеч»но гарною»»еск: и р:л 1 1 1 в 1*--+ +. + -+ = —,д 2,» т тся, хотя юо члены ст(к 'ятся к нт л», 3»р»» и »м, ~ 1'х.смотрим разность чжтн»н»;х сумм с »к»ирами 2Л и и. Ихнем 5" — 5.=-- — -+ — +.
+ —,. и-3- Г и+2 ' " 2и '»а'ж яя каждое сяаГЯЕМОЕ мевьюей »хх»33 ИВОЙ 1,2л, ис»Л(чае»3 2и ' 2л '"" 2Л 2л 2 7 Зюхр л. Л. В, Ефима»а, а. И. Дан»ловича иерааенстао озиаиаат, ~то ори р —.я аяя гарноннсеското ркка не амаоанясмся рн~~рнй Колин н, сац~таат~аыь рсд ржх~лнтсн. !)и 1)одевать, гго слсдукх дсе ряды сходятся, н Найти кх СУМЬ1Ы: . 12.1.',),—,—,—,-,—,' -,,—,—,-„,- . Ю,~.
„',-„-,— '-„. я ! ~=а ос:-* 1 12,3. У вЂ” — — --- — — —, 12.4. (йи--((12я-1.'11' ' ' „и(сР— 1) ' 12.5". ~~„'й —:„- 12.6. е !дснотьзуя крнтеркЙ КОН1н нля Необходимый нрккнак сходныоста ряда, усгаковнть расходнмость следу1оьткх )тядОв". дслн рих (1) схолнтси, а рнл (о1 расходится, то рил (1) иаамнаетси и"лоаяд слсдяи(смюя. (Тризнах сраанснни радое. Дсли слани рясат (() для ,,Х Я Ь Да (АС . 1) Рдиаяаию~рнмт СЛ:Лсаим (иа(<:аа, Ярииаи Рлд Х Ья слс()истая„ию ряд (1) снФи.*яся обяолатиии Если ясл для я > Ма ий ряда 11) рдиллсяысряати~ (ялолию О < с„, 1и„), яличсй ияд ~ Сс Лслсхссли~ия, ти Рлд (31 Ли ходисиса, т.
с, Рлд (1) ил схсх)нсасл 1 Г р к и е р 4. Зная, ато ряд ~ - — —;-, схоянтса 1сч ..ромер 1). я (я лс 1' и - 1 Ю асанте схойисакть ряса и:. ~ 12.7. ~'„,, 12.8, .=1я * !2.1). Х (--(): 12,16. и с , рся 12,1 . Доксазат1Ь что если (лены сходясцсгося рядн )'мкОгкнть на Одно и то жс: кисло, то е1О схОднмость не 11 ар 21тнс*«я. 12.!4. Докаакть, что сслн ряссы,~~ с~а 11 Х с„схоа! дятся к н1'. суммы сося верст векаго и и о, то сходятся к Ряд Х (и..
1:.,), .' Гк'сея его сумма равна а.-(.е. Г(рнвестк н(актер, когда Ой(гнтлое ттверткдсняе не 31а1еет места. *1( !2.15. Доки ~ать„ято Отбрас11вак;1е конесо1огсл якслв и сснОН рида кс елккет на схо;(нмость згого рядз (нО и ~И11С.Т на Суямт".)- Е. Абсслю~нан н услоннаи схохнмость. Признаки абмтютной схо- яИМОСТН, рна (1) ВатиаиятСя Сбгияитяи СЛЫийияСя. ССЛИ 'Сасяиаии рид кз мо,сриси асмноа асиго Гаса, т.е схосолся ряд 1йт1-К1ил)+,.
-,'. и„1+ „.. — ,'а ) й, ). (3) 1 ' л,(с.'; 1)т' а -. с ' янтыеая нсранюютаа 1 и(я ' 1;. : аллахи сраансааа тбсмтасиса а схолаиолан Гк!а ~й, . фг 1'а исактнае Глюсс йртсханнюлн оаааняастся ссеяуя .,нй 11рааельн ан орионах срааасниа. Если ляд ~ ил 1 ибтй иитляа и с(Л;Кстслрст исилеамд ир * )сл Дт сс, ию ряд (1) сяоалсг стюдйтс» абсолютна. Если мс юмам и с, — сви1сямитс инм' яоюжиигаюййс аисяи и О < дт —.Т1 <+ ж, иа и ~ и,, либс яка схсдюи;я.
л ГЬ або расходятся. "Х 11 р а с с р и. Исслехоаясь аа схоанакю',с, рял Е ''''..."'. (е) и=1 яф Так кан 2и+2 1 2 ри' — 2и г: ' «ф Тан нан ряд ~ — сяамтся (см, ирнмер 4) в так как 2 „в 2ив — 2 уи+дхи та рад (4) 'евктко сходится. )~ Прнмср б. 1)сслсвовать ка схсакмость рвд ЬР--2и. а гярмоакяеский ияд в — сисхгнится )св,; рииср 3), и к рят (д) ржходтися ()и тиргцсггикрсги 1 иигьиьй игь"ал 1)ривар 7.
