А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рс' 1, ! г утеса 2!.+ у 21" + .. г«72, ь ! !гы Приме р 14. Нгнть ! етг~ое рец:слис системы ° й Тлк как характер!кяь ~еское урш.«ен«е 1 „~ —.-П нмсе корин — Л Л!, — -; г, ншем ч !стн. г репа!ше снсгемы а ниле с)миг! ь»ю!»«лена вт»рой степени и фу«вою аьаа Ь,', хг=-А!та+ В!1 ! С! 1 П,гг, хг--..А!12-Рй)21-).С ь()мг„ П»гктаьчяя ьти ф)нхцнн а ььдьнную гнсшмуч п»лучин раас!гстьа 2А,1+в,+в, ! - — А21 — 3„1 — сс — (м: -; 1.
2А21+32+Вьсг==- Аг(2+621.)-сь-) Пггг-).гг. Приравнивая коэффициенты при одинакоаых степень!х 1 и пра 21, по- л. чим систему 2А! ==- — Ьг В! =- --Сь, О! =- — Пь, ! — Аь=-б, 2А --Вм В =Ст, В =ТУ,+1, А =-О. 1 0«гааз Ат--Вз. (г=--о, Аз=-.1, В,=-2, Сз=- — 2, йз=1«2„)дг.= — —.1«2, н искомое частчое рсыеивс кисет ви х : г( гт 1 2 хс (з 2-г. ет ()н 1 П „* к ма р 15 Нчатн обыгсч региские сисчемм Л (11.= АЛ'(Г) ( 1'(1), «2 — 1«1 Г(+1« -(1 4/, 21 ° Хзр -р ". «:,' )р *:. !' ч „~ —...« - О)., 34)..р.
а) О имеет корева е.:==В крзгижтв 2 С)йцее рсмекие одвоггжкок) си«теми г йг' Р' отчем в ьгв хз(Π— ~ ) гзг, к, ткача кото!ос а очко)озь чч снсмму н сокрмцач на ем, имеем „«ос+в") ~ Р ~ «2 — 1'1 «ат:, ()« в(у!+6«! ! т в г""~1 Получим систему З(от-, Р) ! ()-. 2(м(+9) — (уг+Ь). а (11 ) 6) + в '. о! 9 .1 4 (; 1 ,'— в). ЧЗ КоайРОГГ Слеаугт ааа ИСЗЗаИСНММЬ СООтНООК.
жв О -'- — у К Ь:.1- о - — 6 Позагзк с«-:- г, к 9..:Г:т, писем у —. — г.', а о=.. — '", — СГт„т. с г чг+Ст Тзк кзк «(Г) с«мерь кт зжс.кттзь г". йок и:и Х "3 — тч гог» з 1 А„ст ! Бзс Ьсчч,' ' ' (,Язт..-' ,(Гз(з..-ртс: ' г) тамо: д'(г) з залог ктм ггкь иу к совок«из ч, гзг г а!чем! гччтрк: кое рмк:истчо кОюрое можно ззйгкзтг Р кк''*г' ряггевстз — А„гт — ()чгз--~з(+ 1«(,тт-;-2азг, Г)з =- А,(: .(магг«+1) 1 221.
106 ьравггквав, козффнцкенгм йрн оачгйаковмк гт'чокчк 1, йолучаеи си- стему урзвимгна А +Аз--.О, Аз+Аз —.'О, Вь+ЗАс+ Нт =- О. о', +Уе — ЗА,: —.. О, Бг+ 2ак(- Пт:-- 1. 0„+.'Аз — 2вт = — 2,. ' )1,'-:1, " ' Сгз* =О. 11кхознм (зт ' 1, П, —.-О, (1,--О, Вч -.=22, А,= --112, А,— 1 2 Ом- ,ователько„ гт н чс!самое чеком реюсгй е ззйгкг!ется ч каке ГЙ1Ч Се — —, (з, 1 Л' (11 Лч Г!) .
Х (11.=1 )АЧ Вм 1 В ',, - Г,,г -(Смг Сч) т- Гз-~,-„- гч ~ Найти регггс!гия следуеоивгх систем урааисиг1(с Ус44!. х--: Зх - рд., '1, у--.: Зх — 4у 9.442. х-..—.х — у, д--х+ум е'. 9.449. х=--Гх — Зу ',- !е", у=-Зх--ув с". 9444 х=-хч у--созг, д=..— 2« — д 1 чв(.::, со.!.
