А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(Вг ;с в((И ВЛХ(В((а: ". ИИ Г(Л(("а((ИИ( йл вил (',- й или рл вл( Вл:;~ (~ р~юа(1, ! Огс(и в ь((з(((е(1 (аи в)' 9.393.".. З(,лл лл((ля((и ":р(1кл в;л((вк,л .' 11(и (гинВой Р(лывг Й ы;! Ргк((г, (и игьр:,г ь )(сллй(,',ллр((а(( к йей вер(1(квлььл( .гй ))(л)и(в. Илголлйв((и и ь. 1(1(и тр(бкй, гиальл(11 Го В(Й (сл '(рсйии. «)И11 и и~(.(л( лвлжги1(и рйив о(и('(('(ел(1а лр(ЙИВ. ((.л(. в вл'(л лы(ь(в скзя(я'1 и(лфик 1В!Х(,,(дъ'и 1к( рлс(тал- ВВВ ". (и' аг!1 врлы( ив я, ьлзлялы!л и ( в((рас * ь и(ври к Рлв(,'а Б 1 Л1О( 9.394.
Йв( ли Лл;(вили ((Зсмк( ври(1(лс(гл ( 1(хлоял1изй удавы; скор(и;ьх. л ги ( р:,1 вериг(.,й(крллрво(3 и Вей вер1 (1(кл,"ьг(оа ('( и ) Цлри к, йвх(о(.'или((, и лии( р(1 1РЛ ок11, скольли( л( лей с (Ревиезй икл1(иийл и(ворога .~ - 21119(О лг, ГДВ )1 — (агв)'1В1(ВЕ((т 19(ВИИ СК'Л(ОИ(1(И51. ))ВЙтв ВЛК(л( Йвйв(сйии 1влрй(сл, ((',ли в Влилльв(и(1 зи м(.В! (лврик нв- 91 ходнлся нз рзсстояппн и От Оси Вратпеиия и ннчз.чьизя скорость его равна пуз!о. 9.395в.
)втгелзЯ О.'и1орГЯ11;1Я 1;е! ! перст)901лсна чсрсз гладта1и гньтяь !Зк, гпо ГОП!с й сто;Оны свисвет часть ее дл1итя) '" и, 3 с ))р)с!Я 1113ры1ы -чвс1ь,т, и!ПГ!11 )р я. За ьзкое пресвп "Г испи 11;кользне! с гво1,!Я" !О,396Я. )! ррз мзг!!'н 4 1;г появеяиеп из Яр(Ятине и твелпчйвзет 1.'е и:п1н; ие ! см Нзйти закс и донна! нив тру!3, ЕСЯИ ВСРХНПЙ К!ЧПП ИР)ЖИИЫ СОГЕР1ИЗЕТ П!Пинизс1Ы1ОЕ гармоническое и!КО(батине О--9-'1п3()1(с!1) н в 1гзчззьный тяоыен! груз ннх „.нпся в поко!.
(соир!1тявл11гиеп среди п)зеисбречь) 9.397Я, Эчеьтр1!ЯСС1гзя пепь гос.:Гог! !!; Пыж и:взтельно соединенных ис!Очипкь 1окз с з л с г(г) Еви!ОЯ, индуктпгнос1и ), сг Р)х 1ЯВпсипй )с 1'. *Пкогти С, п)н!чсся „!г функп1и * врс'ыси11 !'.
ОГ11п 9.398Я. Электр!О!Ст ьзи 1(гпь с!г1;1, из,и лгя1звзтслыяо соедпиенн)ях:П1!!Пги ! 1о!:! с 3 д,:. 1:(()---Е..по!(„Пизонзнсл), Най1и т к 1' в 1тгпи кы !р)1..ппю 1.)тс:,:спн, О! 9.399. Элеьтрнч! с! Зя ! ечь ссх.т! и- из иг!Гг)СЧГГЯГ;телы!О соединепных исп чипкз тгьз с з .: г. О(() — Ес!!.(ОП+ф), иидук!Пикс!и Е и есьогти Е, ПГП1ч . —,.=-,. Найти ТОК 1 П П! ИП КЯ1, ф' 1!КПИ11 ВРС" и ! М:, ССЛ11 1 1=,, ~ = РЬ 9 3. Снсте!1ОГО дифференпиальвь1х уравнений 1. Освоввь!с вонятия, Связь с анфферснвиас!ьиыми уравнениями и-'о горялна.