1)г~ислитить иа:тиьии,;сгь рьд '(явися об;вити рсс и) сы =вт вв ()РК ЯВК Д ИИ 1)агит И)И Г2)ив; --И и „' хгиигигв, о иии 1:-1 иикяи гися с)оиолгигии: ивин иоигяьвоииг. ( и-,--(,1 ,-и 12 Слеаоаатсхьтго, даиаый ряд сходится. (~ Ярк асиохивоааквя гровс ока Коигг бггвааг вольска . ~ ~)~оксан ф0фхгфви Г,ииг хийаи; рг 2ии(,'и ) .стар р х (), 1, 11; яка р р. 2)сследооать ии с;одияосг~ рад ~ ))игх"и: и-, гй' (и Г )ял сходится )р 11 *" т с .' 1' и х и и ы к и р и 3 и и к 1( с и~ и П)гиии Сивик иии ) )х) '«'-ии.. ~гисхьио и хило;ио ~ии ори х -.-.
1. и ги..ии длх а:ех и ).-гя иаг"и виггио рсва~гиии )(и) ..., '„,:. тогг)и чигиггос вял га) гсю3атгк :Г~ Г. Ряд Г)) схМьика о))гйвигт и) ихи р .хиаипкя и-'сиигхииио с ггоьси1~ и иь и йьгигит.охов ) (х) хх, а:=.- 1. 1! Р и в с и 11' ))и!Иги.'оси И)'и ьккия Зка'Ьв~вкя Га) вистки и си вт: я гид 2о оих„к и..~ квк ф)иьиив ):"х):= — — тд е,ктаикист ссхоаияо иии вввиьтв иркаивкв йоиии то всогг,к гв;ис си одиисогв ря:а Двркхла с'и :и сг к иссисдоги,икк; схоиоьккти ки:ю, вла ) —; .
12* „"Р г)х 11'и хг )1ги )иЬ вЂ”.+ со 1 '.."12-в 11~ 1 — и 1 — Г 1'и; )р 1 ('1' — 1)ри "г р — 1 г'свита я,:клк,ак, ис ряд дврихла сводится ори св ря И -.", 1„ 12.16. Доказать, что Всякий абсолготно сходяптг1йся ряд является радон сходяп)ямсгь 12.17. Х)оказать, гго чнеаь1 СЯОДпзигтоея рапа Иожио группироаагь, пе исияя их пОрядяа, произасльиьпг Образоьь 12.16.
) соиазать, 'по члекьг абсолютно сходгяпс1 Вся ряда гяотяпо псргстааля'гь произаольпьФг Образом; прп зтозпсухьяя ряда пе кзънпится. Используя прпз1гяк сравиеяия илп предсльпый признан сраапсипп, после,:;спать иа сходимость с. едуиадие ряды." 12,19. ~', -.; — —;; . 12.20. 12.21.
д = —,†.. 12.22. Р я|Я+!) )я .'-2) !2.23. ~„з)п -"'-, !2.24. 12.25. д и" ))С" -"', !2,26. ~ ~', и' ягс!6-). и= !2,27. У вЂ”,.' . 12.28. Е е ™, 12,20. ~; -,-„-'-'" —;,,—,. !2.30. ~ '"-' — '-',-"-'" Р ". а.=. 3 Иользрясь прилипали )халаябс)за, усслсдюяэть па сходя ность следукяппг рпдг и 12.31. ~ —,,'— '. 12.32.
~, .-: ! ;=1 3, ъ".а, 3 5 ... (2Я вЂ” ,"- )) ) г)А ''* ) 4 ... ~м — 2) 12.34. )', —,—;, . 12.3 . ч= 1 ~З~~~ г"'-'г . ~Х~ ь З-5 ... (2Я вЂ” )) и! ' ', 2З )г) — )) ) ~! -' 12.33. ~ "— '",',,-'-"'-, !2.30. ~, — „„";-„. а:- 1 п=1 !Вя Используя признак йо~пи, ясспе; сл"д)зогдие рядыг ) 2,-,—.,:, . 12.41. ~ ) 1-;- — ) '.
12А4, „! и;; — —.) . 12.45. ~~' и) агс ':и — ) . — 2,,;г)', пь -')зд 12.47. ~ ~ —,,— '.'--'-; —,- ) . 12,43. Используя. Впгеграхьпь16 призяаи );оюв, исследоьать ЬЗ СХОД)нпя ~ Ь СЛЕДМОГП1К' ОЙДЬС 12АУ. ~ — —,;--, 12.50. 1;.,О1, ~ —,-'--, !2.52. ~Ч.' -----'--,— —., (=.2 Исследоаять иа сходимость рядьп 12 53. ~ ~ ---'-'.,= ', . 12.54. ~ — '.— )и — ''-' — .
л 12.55. ~ —.— ',„..'12.56. 12.57. ~', ) — -" — ) .— )!2.56. )о)) )оз ... 0)) ).зь), и=г Л' * и= 12.66 '~ ~)л —;," )л'(з т' —,, )) ° 12.67. ~ -- — . 12.68. ~ зли —.. л. 1 и -. 1 72.69, ~ ))) ( 1-1--')! 12.70. и:-.
! 12.71. ~-::-'-' —,," . 1272'. ',)',-'"',—. 12.7л. ' .';..;,',;; '-„- 6... + „':,' - -'--;;-- —., +, . з.з'', "*"'*' . " ') "'::-'":."') З7)46))~~~%,;;::-::и 12.88, Исси)сковать ла сходлмссть рвл ), с„з и"()ли) (Ь)ли)~ лрв равд)в)лмк дебствлтсзлглми зкаиелвик р д л 12.89. Убедлтьсв в том.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
