А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 8
Текст из файла (страница 8)
4'",' б«й(а год и о до та ко а к к. Положим у(х« =-и(х) и 'чья 'уразиаоиа (7) прнао,нпся и аиду 7би 1 у из и « -- — Р(х) и7«+~ — и — «2(х«) =-О. (Ых,) с г«х ) <»;,"',.". ВыбеРем 6уикиюо и (х) так, чтобы исраая скобка и ураанснпя (««) обратилась и нуль. Для чтото кктс~рирус :~-.,:;,:," .а.разделяющимися ларсмсикымк йи — — Р(х) и —.»О ' г«х ~,"'«ьч*,",".,';:,':."~»«Ы'.' з~лбнрасм какос-либо ~затяга сто рак~сикс и =-и, (х), *";1=' '.-!~'::':!4~у»1нккго и1(х«вместо и а лсаую часть урааиснкя (1 ,."„"-~~ .!! ',;:":ураиисккс с раздсляю»|нинся аарсмакиыиа откоситслько ф й »«х — '-, (.) — Е( ) =О. ;";,:.;:;.!,".',*':! Хйаходлч обпсс рсщскнс итого у«»анискин с =и(х, С«. .';«!!*;*;~;.'»)тайдсгщыс фуикикк и,(х) и с(х, С«, получаем общая р )~)::~~:," .!'.",:.йбнйя (7) г р =- и» (х) и (х, С«.
П р и мор 8. Рсщить урзанскка р" «усгй х+ыпх. «ф Прнмсккм метод ззркацки исстояг«кой. Рассмотрим си ;: ".~':-:;:"';:::;:.::натстяующсс одиоролисс лкнсйиоа уразкскка у' =-. и стй ю 'Вго общее раинюнс у=С з«п х, Слсдозатсльно. общее ря ного,уранроикя нпсм н анас у=С (х«з«г х. Подст . у'=С'(х) з«их+С (х«соз х з даююа урзянснка. С' (х) з«о х+С (х) соз х=сгйх С(х) а«ох+ з«п и, атвуда С'(х) —.. ), и тогда С(х).=.х (-С, Следовательно, общее ресае- ние уравнения сеть р- (х+С) зтп х, 9И яз П р н м е р б.
Реюить уравнение р' —.- 2хр+3" ° 6 Псрспныем урзвнспие в виде г(х 2Х 3 г(у у 'аз гтх и заметим, что оно линейно относительно х и —. Ресиим его мего. гГи дом по»стенании. Половгнм х — иг и пригоден уравие сае к виду ((2) Наедем фупяии~о и, Я, рема» уравнение би 2и 3З и выбиря» из его сбгпего рсиывяя а=- из+С о»во и отиса репгегес, например.
и, (р) .=-.рз р(олставлви и, (у) в уравнение ((2), аалу гим: гтг 3 А 3 -- ух — — О, или йу рз ' ' йгт уз 4)биссе роение етого уравнении, с(а, С)=,.С вЂ” — „. Псрскгноигая ит (р) я г' (зп С), налтчзсн Оссгее реигг пие даииОГО урзя" псвйгт: х=.Сà — —. 1ы ,д ! Д Реоып ь дггфференцнвльт1ые урввпеиигг." 9.67. уч р 2ху=-хе-". 9.68.
д'==.'— +х, 9,69. у' 4 у $6гх —.— „ Зр,, 1 соз Х 9.79. (1-т. хз) у' —. 2ку "(1-, 'х')'". 9.71, у'+ 2у=-е'.". 9.72. у'+ -"- -.=-2)ох+1. 9,73. у' =-= — и-. +ох (х+ 1)'. 9.74*. у' =- - ~-;. х+( ' ' ' ' *' х+ур 9.76. (1+уз)ал=(ягс(цу — л) г(рь 9.76. ху' —.у.(.хксозх. 9.77.
