А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В цтагарговой г1рвмо) гольной системе коо)к)инат. 10.165. В цилиндрической системе коо(тдииат. 10.166, В сгрернцсской систсье коор:-(инат. р. днфференцнааанаге ннерацнн неатврногв анна»за н «рттнолввейвьта ноораннатак. рказаввые оверацвн овредеааиггсв слег)чоцгвмв фар ы» ха ыуг 1 ди 1 ди 1 ди 1(гю1и= — - --Еа,+ — — . Е,,+ — — Ерв 1.', дуг "' 17, дг~г с' Г~ дда дога .— —, —:(1 ага,) '.. (1.~)-га,)+- — ()г(гиь)~1 1,аг1ь')ду, а' 'дтг Ггагсь а о,,еи. -1 иу,е,„+ос,е „), го1а== — — — 1 - ((гиг.) — — (ймтс„) )е, -) — — — ~ — (1ти ) ь,1.а ( дуг ' "' дуг ' "' г "' (.т(.а 1(йуа ои =: р'и— 1,' д 71,ьгдиь д г(.,1г ди~ . д уьг!.агу г,г.г1г ~дог ( 1: д)т /:11 ( !, гтуг 2 дуг ( 1.г ым / Длв цалквррнческнк координат г,, й и г найти аыравги1на: 10.!67.' йгас(и.
10.166. Лгы 10.169. с(В а. 10.170. ггйа. Дли сфери 1сккнк хггордииат г, О„г( найти вгггагксвввг 10.17!. 6гас)и. !0.172. Еи. 10.173. д1 а. 10.17Я, го(а. П1 в и е р 1, 11еиеатк к ивгвварвчегккм кооравва~ам в аырах( .:;.г'-- гй ысиив вгивав оы, .:с в и- — — =='=.—..'-..=== к вгй3и оо а в ж1а. угхг 1 ут —, г' и! тан кгк в дыв ом глтиьс хй) у(=- г, го гег еа Ё'-'- ' По формулам, вслучеввым врн реимвкв задач 10.1Ыг к ГО 120.
ва годви: г' тг (ги,) ггоч, ди '2г1гг ' гг) . " (га: гг) — гг К 2 г (гэ ! гнг г 1гт; га)г г / (гг„) гг)г/а 1 (г)(гич) диг т 2гг е 10.175. Вмвгстн ггормул1.к д 11., 1.г) 1 а) Ого до — -„---- ----' — —; 5) ттт(Е,,= — — )6таг)1ч, Е,,!. 1.;),Хг "ду,', 155 $0.$76. Ис11олтхауи фо(хмулы, выведеивые 11ри,региеитгтт аадаик $6.$70, Иахйтк 01ЕИ й ГО(ст ЛЛИ Едкикхвчых КО11рдвиатиык векторов цилиидрги1еско(1 системь1 коо( дииат: а) а — в„; б) а — е, в'1 и=-е,. $0.$77. Ревитчь аадкчх, аиа. Огичиуио $0.$7б, дли сферической светски, 1икр:пиат: а) а---е,; б) а==го: в) а — ах..
$0.$70. Найти все гармоиачесиие функции вида. а) 1 —...)(г) 6) и — )(и), в) и — )(г) (г, ~ч У--цил1и1дрическгге коордицаты). $$.$70. Найтв все гармоиикеские фуикции вида: а) и-=)(Г'); б) и —.1" (0); а) и — )(р) (г, О, ~" сфери'-дхские кООрдииаты! $м.$вЭ. Перейги к сферичежии коорд1иа "аи в аыраже- 2: ь(гх — х' — еа) зии гхаляриого 1.'Оля и = — —; — — -','1 Ба(1 ги ь, д ьг( и и 7хи. $0.$$$. Перейти к цилиидрих1сскквг коордииаи и в вь1. ахге 1 х' --Их1 Раже"ИИ СиаЛИРИ""' ИОЛ" "'" ' л=.- —.- $ хе1гтт ига ~.и и рхи.
