А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 18
Текст из файла (страница 18)
9.5!9. х'ук — 29 О, у(1) — 2у'(1)=0, у(2)=-4,5, ф, 2), и=5. 9.520. Используя подпрограмму решения линейной системы алгебраических уравнений, получен(сук) в задаче 3.255, составить на фортране программу решения одной нз задач 9.514 †.519, Глаза 10 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛН8 9 1 Скалярные н векторные ноля Градиент (. Геонетркйсскне хврьктернст»ски скилйрс»их к векторкмх волей. )'»с.си (' -область в 33)ссистр»3333"ГЗС- лети, трет «.»и «икерский.
Гс ; рис 3, в од» исп3») ви,ики жайитссм лс.и. сели в а лллвил «гиии 4»имсйитО3' и и (Я) . и (»', 3,,...,»Л)--и (Г„йлвьвюйяй 333»соси»и:юли (и —. рели»т-вск3о( Лоиий р(33, л»., х ',;, Еслв 'и; ' 3'и 'инки ) С а ло тивлс'«я сс».т»мс' »вис кекс'»р а () ):а (Г), 'сл со«3 ий»т *»то е '»С»ссти а вите»!с с»кслор»сст каис с«3(»сдслксисс' вскшмкй фтссик»»с»3 и(р)--и(л, »О ., »К)-.:и!Г) Дгсстсй«3«и33 мокс" »тить:квак !'Лс' 'ксс('ист3»к-'3й«33«3»вс'!'Лк юлей исая»оки люк л сзо ий и(л, 33)=-.С в Гретри»к 3ис лес» йтие( елйй, оо т»3»й»33»л»3 илсйии, илй . »ссс»и»»си»3 333(3»ил»»сит 3»оиср»- с»3л»си а (», рл т) -.'.С в 33гос", г«3»с»ос.
»рсх ив»и рс иий 33 с»3«стл»33 33 лс остсс йсс»лт й (х», . °, Я,с-'-' а а лрост(кис Г»с и (3 ки»ссрсйии Г.',', стсй'! 33и»3 ГСО»е римсии» я»и) »тки 33«сс«»соси сс к»с) 3 и» 33О и а ки» як»3ся Ос«333р«33С лсии»3 и иск»и(«3ис' 33'»акс лс лйл'Ол лй ксс! 3»лзьсвссетс»3 .:333 3'И„КИС»3»ИЛЬЛСИ К КС»о)ОК С СЮКМ"33 'и "ФС ИИССС ИЛ»)»ИЛЛС!3 ИС СО- сикс:с'в и»33»ссо ей сехшри; оля Ве кто(»333с лилии ллк мкт3»р:ли и-:.33,(.;.33,/ Рс»«А олро елмос'я октеиоя »сйс)с)ирс»33»ни»си»333х си, мк«вй 30 Ис, 3.'Е а, Рх 33. а„(3., ьт Т) а,(и., и, 3) (Я3и;оси 3»О ллк слс.,ки» и ийх»3»с)ммт л»3юй).
8еиии»3иои тлс»зли«а 33«33«33«сс»33 ."Оеср»йи и. »крл«333»ессви»3 »Ситор«33ий лйилиий, с)ю»от«3«3;,33, и»н 3 л иии лсмиирс й лс жмиюй и »юсс»вики) сой кшл3од, :,. < В.Ос»юсиа (:.:и . ««. ) с л.: А-».»Ь» . Сор (3 л ий. ()Сср»Е)сод»»Ли Гнд ЛИПЛИ Или ПОЛСРХИОС»тй (Гноорпои пе(»хи(маей) урозив слсс()'К»33(3»х с»сатсссрьсьсх 3353»се(сс !О,!. и==ух+ х 16.2. и-.-;ху. 10.3. и - у)х, 10.4, и -- х ' у ! г. !6.Ь, и=-,":) уе — Л". !6.8. и =--ХЯ ) Ол-- г.
!0.7. и — »., 3 хе ( хе+»хи. !0.8, и -- х( ( х.'„',-( л» ) х,'. Иссйт(с иоктоРиые хироси с»свит)соси)сх ноле»'.: 10,9. а.-у! — -х). !6.!6. а — -- хт. »еу. 16.11. а:.:- »с! +,у. !6.12. а=к г х1 т у~ 3 Гу. !6.13. а= -(х, с) (с постоягиыи виктор), ° 41 Г))ст! С.==азий()(-рсрз, Тот!!а )г/ й' а--: (г. С) ) х д з~ =- (а! — )4з) 1+(аз--сх) /+(ах . аа) а )оа 4 Д Ч Гя ! ': 44е з'Узь!Вяяя Оскторяых ляяяй ВОляа яиегл' следу" )йайхрчя*рс4ЙУ44Я44ья!Зе з р4з, го!Йяй ья.!. ди 4з.= сх ах — ар умньча4ая ьослятель я 4Й:Вмягаель Оьрвоя ягоаь яз х.