Псзг сг.тгм! О зис .''* Ге! Оь:л! нь!ь;рыл Ой!!„свинь вмегнх! Осзгвгя!'м)зо ! Гр мс*'в!!и) х и У! 4'! * впнФ 1:1(хх .,, .'1, (х), р!!Г1мг!ОО: о!и ""'!т. тьн ' с!агой'' ирогув!.Оитх -''вх фтвкпвп р!г' (го .. „г, " (!Ь, с иг!еет !Р! -! !" — ! -ь ТО она называетсй янаоннвссхоа, Ори'!См чнсж! Г1=-рт: ря ' ... + рх назыгитГ! я ООря!)хом снстю!ьс !Хл янн! !ОснаЯ гнете!ха (1) Орв,О! .Ре*" ° ° * =-1'х т е С1!г! Сма лн4х)соевы!а иных ) равнений 1-го !арагви 1!ь (х! ( 1г, О! ., О,), И 99 )т(х (2) 111'(Х)=1ОГ! ! ! .
ОО) Нааыван1ГЯ НОР!Го!От!ос С1!СТЕМО!1, ренте!!Ом '.! гл мм (21 вв во!с!1"* !с !* '': С Ь вззыигГтся с вв- ну"лосе' 4п гноив р!" ч! Ип -, р,.=='.*.*(х О!Оресыии! о'ярферсгн ввруемых вв (и, О) я огрвс,мгап!(; р вн) ! Оя, !! з ы., (2) О;.,ж с сгва о!газ!!пса!и! хЕ(О. О) ..., К!О), "я'глгл!иная н несггр!Гв!с!! Ом!Ги г янтныг!и Г) нмял- С)()г ь р о'у меи! !.х !. Орнввмхысяай срн л!Опмх хЕ',О .-.; г,со!я;и о ы ! Сине ьри го,мт, нови! н !" г !')Ояхаот1.О Г! ' с!~*Св я сос!1:ы.
Р«ВСЫТО, О,) вольигя! О!Стояна !и, имыиается Осто.м в!»Ог рг1. г,.в сне!См ! !(': )!НфЧГСрегвягЛЫ !. Е )Ч Ва1МН! Е я ГО ОГ; йЛНО !!)х. О, р, ., Яь! мг гни! свес:н н нг;! ! !! Нм;и сис!!ие !2) Ооратяо системы 11 влв (2) в Сг.!ь ьв к!ве л(ы!СО свг., ятгя я Олфй:)и: овалы«м) Трявнени!о О и. г! ря !ьв, рсысй итогов и.
жно ииЫи и рго ение и! мо!ОП !.игтсм1„, Г) риме р 1, ()рняс!ти вгнсь! Ос!",!о систему х1ффере1иивль нзх )рав!н.инй ь! ==-ОО! — ЗО„ О,—.ь; 2ОХ я н: рмлл! и:м) нилу. сагь в вы!с И О О: — "! ря 21,, — Звт, -2!,г, 1! р н и е Г 2. ()(, се о! в исрсытьгн О с1!Ггем! гз!Ч~.; !Овиатьное 1)олово и р' =- а, тг! ьз 1У=с', и )! санси! г ор11од!,!Ся и нормаль. вой сиги*не т ры нгиг!П Х х' — — )гт(, $» сс ривер 3. Оессти систсир )рввссессссрс 2 ". с е. )3) тдо у сссть т--ест) к ср.
-" Бис ".. Со иоривео и с с)ье рсссиие ссссттосо„, «)1 р)вс)довс е)д) ов отри ",; )сееиссссссо е.—.-)) .- и'. Т)тсестсс иссеесс сод) сосс сссеивовис о'--хо'. Зсс.— со оссоио с сомовом вот сросо веди. РУСЙ фсив сс!и ) зиссо б) еесос, с)е д'":с!ех сс«тсо'иссс Ос * Ое систсо"; 4 с*' к!с!и Осс:- -: с'ед", ос ,От, со БС,с"- „ео)) )1 тс„ Оиредевсстссос, этой овссемм )с=-Ос 'е),'.- — 4е" " .отвисмс о сс)всв ири ле~Фоо А.,о Олерссьотеосоо. отис есор~ос ь', 8 о, оисте Ос и ., ссиретсомоссв о, иссдСМоСои с. с. Ье с.и сссо С)сССССССССС)) ССОО момио и сд).