$0.$$2. Перейти к сферическим коордииа;ям а выраже- 11ИИ ВЕКГОРИО1О ПОЛЯ Гт-:- — ==-:=::----== и Иайтв И, аг тт хх' "уг )гхх —, ,-,—:.,—, $0.$$3. Пср, И1И К цкдккдиих1ССеккг КОГр.о:1а атг В ИЫ- ражеии:1 ~т11ор тг, иолг а - - лг$ х:,.у;:)' .'-.'; 01х)т и иайти й, 1)жа и и (и. готсв кьтговьм Цвлг|кдаи, осв к,* ходым сотсввьв1ог с осьгх волк.
Зтк: коля квсмллкл "гзкже иихкиохткхегх1скгг "Если фуикивк 1ь(хе) сквляаь;О л,ля о1:кяикесг .. як в и же вкв 'еь., я в с о-.'еихвттожг х тачках всех: олхгь ес той„г'1х* .д ж» Ф) вкквх, и.=! (Р) и." ко в ггв' сг '* чье ~ ,'хг гхгкгь л! ч в игле ь-г:г К'; (в сдеря егккх к: о. г вовтех), лиоп в ж лг (в вилик Гь е*. кь", кждьз ч:тьх) 3 е меч - к ив Гая,,ь. ь и вегг1.злж "...-".: Пх и осесамыстххк. жкьх оьмй оар..*лот вех: ь1ые о:,гя хого и. хвиякгсйв.
е1ивять- яье, и:ь:.е в:: я~ил:мст, :ия,с11ь, $(акта ГрадИЕИ1Ь Ь Лаох: СИВИЫ Слсдуквдик ООЛЕй: $0. $04. ь ==- ) (г), г =. )~хх -;. у' (. ах. $0.$05. И:. )(Гхг, Г:. )г ХЛГ 111. $0,ТНО. и;:., Р (г, О) (г Π— г.)гери 1схекис коордииаты). $0.$Ь7. и = - Е(г, г) (г, г -- цилиидричегкие коордиимы), а, цеятрелы ме, ос:выс в ог сими т, ические скалярные возя. л и - и (г) . х1! х:,, '-(. г" .
и,"хры с кгво, и в и: ь; е и,;и и и:":, *,: хтк ь,и «:: то к;з,(~ают Сх хи* л е гг:,жил"я ".:"мм, млв:.',ьгичя г ля ь 1Р) вв. : р1 1!'хт: гГхь Грв якелея:ввяви текил вива иелж:ОО1вхко гкьтьлоьвться ггиливдркчсгьихги жжрг кит:вмк, Поьерхяостиыв .вовик тяккх вовек явля- Глава !$ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕ Ей(ЕННОЙ 9 !. Элементарные функции 1, Пвняткг фм«КН«сн ОМЛЛСКСВОа ягрСМСНКОа Миож«т тав »ОВСК г' рнсигнрсьн«и» ком«»оскс«ма ялик.лл (т). с (! («о) каз: в»кося стасо!мм, вс;ж л«оаь«е лвс ого токкк можа* гог«!нт«!»»ь кскрврмвкое ьрявон, все тонн«»«кото» «а гран»уложат амок!м) множеству.
Связ»»ос ''к)я «тсв ма «а»' 'пк: то «ск к««м! лсьг«мй олоско та !«а «валятся опля«лта«о .б««н:«ж «гя огсз «.. П н ь г!, Г««)тлс»«* П;«азова«-мв л)««ос««лз. - а сслн о: граннка ««!«««васса»т«явном «!««««жсгп«гь«в яротквяом т)я««««к»ость П ва!»«ас«т д л а«„л»ал«ял«, 5;ло -.:«-.. Го к.м««мкгк««му к»«««лт! а, т!)»«««л. южан«му облжтк П, к става»«к с с" пк-««ня. н«ьо««р с ксмллгкс«мс вксло и. Г« «ов«р«ь пг в слл!ст; П огра:.,кяа конг, гкм»ж фсвк»«яя и,'(т). Пуль г:- х+»у я и-,«и ь«а. '» огда фткккая и - «(г«мсжст бить орса тавлсл«! )«сь«!«»«т«,кт зь)х г«т)с«акт»с»«.««ь.т ф аким«и .