Укор ой--яз а я т!'мыл яз з, Йзхо!я!ь.' х.'Ух а д» 4 дх с!у — Ухз ь*.ут --г.т4, аз:з — ира ' йклтзмаая кочке!4!44 Я Укяочьзуя саойслм грыя4рюо4, окса:ытсльяо ВЬ Ж~ 4)х хох, ° раи-! з я сдр-14Х '"аз — сх йх 44р ! ЛСЯОВЗ сзьяо, ОтскяУЛ м з) .ЗЬЯ, что Х* -,. я~ !.Хт' -.С4, А!44!4!4 ГКЧЯО, ! Я ОЬК я' Узя чкслвтмть я эязйеязтьл! 4мряой г!Г!*бя яа а, Вто!.Оя ьз О, тре'ь ' з ; г ! т е ььй У!з г в сьлзо,мзч яся4лг44444ь язх4мям 4х айи ь4з о дх+! 44я +~: дх су -Ь аз — сх йх=- ая О (ЛУЕЛСЯЗТЕЛ!.ЯО, О!!Я )-Ой!'-) С4!.
Уй ах+за-! сх=- с В Тз ., За! Зсзом, урьзяс44Й44 во!ОТ рямч лкоьй яимот яяк Так!о., 4 !раззок, ь ..с хь+и'+з' -.с", (е!.ВО!, и.-! 444!)К..г: Г-', Вгкторяья! лняяя Воля а Й)ж,4стззляют собой Окрчж4яч.тя, яят!Я4О. 10.14. а .- -„: + — 4;„. а 10.15. а= (р-- я)з' -. 'Уя — х) )-!) (х- — у)й.
10,16. а=-х,е, ' хзез-) -!,е,. !!В 10.17, Наити вектслткук! Лииикч !юля а —. — 04 -', хгч4-М црокодяц(ую через точку Р(), (), 0). 120 10,18. Найт(у векттзрнусо линию гзозлгга.—.хз1 — УТТ7+'гз)1, Броколязо)4ю через тбчкУ. Р() 2„—.1442, 1). 10.19. Оцределитв виа векторных труосчк! а! в залаче 10!.)йо.„о) в з44ааче )0.)5. 2 Проязаоммя Йо нся рзялеяяят и ! ряянеят скзлярночо ! !уст!. а .=:!Ля а 1-)-соя 6 г-Рсоа Г-а — .Зяьячяма Вектор льяяоц! Й !.
Яр:влеяяя ь, ге=-.зсз т рьт+зьа — рз. Ячс.вектор точки гч (х, а, з )„ У роома ьая скзляргмсо Возя и()41! ! точке Р ао яалразячяиа! з, а;; а,зя ., э —,. рдля . В!!!! Рм 44! "!Хь -! Хз)-- и!Хз) дз т.. с с кс) 'счь Ймсяе! 4ы ф яки! я )!4оязяо:О!Як - — — Вмчнсляетск Уо фО!'м'.Ть !)44 ) ди ~ . У!44 ! С4и ~ с! ~г -г, Ох )г=-!, ОР '(г=г,. д» )г."..!. — — ссза.й — ~ совр+- — созт. ()) Брал!44! маи скаля) 444!го . "..Яя и (й), оаозяь Узсммм сямаолом йтса и. Йззьяясчся ьья!ер. Уя оеяяяяься которссо яз коорзяяата!ме ося явля!!Усек сск!тветстерьоио!е час!!УЗ4!".
! ЯОЯЗВ4ьмя:е етякйяя 4, (г), т. с ди, !'и 04 (2) А44ЙЙОУ444444С ОЬЯСЯУля'тся !'роязтояязя ЯО яаорзал "яям я с!злясят ЯЛЯ О ЬсГЯ44Х СЯЙЗЯЧ4!МХ СО!!ЕЙ Искола из УУыраксеУБУЯ 4!рокзворисТУ) Бо 4!Яцравлекию (1) и ооределекая грааиеУыа (2), локазать слелуюсйие свой! тва ! р«!'*Йеит У* 10.20. 4)р44иягсул!! Яя коля Бо ктк4равлеипо я ранца скяляр4юм)' Броизвслекию Ура4гиеУУТ44 коля ка елаиичаый вектор цаиного У!акр!!аз!свив, т.
