А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 16
Текст из файла (страница 16)
О, прл юм — =- О лиию лри л."г=-.... кч = О, гпо лючла гикал слсгпгмм (К) неуслгоачааа. помовгьнт 4фггкггнн длп „- Устокчивость толк) ггок „„' ' лггугчова исследовать х=--х.) у У -- — 2ул к '46 ' - фук'.. »)„„,,„о,"а „,,„, д( =.2х( — Х-)-у)+2у( Учглалегаорлет условнлм *гео; г мы рс л 2 . налит. 'г мка понг я снс- темы аснмптотн юскн усгойчввн, )9 1) нмс , р с р 4. Исслеловат на устод гняо"т с г' с тг ' я '"',ь тс«ик)' локон сасюмы х=.х(2-1. Соак».
«4 Золььгь, е) л и , л г — -- ° ) чг)ах , к 11 лме .,". 1 .- .. ° г' "' р: р 5..1сслсловатг, на уст: рчгглжг. точ.; сг тг.. г ' "' ь ' 'ю) покоя сне' г.ягл х---: — х+-;- у ','»туг, . "т 1 у —.— к»--2 у — 2льут, И4 Ф)'ггкггню Лял)'ггггаа б)гьм гг'г «ь в .нае )l а ь, а =-- —; рах и — буь»+ (ху-1 2ььг,т) ррл — 2у) (налагая У =- —,. а, голу гнм, чтг —,=- — а (зла+у" —. 0 — ух су' . прл валком гч ь О, 11а тся ' елки тстолчнаа.
)иь рели 2 вытекает, ло т»чка покоя с негг'ьая аснмптотн- покоя следугоп(ИК Исследовать иа )стоЙчивость ~оч~~ ио 9 "ви — — ' — - ' — =- к — г — . тг' .468. х — — х — - у — х — у', у =- к — у —... Ил „ , =к — у-лку. 9.469. х =- у 1. х', у.= — х ) у'. ГГья С«я. А. В, Ефггиььь, В И. Дьньяььягь 9А70. х=- ху', у--= — хау. 9,471, х;-..— У-1 х', У=. х. 9,472. х-=-д -',.хзУР .— —,(.1', У-'- 'х 2х'У-''зй ( 9.479. х---- -2х-Ь 41УР, У вЂ” У 1 2СРУ. 4 Устой ~ива ть Бо аервому криближеиивы (1релооложкм, йто Бравые кжзк скстемы (йь т. е.
Фукквив (1(хг, ..., х„), 1-. („й... „к, Б11ф)м(11кк1кзт "мы в кз'1злс ЯОО(ыиааГ л1мтвтокйос1 'Я~ело раз, РззлО. з1км кх ас еюрм)лс 1еал ~(а в . кресткости ка1зае БГюрдюют1 к 1,.('х1..., хь1.=- ~~~ а, х, й. (Л (х1, ..., х„)„ Г111 ((й ..., У) Гвс ат -' ° —.—, 3 ЕР кл '1О1 втор!ГО ксряю'3 мзлостя ' тяО" СвтЕЛЬБс ХМ ...! Хз ТЫ:3 И ХЫ1ЗК ГЗКГЕМЗ (;1 И;МЛ1 ЫЗГЬ .РаавСвиа Я ЯВРЕ Хт = ~~ ат(Хà —,'- РЬ(Х, ..