иССТ Оврсс. РЕСОСИЕС ВСООСЕСИ О: ОИ д ~о СС СТСМЫ ХСоР)" Р: ОССИЕЛЬИССХ )ресссссси й )3), Ве 11)ТСМ СЕ ЕС)ССОсССИС)я ССБОЕСС!ЕтОСССС О И О С1ССС) МС ССССТСЖ' РЙфОС)тоси'сссьс) ьь х тс)сввисиир. ' Бс! РссссссссдсОтсх ссмсрсстсй лм)сссй Б Б)тссст)стссс(тве; 9 400. о , е о 9 401 ,' )с)со.';;срс)сссютьсые ) ББрсис)Б с ом сис смы зсосссьсссс. ООРМБ.
*Сд СДССИ сйС ТЕХСИСССС Риф)Д)тС Ии СР„*).СС)ЕХ С )ХО'С~С)~ йй с),409 Р" ..ъ: - " 9,403. о' )Р.. )ь ОА))1 .. с,' г', — -г' .' с,', с,' ..-с ', ))'. 9.406 о' — —: и ==с', г' ит -- ", ': ' — --'.)). НОИМЬ !СВСсси )сй:"И)ЕРССССсСО;:Си|Сои С) С,СР „СО С' 9,407.
))' =: --) -. 9,406. р' -:= 1-- -'-'-с-, д, ) ))Осв)СЕО ".Ь, ЧСО Ср) ИК ИИ С)Т Х,. О, Е) БББИХ СЛ СССГ Е ОО- ляестс )всс;)ссь.х ссс:;иоврьеь!х с с'с'схм) 9.4ОЧ. ОсО, О. Т)==-:: —" *се 9.410. ит)д, р,:)-:-. ' ) р" ' .-.", .)с ) ) р --.'-., 9А41. Т1'(~:, р, г): —..
р 2. Методы естес рировьиив иорнелм ых систем. Ьс иссс, из «евсвлючеи 'с иеииемтсоет, ис'! 'с ~ и смоет ' ессеи с )*о: иск'1 ир к,и» м) оси ссссососеисе ссисО сосос до имс срсии-вием.с овсссс)) нзвесп!ой фупюгкей а каждом. Вй осик зто из примерах «см. так() рицер Гч Байт~ юксы реюгьяе систцк:, дгффереьцизльных уран и'опк .ч«. 2 г -)гбч г (!) ~з ог(:г:яо з! зщ:е:яя г. —.-б: )', г: т"ом, сгсгемо ': «х ! пе ой пер !.Ч ! ' ! С~ —:;;.
ь:ою; быке рчж ю е юсююве . истом„дяф зр(') ! вико ! -' '! г, м" ю, !- ) Г.!УС уй' К Озчоч! !)ыопгое у -:.ч, г )З -:гг~з г, 4 ком 6п и лц я й ~ е ьг:г" сющ г с с. е я, *,'2) током, 1раапеиия, которое ьюжпо о!ч ььтегр ! аз:ь:. г,.лучи.ь псрвык интеграл системы. Всчщ поклгкы ч ьгзаьтккьз:т щ рв;х кптсгрслоз сксгечы (2), то нх соаоктгщосгь л*ег чмщя; з:о:рз:: згой системы. Ор н и с у 7.
Найти общий квгесрал системы дифференциальных. уравнений т(у г.(-га йа га — ехои Ж г+еь ' Их г+е" гы тфт и использовать следующее сьойство равных дробен если — . =.— =у, то прн любых ат„..., оа имеет место сооткг но ое т'о иопюкис ю1цт + птпт ц,, + оооо (И) о,:,-) цаов+...+цоо. Числа цо „., со погбнраютск обычно таким образоы, чтобы числя. тель а (6) был полпым дпфх(срекцкалом знаменателя кли яе зкзмска- ТЕЛЬ бЫЛ рааег! Пугктч В сооткогоспип (7) кезаанспмак псремеькая и кскомыс функции рааоопраааы. П риме р 8.
НзГггк общее !ющепис системы ураакекпй щг — (х, пх — т(г ~ — пг ' (у — лг Иф 3апгпосм систему а симметрической форме дх . уо гГг (у--лг вг — рх пх--юу к воспользуемся соотиоиеякем (3). Выбираем ц! =. ю, аа —.л и яз (, тот ~а ижсм г!(пы-(-пу+(г) (1 =7 т. е, г((глх+пу-)-(г) =!В откуда тпх+пу+(г.=С» е(г )гмиожнм обе частя второго уравнения скстсмы на е " и сложюо нх с соотаетста)чощимн частник парного у*рааненкя н с тожлестаом —.е-"г=: — е-"г, получим (е-"г)'+у'=О, откупа е-хг+у=бт, Зто перв!ай ю~техрал системы.' Теперь умкожкм обе части второго ураакеякя ка е-У н сложны гфеУ с рапеиствами — е-Угу' -:..