9,445. «==у г 1;;" !"-1, р=-: --х., '1(т «. 9.446в. х '=:2х:, Зу, д —.—.4« — 2В 9.447*. Вса(се«во Л разлагасгси иа два ветг!сства Х' и О, Г..КОРОСГЬ О6РаЗОВ3)ГИЯ КажДОЮ ИЗ Иат И(ГОГггЗРИНГЦ13ЛЬгга ь'ассс !к рззлозкиргг!сгск;в вс!всства Л. Н391и ".зксж!! изменен!13 масс х и у в!и(!та!г Р и О в завис!.мости ог мсии (, сел!1 ирсгз иас восле качала врог)сгса рззло11«еиг1н х -- д--.—, где а — гера~и~ 1а.!вы~и масса исв!сства Л в' 8' 9.448а. Ма:сриальиак тгтчка массы а «1р)ггв'. ираетсй центром О с силОЙ, ороиорииииальио)1 расстояийго.
„г.вижей1ггт 1гачивастсй из оч!ки Л на расс«свини а гй 11сятра Ианааввсй СЬОРОСтЬКЧ Г~ч. ВСРГ:,ЕИДИК)ЛРРИОЙ ОЛ. Байта трзскгори)ст дьгй)жеиггчг. 9 4. Заев)вить) теории устойчивости 1. Оснввиые конвтнв. Пусть задека нормальнак стктемз хнфференциалгнмз урзввекча «Р) «г(1, ьз (1) =-«,11, хь х„, .... «„), (') «ч(1)-.-«ч(1, «г: «и .-, хч) х" -"йх; жг„ с кмслльнымк услонкямк н 'точке ги. Региенне ХВ 00 — (121 (О , гр„(1)) 1 системы (1) иззынзет я у И1оичииылс по лллугкму, есин длн ягодного з > О кййдется такое б(ь) > О. что др1н Всякого ре1оения Х(г)=(х1 (т), ..., Хи(0)т той месистемы,знйче ил нотой гонтомке(й т удой. сто ряго Бсрйм"истнзм 1хг(1~) — грг((а)( < б(г), 1=1, 2, ..., л, (2) Лйй ВССХ ( > (г 111ййьейдййм БЕРЛНСИСтйй )хс(Т) у.йс(0) < е, 1=1, 2„..., и.
(б) Есги1 ьке Йрк сколь утодио МаЛОМ б > О котя бы длй одного рстыигй Х(т) йсрййе1ктйз (3) ие йыголиякися, то ренн кис Х,(т) нлзы. ййется и ъ1тиоб 1измм Ости реиТС1111е Х„(0 Вс тол1*ко устой йгзо, гк, кроме того, ирк услойкя (2) угтииегйоряет ымтгюй1сиикг 1(ги 1х;(Т) — ге,(111:-О, 1=-1, 2...,, и, тО ЗТО РЕЫЕКИЕ Кйймйигтси ОМ1МИМОПИтыски Р. тОИИИЕИИ Пример 1. Ис;сл: т, й у- тй чь рс1игниг ди44ирск.
нннльоогм урзннеиий х=-..ах (а ~ е), оирелслйсиое 1 1ии лг,иым уело О нем хе ((е) =- Сз «ф Еслг. о ~: О, то реи1сйгы йиис. йй1 хе (Π— С Пусть хрй =-Сики 1' — ирылиольйос реи1егие этого урйиисиия, уди1нлстгоряы1 1се )слоокь1 1 С вЂ” С 1; б-.-г, ')огдз ирн и е О иолу- Откулз О, Вгн (ИЯ -х Я (,'— , С вЂ” СЗ1 11и т, е.