Хь), х,,:- м~' а, ь(-1-*Г.,(хт,. х„,). 1 1 кссьмттрйы Рксземт з х, —.: ~~У амх, 1"-- 1', 2, . „,, (Б) Иачкем мрю мктюз й тгью е к11 Б,РРГРМ Геаайл;закал З. Р СКР1ЕРМ ( ). СБ(ыксхлкес Рле..)ГОББР т~вержзекГГР' е''Р1'. зсе к~ рж1 хГ1рзктс" расткюткьх'о то'кк'скйк ГКС11' Б' (О) кькют а р ГЫ еаьвь.'С ЗР'йе1ым Гезьк1сз кзстк, ю 1с Бз ~1,мк скс1смы 11). 3 тзкмс к, Озакй си- лсйствитсльку1о ка Гь, Б..з»з южок састемы 1О) Рк Гыттмы (Га)) ка:макктк:ымтк БР ае1':М11Г Р'.райзатттРГи:., и О.Гьлькк з Глу юкк тзвое Ф Рлс тОЯРкк~', ао кайс 1Г.* О1 к. ~ Рзотзко~ ~кк *.Рк кзк кззккзс1 1' ' '1"~', ь ' '.' *.:»" с '11Г з! ' 2 ~ СГМ 3 .*'1РОГКБ 111 й мс( б. 11ссыав.зз1ь аз )с:Оккк к йь т. 1кт юков системы х-::;1х 1.Ь 1ка ВГ еф рззлм.зв фр Макк ИБ1, сов а, х ко йсрмуле текле(ю и вылелкв Яловы 1-Го корейка мык:Ги, зкаксм керГБисзГь ксьа1,и)" с.киемй В 1ГИХЕ х:: йх 1-Ь(1+1, (х, р), У=- — Х-йа: Г.,(Ы У), ттт„рз — чле1вл о'Го Борклвз малОсти ОГЯО'втР31ЯО х и Б.
Сызт . с1с,вутов11ГЯ скстсма урз1тяеивй Барвото п1риблвжеяяя виза (6» ззак ,ае1ск слезвтГООГГГГГ обрзюм; а-- -- х,'йй .~- 1 1 ''ксзрктсрйс1'ГксГБ11'з~ГсвРРГе — 'ЯБГют от1, Б1зтт,и.кьс БРЯГГБГ1тзлькыс весси Слесоз. Гезьзм, ГСК1сз коков ;; ы, 3 1зкмс кстсокай РЯСГББ усктйзюм 1В. (4ссле1в1вать из )стоис1ииос1ь во леввсмт Брк((литвеоикт токио новой све)'У1оьаих систем з(ийхре(Б'БГ(иазтькых , Г,РГы:еви а. 9.474.
х =:- — '13' --1) !1У, 1' -: — Гх — Ь1ы У. 9А75. х =.—. 5х; у ГГМ у', у.=.- Зх 21( с", 9.479. х — — 7х 1 2в1оу, у=-ел--31 "1 6 9.477. х-- — ь х Г -,.; Б(о',У, 1 —: — У вЂ” 2х. 9476..1.-.-.- (н(4У. с' "1, у--.2У--1.1 ЬР 1.— стс 9.479, х =:е'""" — Гов'(з, .у-..-р'4 й)з -2Р", 9А99, г)1ткв 1зть., Бто ис1 лс:",1111аГИ11 ил Устоймкко11ь 1;о 1Б О131:мс оркбл11Б1екк1о товин и ~БОР' сист1'-звз '1'.т Х вЂ”.. --4у — зт, 1, --,'3Х-- уз : РГРХГиои1111. Р1о' весси иссвеасюзи11Р1 метс1йо., 4в Био ий ,'1ГБ:) 11ОЬЯ 5 йт.
Численное интегрирование ооыкиовенных днфференцггвл1 ных уравнений 1. За:зкз ((ОГБЯ. Зз .Р,з Гютокс Гзвк к:с-, *.:, Мю:е С -М1х) зис '1' Яак -'."' ~ .~~ )Р ГКГ(сыск ~ " (1Г. ГР), Гыы дюс (1) 'ГВЗУ ' Р 'Метод Эйле рз с и тсрацннмн. "Для вычисления значе- ний бйгихцик у-- у(х) ирнмеаяют фюрмулу у'л -"у«-! 2 ()(хс, уа)+аль, у(-ь ")), (2) й .. 0„ 1, . .. и — 1, т .- 1, 2, ..., 4(, гч гдг )г)ь, -уа.