— а "Уг —, н х' = ), получим' г-' е" (е Уг)'+х* = О, откУда е "Уе+ х:.= Са. Это тоже поРаый кптегРал системы. Тзк кзк якобнаи системы е - хг+ у == С,, е Уг+к:.. Ст отак !ок от куля (проверьте!), то оба первых интеграла пезааксимы мено!у собой, позтому кх соагжупискть кеяаио определяет обцюс рсщсккс заданной снстсьп. уравнений, й» Для выделения интегрируемых комбинация яз системы (2) последпюю улобпее записз|ж в тзк называемой симметрической форме." г(ыт бут г(х 7ЛГй;':.;Ю ьо, ...,,Г '- ю'.
~,...,. о"'т (у) 4 Бод аод. Л. и. Еаякооа, ц. П. демааооича ЛТЬЯЯОРЬЬ аиаы ОбРЯЯОМ, амблРВЯ жь =2», аа =2Р И ач--йз, ПРТОТОДИМ К РВВЮЬСТВУ Ь1 (ЛЛ+Уь+22)=О, ОТКУДЯ х' ф иь -р Ть -Оаь- (10) Соотиольеь ая (Р) и (10) ььбь(ьчль !от дяа гераых иььтегральа системы, иеииио Оорськзяьоигах Озьисс теиккьж. ))я Наньн о(ьььтьье рерзення систем дььфференщьзлььььых урав- нений; 9.414. -" — — —,, — '; йь' х — ьь лу х — ь йх 9.415.; -= —, — —, --, --,— =-х — улр(.
ь,ьт 2 2 ' й( г — 1' 21 9.4! 6, 9ефа. -' — ', -- '; =, .'"-',,„ 9.418. 1 ) игл — х-р 9419 йх ль 'ь а Найти обц(ее решение спстемьт диьрь)ьсре1ьцнальнь,ьх урззнений, а также ьастиое рс жение, удьозлстзсьряюц(ее заданным начзлы ььм условиям: 9,420, —;ь — --, -'„-"--.=---' —; у(())=:=. — 1, 2(0)=-1, 9.422'". Ллья ьик темы уьььКС(ьсьььлььзлыьььх уразиеннн йх х" - 1 йл и'1 и ' гй — — и ь)ьт нкцнн а) ьр,— (а+2ху: б) фе.— х"--(у нротнрьль, янляются лн своьноь.!синя у ь . С (ь', (ь 2) 1ьс(ьнььлььь ььььть*ьззлзьць з.ой ь.ььс'!ел!и. 3. физический смысл кормальиой системы. Пь я лростыы огра!а ььж я ржкмсьреакем сягтемы дяух дьчьй(ирекььььь»ььыл ургьььььеьььььц грачем Оулем ь(!стать, ьто яеаааискмая иерем!якая 1 !ььь, аречя; х == ььь (1, х, р), у 1ьр х.
у). Рерйсиис х — ф р), ь, ь( (О жой сяг смы е..ьь лсьоторая яркаая В ИЛОСКОСтК РЛУ С ЬЬТЬЬЬЬЬЬЬРОЬЬЬЬ ЛОЯ, СЯВРЬОЛОй ЬЬРЯМОРТЬЬЛЬЬЬОй СЬЬСЬЕ- мой коорлиилт. Плоскость Охр ььаьььльаеься;'ксоеьььь ллосхастыо, а кри ая х:. ф(1), у== ф(1) — фсьлоачь ьгроеюлорьлй системы ('ь(). 98 ваььа сьььчельа П() киаыкаотся аияамлчгсяой сисьиемой. Дкиамическая систима яалыяастся иелюоомкой (сьлоььььеььоряоьц если В орал!ее час!я урааяслка ьтой слсьамм Время 1 ь е входит ляиым образом Пяь л.гческал сисьема О:!реж. Яет гож скОьь 'сьеи дяякьуижйсй В ЬьЬКЛКжЬЬЬ ТОЧКЛ В ЬЬЬМ~СЬ) и Мы. Врсысяя 1. РЕЛЬЬЕИЬьг ЯЛЯВМЬЬЕ- ской жкжмс х —.х(1), р=-Зь(Н вЂ” о ураииелия дяь жеияя точки: ыж огдьь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