рснм1ОИ1 й" иинт11ти'мгк:1 устойиим, 11ря а>0 может быть сколь угохно больи ии '1йпи:и Брк л1 слениии болыйкх й Зничнт, Йри о > О реысиис 1еусто111ийо Если И==.О, то (и1БТИ11е иыиси ькд хи(11. С,. 21(ля гкииого Пысиия х(0 — С с услсчи1см , 'С вЂ” СТ1 ' б-:е имеем ( х (1) — хг, ((П -'= ( С вЂ” Сс ( е 91Й (ХРΠ— хз(01 ° 1С--СЗ1 г (- + з Йотому рыим1ие устоичийо, ио ие йгимгмоти 1сскй уттайчино. (()ь р(сстедойыгис ий уст1 и:1ийомь рег гкия Хз 00 «кстемы (11 может быть сйе,",еио к и1.слсдо11зиик1 ий устойгигитсль .рим1зльиого (иулейосо) реамккя — иго 1ки ти11И1й Бсачорой ткыемы, зйклогн йсок системе (1) (см. Вйдечу О.ебб). у(селедоеать ва устстГ1чнвс>еть реи1еввн сл1елувщтсх уравнений в светем ураавеввн; 108 8.449.
х=-1(х-- )), х(0)=-1. 9А50. х= ( ),х(0)= — 1. 9451, х'- х ( у, у-.—. х — у; х(О)--.-.у(0) — -- О. 9.452. х:= . -2х . )91, у=.. х у; х(0) — у(0» — О. 9.453. х —.— стх — у, у —.иу- г, г"-.ах--х; : 10) -- у (О) ==.
г (О) = О, а е $0 9.454". Нависать систему )вй)тут рев1гвальвсах ) раввев и й, всслеяоваввс Йа ) стоим мог.'с 11 тггчки вогытн ко1орой Ринвгх1'лько всслейовгв1гно ва )слт1йчввскть Рев1еввн Лчф ион мы (1) 9.455. Сформулировать ойрейслсввн устойчвгигств, асвмгво 1: вской устоймввосы1 и ие)с1ой ввжти лли тсчкв 11оиос 11итсхы л11ф)т(евввальвых )рив11евг1вй 2. Прсстсий1ие тисы точек нойон. Лгг исслс:ОИИ1и и гл ус ой. *1йгсх1ть 'тггии ио11 и сйс1гыы двух лиисс иых 1 дгс го111их ьй ттссси. 1.ийлгийх грйи1е1Б1и с исс1оййиыьк1 1ОО11гйийситзии 1'' ° 'Остз1'ить хирзитгрн' и'1с1ксе 1гиьи 1'ис С1, . Р ИМ Х --1лы; и.й) т Л се„— Ь' й1и Тго И11 ии А1 и л В 111бхиис '1 1 ирис, снз клзм1 ьои системы 141 и зй."1сйикгй гм ко(иси Ти„тт тигьк ' "'1 '1. КОГО У РТИТИБИЯ.
П р им 1* р 2. !'»1реь1':.Б1" хзрлк: и иссл1лсиьТЬ из усгой и Бюст корив )ч ° -. — -- Л вЂ” 1 '1-4О 1;сглслуя 1кисссиг1С ктрмй йз и зийискм.с и от;мрииетрз и и миочйтя демме тзбтъцы 1, Йол)чзем: если м с' - -Р 4;кирик м,ийлеьсмые, Йс йг т < О) -)стоййкзый г'.~ ИтС; гели,1/4 . Π— 2 (кОрии лейстйиил1иыс и 11ргиытельиые)— ' СТОБ'1ИВЬ1й УЗСЛ; тс 1я — 2сс м (корйи леьстВительиь1с к 11язиых зизкой) — сздлО, сияй ЙОИОй иеусгс4иийй. 9» Кориа аь ат Нттчачикотть тачки Оокок Хирикттр точ и имтои О к к ч ч кттойчиитнть ! О чКИ ИОКОИ Таблниа 44 (арололите33не» Хиркктер точки кокон ДО33сти33тсль-~ Х, ( О, 33ые: 33О < 0 Хт ф 3О йс33мптотн"н'.ски 'ЗтетОйтчиаа Ь Сововчитна тчдь 'ттйе О*ОИОООНИ В.С , 3О' > О, Сгдко 1В ХВСО Л.аиит ~н чсск. тстойчмоа 33СВС3.30ВО- рстОЙВОВВ 33>3333Р ое 0 3 т'т т",т,т 3чснктекс.