ч вычисляют пь (юрм)лс (!). При кгсклоч яка~сини й гялчйы скин прь,олыккмся до ьчы олпыюн ксрааеистаа гле е. ы данная гредельизя абеолюткая погрсьчкосты После згого ,'лк гюлагаь,т уа., =рею к ьсрсх~е!зт к квхожыкню слслуюа!его знак иия Уаьз искомой фьькцки Ест к перзаеисгас (3) ьс юстиг ктья, то умеиьгпают и~зг й к и "полня|от асч вычисиепг ч снз ~аале По заданной .:~редельной абсо. к~тьпу ~чл репзиого ьс качгльиый юаг гы оислегий й уствсааликмот с коми;ыо ы рагс ктвз дз < г босые! ььркач опю ка топюсги кыполкгичсй при поьхча* прз," кла Руюг — Рьь~берга (см ниже) П р и ме р 1.
Рсачмь иеюлоь Зйлсрь с итсрыпью ь чючачу Каюк пг от!юзке (0„1( тля ураыкичя у' — 2т —.~г с и. ь ьимм гс лоиисм У.—.--1 п8и х О. Шаг аьбра ь так„чцбгч уджлств~ рялось исрапюктго !га; ( 30 ч(й!!сходи из иьрааечс гез й' < '*.01, аыб.!км ы' г аычмлский 6 =:.0,2. !.-0 Тогда л:. --„-..:5 Прсыогч аы«иглююя с одним закатным зизком, находки по форм)лс (!) зюг,ю нс с~ --.--! '* 0,2(2-0 — (-1)) .
—.п,с!ьт Всдси нчсрациокитьч огркбгт«! у! по фг рч)лс (2); У) ':-" — ! ! — ' — (2. 0 — (-- ! ) -. 2 0,2-. ( — 0 8000 =-. — 0 7юй ,и ().2 Уз -----(ч-- — '-(2 О- (- !) , '2.02 — ( 07500: ..0,782, пь , 0.2 уь' — — --! + ††.(2 0 — ( †!), 2 0,2 в ( 0.782гы †(.'„782, Получасы уг --- —.0,782. Вычисляем по фо)ауле (1) зплчспис ут". Уз = — "О,ТЬ2 Р 0.2 (2.0,2-"-((),782)): — '" — 0,546.
Проводки итс!.зциогиую об! аботьу: ц, 0,2 2- ' ух —.. — 0,782 ф —.*" (2.0,2 — (.-. 0,782) '. 2 04 — ( — 0.540!) -- —. 0520г (т, 02 уз -, — 0,782 ! — — (2 0,2 — ( — 0,782) .) 2.04 — (--К520)) = 0,531'.' ,з,, 02 уа =- — О 782-)- — '- (2 0 2 — (-- 0 782) + 2 О 4 — ( — О 53 !)) =- — О 531„ Получаем уа=. — 0.531.
Аизло1чпи!о вычисляя, каходнмуз - — 0253,уз"-0047,уь -03ирч Округляя до сотых, получаем у -. — 1,00, уч — - — 0,78, ут — — 4,5Ф, 11$ у,.-- — 0,25, уз=005, У,=0,37. Пай<ейные значения ул соипадюот с'точностью до 10-з со югачеинями частного рецюння у --е-к <и2х — 2 и соответстауюгдих точках отрезка (О, Кй ф» Метод Р у иге — К у тт а. Зиаченкн нскоьюй фупкцнк у==-у(л) на отрезке (х„, Л) последоалтггльпо находят по формулам уз+3 — уз+ Оуы й О 1 . -.
и 1 п„м., 7 й л у,'"') у, б.й 7(ха, уа), уз =-л.(~ха+ —, уа-! —— 2' 2/* (а> '( Уз ': —:" 1( ха+ 2 ° уай 2 ) ° У -'5.)(ха; ' их+),:'), х хь,т .хаф! ( По заданной предсльной агк:,лхзтигй логрсапкхти е иа ~альки.й шаг смчгстеикй й устаг!залназют ь пььмоцию играаскь гаа й' < г,. Опосте; корпия оценка точности ньюолияеия пг ираюыу Р)иге — (омбсрга, Правило Р) агс — Рьмбсрга Пусть уь' к ~д,'ь — значения игкьжой фу пинна.