«, »х, д и т' — с (х. у) же тантал«нмт ! арст«скж»х х ' " )'(х,'! «.,( ь ..я»х.:„' ! Г «х ат. --)«1«;с» » ьк как ««! =-- $гхт ° уа в Пот - у, «лолт. ъм л«» амяс»во $ х'+у« — у с' ! $Гхт ),т -. )Ь восле'о«ого н! р ыснства слсзуст, «то а > — ) потно..а оас ьаст«! нс)м «с««ст»«з в ь«в:«лрзт, вах::км хт ).!»т .; )-) 2у-,': ут Пт«ловатоа«»«с, «ик«««гяя .фл»ь««о«К«лклгктгя яс)!«клс «вм у « вЂ” (хв —.)), т, с. орслставллс с«яоа,«та р«снос м» ."к. с;- .. и «ск, г)о«!«к «с«««! х гр«««! к к"и «!.:)«,Л .
и у — - (.в--)! «««ы«г) «ьл««««««! кку П(п, «2«$)» ') ! к м с р Х )»аута,тлг;ва,тлвяум магм)«! кета фукКика к«:р 2. ! т»)$ П! лзь л =:х.! «««мхо»ям ) (т! - н ! с ««)+» «х, а)» («т ««)« — (х- »о) .— «(х« -увк 2«'гу) (с "ш) -. х()» 2у) .. » «хх - ув х у)Г )(с) (х) .-а (х, у) =- — х() +2и)„ )ж)Г(т) =-»»х, у) =-ха — ув-(. у, $я Гу»писать области, евпаипые скелую»»(»»ми соотиоию пнями, и )Гст»»»«с«вк» ь, яг»г»г«Г»тт ст» ли о»п» одисгсв яаы ю: . ! $.1. ) г - г„' .. )(. 11.2. ) < ( г — » ( .
2. $!.3, 2 < (г — »", <.) оо. 11.4. 6 < $»е(2»г) < 1, 11.5. «» г — гв)» 2 «т'. ! ! .6, О» ( г -»- » ( < 2. $1.7. )»Г»(»г) !. $1.8. Ке — >--. а 4 ' Укааать па коти лекс»кл» плоское»т» мпожества точек, удовл»е»г»»трг»«з»п»»х укавакпым соотиогпеииямс !!.9*. $го хпс. -- П«. 11,$0. )г — г(+(г; »(< 4. $!.11. Рс= --",-'-==.О, 11.12. ( - 5',— )г . 5» <,б. $$.$3. агц--=2 =--() 1!.14в. агй — -'с-:-й, Эн»и«са» ь с ГГ«зт»««гпь»«т»и:)тавеис: и слелу»»т»)«(»»с с,тк(тытью ;:-": мг»»«»«сестт«а го»ек к«мптлексиой»»лстскгктт»: ! 1.15. Пс рвы и кпа ирьит.
$1.$6. Левин ж«л) плоское»ь. .$1.17. Г)оз»ска, гостом«гак пз те!чек, отстг««игах и. Мпи- -:;:=.,',"::,";мой оск иа ра«стоягп»е, мепьп»ее т(их. .!.,я, $1,16. Виугрспиость влл!«и а с фо»«усах»»» в Гс««»как :л!::,';::;,',$+»', 3 2»' и йолы» ок ! и. )т«с»»о, равкои 3. $1,19. Внутрен»к ст! ) Гла с всрюьоюй и точке г, расс- ";:"'.-':,', пора п«4, сиииетри»кого «Гтт»ос»»тел»»««т л' чт, параллель,:",::;:,ного»толож» тальков „пимой»»ол»утк)т». Длп следуюп(их»(у»»ктг»»)» пайп» пейстянтелькук«и .тй).*'!':*,.,*'~:,.".!))(н)та(ую и ар т и ." -.;:" '.:, $$.20. ) (г) —.