е. рявиа Броек4гии гра!;Угсита ка ляиУюе БЯБ(гаалуа4ие !и — (йгяй и, а) =- ! йгяс) и !со тле 4( — уУОЛ мегклу грьлиеитчзм и вскт! ром а. 10.21. ИацрЯВЛОИИЕ 4ВЛЛУСЕЯТЯ !готе: ИЯ!44ЯВЛЕИЯ!Е УВЯИ- йыстрейюего ЯО.'чрастаиия фрак!!и!У БОля 10.22. )) казклой тсУЯЯО кол!! Уралиеит иаорявлеи Бо иормали к соответствуккцей поверккоети уровия в сзо- РокУ козРаетаиик Богецциала Бол-ч г. е. ) йгай и ); — -"..*-, да где в †направлен нормали: к паверкиостн': урпвни,-'-' в сторону возрастания функции поля.
!023. Пусть и=и(х, у, з) н О=-О(х, у, г) — -диффе- ренцируемые функции, с — постоянная. Доказать следую- 1цне соотлоснения: а) араб(сс+ о) стзб и + ягас) сх б) ягаб(с+гг).—:: ягзби„ В) Игас((си)=сйгзс1и; г) ргаб(ссе) — ойгзс)и.р ссйгггс)О (см. пример 4 В 3); д» стгссб(ип) =- гсст" 'йгас) гс; т и ' оСсгас!г - ггргадт е) Клас)( —.) -- т — т Она=О. г' Найти градиенты следукхци..
скалярных полей: 10.24. и=-) г). 10.23. и---1п1«). 10.26. и=-. (а, г); а--постоггггньгй вектор. 10.27. и=(а, г) (Ь, г); а, Ь--постоянные векторы !0.26. и=1(а, «) )т; а — -пктслпгный Вектор. Пусть «=--) г~ — )' х" г д'+ гт. Пснсазвть, что,' !0.29. (дгас1 и (г)„г) = и' («) «, 10.30. (Огас1 и (г), г) =-О. Найти производные от слсдуюсцпх волей в заданных точках по зздавяоиу нзпрввлепн1сх 1031. и-.=.х'+;-д' в точке Р,(2, — 1) ло направлению и вектора РаР„где Р,(6, 2).
$0.32. и=: —,х' — — д'-д г в точке Ра(2, 1, !) по па- 1 х — -Х р — 1 а — 1 правлению прямон — -- ----:=- -- -- в сторону Возрас В ' о тания поля. $0.33. и=--х",+х.' — х";+хг в точке Р, (1, 3„2, — 1) по на- правлению вектора а —.- 2вт-р е,— 2е, $0.34. Найти произаоднуго скалярного поля и=-)У1 «) по направлению его градиента. к' 10.33. Найти рфтокзасвскую скалярного поля и= — + оа ра аа + —,, + —,, в тоЧке Р(а, Ь, с) по направлению радиус- вектора втой точки.
$0.36, Нанти угол между градиентами поля и — х'+ +2у' — а' в точках Р,(2, 3, — 1) н Р,(1, — 1, 2) !0.37. Найти скорость и направление пзибыстрейюего возрастания поля ст = хуа в точке Р,(1, 2, 2). 1И 10.38. Найти едипнчный вектор тгорнали и пс,'ггсрхссосттс' лловли поли и=хе+ 2хг; — -'1дгз В то псе "лП, 1, — 1), ; ~.' 1!вллспкый В стопову Вов)тастания ВОля 10.39. 1салтн стацноиаркыс точки воля и . 2т' — 4хд+ к'.- 2дт ', бз,, 'Отлиться В О)ттогопзлтнкк ~ г! лилий уровни покоен; 1ОАО. и =-хт — -д""„с:=-хд. 1О.41.
и:= 2х'-' д'", О.-.. г,'Л. 'бслгыься В О)тгосоналтлюстп лоьсрхиск той у)говня окИКУКВЦВХ ПОЛС'И: !ОА2. и с-'ха ) да — в, о=== хк 1 дг, 10.43. и: хт-1-огк--'2вт, о---:хдв. Плсггл ссгвействс~ линий нюсбыс~11оиппгст когрвсгвипя для слет) сопсих ~кклеР.* 10.45. Плск кюго поля и ---. и — и . $ОАО. Т)техисриого гнала и = ю,'г. 10.47. 7рехксс)гного полл л:-хт р де.— г'. 2 2. $(риволниейвые н поверхностные интегралы 1. криволинейные интеграл 1-го рова 1'ус. в Л — оугн к;солю главкой крив ~":, л~кс-.вссатл ое:иг ЛВ гкколгпл.с гимт Л .- Лт, Лг, Лт °, Лп г т ~ О'-"лооиваовкиое 1,:Звкеквс вуги ЛЛ и Р !т -1, "...