(О С О, Ь стив ионн СВОВИО ю е 36 тт 03 3— Ри = Я - - 30 ' и > О, ~ Иоуотоачи 33 4'" д: бу':О ,;--,,~ / ~ Чь:/ :"'.$:. ЧИОВ , 33стсии ИО ВВ 1 Дейстантель- Х С О 33ий, крат. ИОСт33 2: хт=-х*" 'Х>0 Определ33чь характе',"3 тонок покоя слетд300333х т истеВИ 9.456. х=х-:, 2у, у и--Зх03 д. 9.4О7. х=- — — 2х -. у, у== — Зх+ — у, "3-' 9А58. х =--- — х+ З30 у = — х - 2у. 9.459.
х =-= — у, д:и х — 2у. 9А69. х= бх--5д, у —.= — 2х — 5у. 9А61. хки — х 3 2д, д-и — -2х — Зд. Опрсделит3О при ка3тих аиаиоииих параметра сс тонки покоя с33стеь3Ы дстояиияа. 9А62. х--=ох--.у, д=- О 3 2д. 9А66. х= — Зх.'-иу, д — — — ах.- д. 9А64*. Исслеловать иа Всто33ти3восЗть уравиеииа упруптх Колеба333333 х,' 2ах 3 Ртх -: 0 (Вт '> 9). 9А65".
Пусть задана сисчема и лииеииых диФ~3ре33033- альиых урависиий с постоипиыми козффициеитама хе и- ~~Р~ат,х„1=-1, 2, ..., д. Х~окааать, что если все коРви хауактеРистическосо УРавр неиия ЗтОЙ с»гстек(ы игмекзт Отрипательиую деиствитель иуи) часть, то точка покоя системы аси»иптотически устоЙ- чива.
Если же хотя гтьг один )рз корией карактеристическоро )равиеггитг имеет тголг)но»тельиук) деиствитьльиу)о часть, то точка покоя иеустойчива Ист»ользуя результат задачи с».465, исследовать иа устойчу»тФсть точку покоя кажДОЙ из сюгедуюи(3»х систеик 9466. х== 2х, у=-Зх-) 2у, г=- — х — уь.а 9.467. х-.= — -2х — у, д=.-х — 2у, г=--х-р Зд — а. 3. Метод фуикинй Лвиунова.
Этот метек в срннсоеннн к ааюномноа скстеме Хг.=-»г (кь ..., хл). (и) к, .= )ч (х,, . , х„), сде Й(0...„, 0)=0. 1:- 1, 2, ..., л„со гонт в ггсгкчредстасовом несло,:гаванна усгорг ~нвостн ее точкн ггокоя г рн помотал пгллоляжнм ' гюрааом гюлобранной фугагкии Ляпуясла )г (х,...., к,.), Вер~гы сяеяуюлгне теоречы .',ллуг оаа." Тсо ре м а 1 (нп )ттоггчнглктгг».
Ясли суюгсглаусгл г)гг)ггугреггигг- ручмггя двнчцггл )'(х,, ... „кь), »гчуг«ллглярчючяагг л олргслюосхчи начала ючардинагл слсдуюиигм ьсюеалм: а) У'(х,...., к,)... О, ггрггчгм 1".=.0 ллшь лри хг —— ...— — хп — — О„ г»Р К" д)' б' — = — Й вЂ” — Й (х,, ..., х,,)-;О, гй Лк; юа ах чча покоя снсюемы (К) ггсагойчггаа. Тсо р с ма 2 (об аснмпюпгчсгл Ж угтойчнлсютгг) Егьегг сугг(сслг- ауелч длеко аерслп.сусная чьггньч»ггл У (хо ..., к„), гл»оглгггггюрггюгиая л окр слгля гггг на ола ююрдинат след»увигггм ьслгг ггглм а) 1г(к,„..., х„) .-лб, арами )г -0 .ггггг)ь лси х,--... =.х„: —.О, то с;очка голая сисгламы (0) аслмптаппг илкгг усюо)чила. Т е о Р е м а а (г, верстой гнаостн».
Есл* гда»«"лмУ. Лг г)ггггегггеугн- яаруемал Ф»гггкиггя У'(хг...., х„), удпклеюгчюягоигал л окрестнссл;и начала лоординагп углолилм". а) )г(0, ..., Ог: —.0 и сколь уго»но 6«ьаьо ою начала к,ординат ггмеюлгся лгочки, а гголгармх р гхо ..., кь) > 0; г(у к' си пи б) — - .=- Д вЂ” - »;(к„..., х„) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