»г ь 2г'. 11.21, )(г):=-2»' г ь»г'. 11,22.," (г) =- 11.23. ) (г) =.--+ —, » т!,т-'.;::" ' ' ~(г ' ' ' ) " 11.25. )(г)=- — -"— —.:— у',;:,! ~«;.': ОГ»РЕЛСЛПГГЬ СР) И«И»«Ю И!--) (г) ГО КЗ»»естИЫИ Дсйетви р««р=:." Мльиой к мнимой част»»м.: 1$,26. и(х. у)! у=-к - и, о(к, у)---к — д ,~~«а:,':,",.'!"л$26сл»»г..х-»-»у н г ..х — »у, ю х-- —, (»» з) я у —: — -- (х — ), )59 ), Тогда 1+1— п(х р): -рп=---( + ) — — ( 2 ' 2 1+ ! — 1- О(2, и) -: 2 — у-.— (2 и-г)+ — „(2--2)— 2' ' "" 2 ) Слейовательнс», — !- «(2) — и (х, 1»~+»о(е у)».
— — 2 .- — — ' г+ — —; — »г ' — — Сг.= 2 2 " ' 2 2 — 1 1.', «1 1 ! ° — ( "— — + — 1 2»-! --; — + — 1 ) 2 — "(1+112. 2 2 „' ', 2 2 Таким »оразом. «(2) — (1+1) 2 Рассмотрепный в зюжче метоа гс»заолягт в обиюм случае полу»ить лля функции комплекспой перемеинои выражение, зааисяюсс от 2 и 2. ф» $1.27. и(х, у)=.-х' — ут — 2у — 1, п(х, у) — — 2ху-1 2х 2'-1 ут ' 1 ха+уз--1 $$.26. И(х, у)==х — ' — ',, с(х, у) у- — — — '-„--.
зт» ра ' ' хан рр 1 1 1$.29. и (х, у) = —, п(х, у) = —. Х Ф)икцпя ю - «(г) пазыпас ся одипп»стило»1 а области П, есгп любым разли п»ЫМ зп»чеипам г, М гт, взятым на Области»». ссетвст. стиуют раз тн »пыс з»и. ения фупкцнн «(Х)»е «(гкй НИ11ти области олнолцстпостн слей уто1цпх Функций 11.30. «(г) = — г". ° $ Пусть г,--р,ес"" н гз: — »рхс1К', Пайлем условно, прн котором 2,.— г,„хозя г,;с г, Имее»1 р»гст ' рес'1', Отседа закп1очаем, что р:.=-рз„а 2»рз -..2».»-О2яп (й...
О, 1). Т:к как 2, ~ гм то »рз -»рт+п„ Таким Образе»м, »ю»асти 0,1иолнстиос1И функции ьт.=2 1ю "Юлжиа солерзкать В11утри себя точек мо.,узи которых соплацают, а аргумент~ отлипни»»ся и»1 п, т е областью огиолисгиости яв;»ястся любая полуплоскость, изпр»»ыер йе2 ' О или )п» г > О. йм $$.31. «(г) — -г", п~(ф 1$.32. «(2)=оп'. $$.33. «(2)=-гмз.
1$.34, «(г)=2-1 —. 2 Гсометрически залазиую иа Гз функцио «(г) можно рассматривать как отображение »бтастн Х~ п.ескостн (г) на неноторое и~ожество 6 плоскости (ю) я»юя10»цееся сож»купиостыо зиа'юиий «(2), соответст аую»цпх цоем г ц П. П р В и е р 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