~ зл)~к нпье олиаы аь указанных выли же!ьи прк шагах ньапылеькй 5 й йй с!ютастстзскио, 3 г "-задзокай ас о. лютпгя предел. иая ~ ~ ! рьчьиосгь Тогда с ктагтся цо иччиги) та задчпиая точяость аы волею!й, если аыпог пястгя нераненою — !уз' — уа (<а (5) ггн все . У и сри з -.2„ 3, 4 сссгпстттасиао тля истолок Зйлер-, Зклсрз с итерацпкмн и Рунге — Катте. Рыы ином заги чк аю йетса ф)акция ~1й ) Примекяи ук;мыса с прзйкло, иссльльйат лы!ь кы кслюот знак ачя кскомой фуккцчк с ь.'а~ем 25 к с и.ыъм й и срзгииемот получсичые )чзульеяты по формуле (й). 0$$чксгьпия зькзкчиикх~т, когда нсрккскстао (5) аы1 попастья ~ ри всех У П риз ег 2. Рею!и.
истоки Рунге — К)ттз с ыыиос~ью до 10 з за:,а~у Коыи на отрезке (0„0,5) лля уран~сапа у'-Ух+у с ~ з ~зльиым усги аигм у=-. ! чри х =О. ° ф Исходя из псрлчюытзл 54 < 0,(В(, выбираем па злькый юаг ю, чнслеийй Л .=0,1:. Тогда и = — 4. Прово и;. и, чнслсгья с одиим зжгсиьяа знаком, кахыюч у, по бх~см)лзм (1): у, — -. 1+Ли = ! й- — (д,:''-1 27',' '.2д(' 4 С! ), : гдс у)М -:0,1500, с)ха~=0,!725, уз~:=О,!742, Сам'=О.!585. Имеем: 1 Ут-.-(+ — (О,!5г00 ! 2.0,!725+2 О,!742-!.О,!285) — -1,1737, ' Далее, р, =-1,!737+ -- (7) '-1 2ст +24( +У~' ) о -И7 'У =-1Г737!- —, (010551 2 152247 12.0 2257 10 2551) — 13с995.
Уз-. " с(,, Лтзалогзюво иычлсыюм уз — 1,очб7 и у,—.- 2,0ччУЯО )7зкиьил.м злат а гз. (ылл, т. е. либерти 5-.=0,075, тслсрь л:=.5. Кззодьм у) ' ко борм) лзи (4) - е., -,з -~с~ ~ мзз, Узза'-.. 1, буз —:-.1:,. (Уз '-1- 2езч.1 2уе р сз ) = --1 '. —. (О 07сз.' 2 О(~лоб.' 2.0 оч1ча -Р 0557З = 1 0505. 1 лы Лизлогзмко иахоллм ыззльаые м.*зчмсил ра . 1ЧВ)зьтзты иычкслекьк .' омсалем в тзбтиит. , 1зЬ '~е зл~ ее 'ь ч ьз 1 О ,.*„'';:. 1 сбаоЬ 27!'Ь : —,;чч ,,- - ',Оза О зуп) ОтхкП О,ЬИл О,з" .. 2.баев Очслиялсч гсо леазл ыст:. ксрззслстза Р) и лмл,ом сл)чзз ие иреаостеаит О,ЯФ)2.
Розыску раич с тыма Втык гсо 10-4 сслс стаи лгзот 1кзомузо 4з) икллал т, е. лез кайлепвзе зкьки ас)чзые. 1~ 51 е с о д М к л и з. Злзче ел искомой ф) лил ли У -. У (х) за отрезке [хе, Х) лослслоизтелько лазозлт ло ла) м 4огчзтлзм: зб ол'--Уз-з+ —. (2.1( л-з, Ул-,з)--)(хл-з, рл д !- 3 -1 21(хз-О Ул-з)), (б) Ь уа=-ул-з+-5-(7(хз-о уз-з)+41(т»-, уа-з) 5((хм рл)). Х- хч 5=4, 5, ... л, й — -- — --'-', лз хз-з 15. Пераыс четыре заа мики у„уз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