пс — лсл игл кпв лт л,-кп ие ткстт~л~ ык отгвк Лт.,ло соил ~ кстоомк ооовип'ил:и;ет ак; Хс;ы гтспгктвттп лложк лоогтсввиостк вагиз:пплтт с, гк ~ЧРкгят) ан жги л;.твп, -ео (и п - мп историк лс лале го лк и скос Ва рлтрллглн лтги /Й ъж. КННК Лт, Нн С" атс:ГП тани дт Л ПатГНПИЛК актив .Лг.пЛ, тСГВтттт плтжл пволлгчттл лл::ппнейвма гноил во сн В:о роао,т Рувкк~пг и (рс ло кривой Лй и остлтлн всоси и, кв и ОЪ вЂ” -зл,'Акре~лги к: упб, т.
е О СГ-", Л 1ЮГ СК, и СРт) атк. 11) Ксан бу лклг~в л Сул . л сеуллпа г~в Лтр то витлогап с11 гввгест ау ег Фвонлески нв ~лграв С О .. пгниг рассвет рквати как массу ври. аок ЛВ. Олго:.ло ае гглтлгрпаа СП свооитси к г1нкагвепгск олркао. псиного внгограаа 11агрииер. есав !рами:кис ауге Лв завило а вито Пок смв Л. В. накипел, В. П. Декнпоккта 12О х=-а (г), гг==в(г), г — --а(гхи'гаек гип га, то и (и) ах — — - ( и (х (Г), р(Г)„а 00) )секта (1) +~-'~ О)+а*а (1) «И ла 1, Криволивехтимй интеграл 1-го Го;а ве завис т т того, и каком ваирзилсввв ирихоавтсв лхиа АН, нвьми словамн, и(Р) из=- ~ и(Р) гй. 11 р и мер 1, Гтреиелвгь массу М игристо тихих вантовой лв ВВВ Х=-ИСОаГ, у=-ааип Й а=.-йс, ССЛИ ИяОГИССтЬ р(Р) а Иахвхсзтх СС тоже иро1иорииовалыха длине раж1тс.иеи1ора зтол хоикв.
Таи каи р =-.ВгР- Е )ххх (ут.р аа, то в хо~хат Иинтиииа ливни р=-к (хгох г)хга. Гераок1у амиу отвеиае. взме1кии1с иарахетри ! ит оаоаии Отоо11а — х хгг г.х т х~х В.звлачг1х 10.43 — 10.54 иы1ислить слсггухоидие криволипейиые интегралы 1-1.о ргх11З: !0.48.
~ (х -, 'Ц) 11ги гйе С вЂ” когг УР тРеУ1олыгкка АВ() с всрииизг1кхи А (1, О)„Н (О, 1) и () (О, 01. 10.40. ( --==." —:.= —, гле С вЂ” Отрезск прлмой, сгкйихх из с игиогиий точки () (О, О) и А (1, 2). 10.50. ) кй гйс, гле С вЂ” ьон" ур кваугргхта 1х1+,' р( —:: б .—.: а (а > О).
10.51. ~ азхза, хде С---гервви грка ииклоивы х-- е = а(( з1п (), р (1- ., 1'). 10.52. ~ 'ггха; гу'г)а. 1де С---луга развертки окружигусти х=.а(соа( ) (гйпг), р — а(а(111 — (соа1) (Ои=„1 =,2п). 1гл1 и 1058. ( Р ., где С вЂ” Лу ° <1 ' х='1 у=и(а/рг2 а+ах х .' ~3 от б) (О, О, О) ло Г) (1х 2, азхг2, 2)г ргЗ). 10.54. ) (хз; и') дз, где С дуга логарифи1гчсгкой спирити . =" аеи от точки А (а, О) до точки В (О, О). 10.55. Нанти массу всей асхроиды к=- а сова С р == па:и'(, сслп плагпость р(Р) и каждой ее точке Р иыражистся г)х1рххут1ой (а(Р) =-=и! ку', гаге й > О 1созг)х11И- 1 1'ИГ ИРОПО(хи11ОИЗЛЫ1ОСтп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