Ху'=е'- ку. 9,78. ху" + х' —,'. хгт:-=у. 9.79. у-,, 'у*)гт'у — (х (-2(оу1 у*, 9.60. у — у'.== д'+ ху". 9,81. (х+2у') у'=- у 9.82". у" -(-16 у = Найти язстные рени ння ураяг1еог й, удовдетноряиацно зиданйыи нзчзлвлозы услобниы' 9.83. у'-; ., (ух 1,'созх; у(())-.-0 9.84. у' — 2у ье' — х; у(Э)==-1)4 9.86. у'=у,'2уроу-, 'у — х); у(1).=-1. -:,'г' б.
Уравнение Берием. (сра;яеяисм Берядлеи называется,зяб'гдо ферекцггзльяое урзвпгяяс ( гс сердися пнда з'- Рубофб(х)з"", ()б) где гл гд о, гп „': г (~ ря л — о урзвисягы ((б)»алле .н лниенным, ггб)т,,;з б прн и - 1. Пземог1сч с раззелгзгзпюгяся певсмсги,*ими). Тан жс, яы. и линга и.е, уреггигиис (Зергг)ллп,мгяис правите грнровпь с псн и ыо позсгагювья у — и лг: овестя я ляггекиому .1-:;.";;;;:"" уравнению с помглггыо пызгтзионь ~ г —: -' Следует учесть, что П р я и с р (О, Реип гь урзапсяие у кт «4 ПолаГая З =-агч Гриибдят! уравнение к панчу (би ит, Угл х'' (Н) ,ух х У г с~к и Из обигего рсьыняя =: -.Ск т рзюынпя Зк х ' выбираем одно частное рв~испис, п,и:("тер, иг -Х.
Подставляя нт в уран»ение (~4), полз»зон аонае траансвис Й~'.!","';:. 'х —:=О, изв '-';.==-., Сю счч гы: реыепяе с . 1' 2к,;- С'. Персмяоиыя и, я ы полу ~вен отливе реыепяс исходного уравяе.;, '('; ~ф;,:;~г:",:нгги' у;: х )г рк + С, 9ь П р е и ей ( (. ('сгчить у равг си не р у ус 2гу ,*"ур::4::г«6 Эта уравнен~с ес(пухли с и! = — (. позтпкгу полагаем х-.уз гг .~~,'„',-,:.,'::.,:,-:-,.:,: Эрвв.д.ы ур,.нонне н виду к урзвныпи ыглсятси линебсп и 1'еи.вя оыыродиае ура~гпеиие 3 —.Х)х, изтодян з — 'Сх. Отсюда истолоы взряаиия сас1аяяяаи, 'г. е. полагая з=.хс(х)„получаем обнес реыеяие линейного уравнивая я виде ИЛИ ОКОН')ЗТЕЛЫ)О) с уз-: х1п —.
)й Рец)нть д)тфференциальные уравнении 9 66. д'+ 4хд=-2хе-)' згд. 9.87, с1д=- (дке" — у) Дх, 9.86. д'=д(д'со. х-( (~х). 9.69. у'=-ус(нх+ —:--. 9,99Я. у = —, х (х'+у' — 1) 9.9(, у* — — —,— - — ' 2у (ха — Ц 9.92. хд*+ у=. 2х'у1ц д.д'. 9.93. у'х) з(о д: 2д =- ху'. Нанти часы)ые регпенпи уравнений, удовлетворвн)щнЕ виданным начальным ))словиям: , 9.94.
3)(у =- — (1 4. Зд") гу з)) х с(х; у (п)2) =- 1. 9.9$. дсст ) ~х — — х)у)с(у= — -О; у(!!2)=1. т. Уравнении я полкам дифференциалах. Диф)1сренциалю)ое ураимяис 1 о. порялк ) апаа Р(х, у) да+ 9 (х, у):1у=.—.,о (16) называется уроаьсняик е )юллык до)с)(еренчиолах, если его леаая часть яц)ясця полным лифф)ереицкалом иекотор))й функции () (х, и)„ до' д(2 Р(х,у).= —, О(х, у)= —.. да ' ' ду ' Для того чтобы урааиеинс (16) было ураанеккем и полных дкф.
ферепцмлах, псогбхсс)нмо и лос)аточно, чтобы е)л)олпялось успение дР Щ (16) ду дх Если урзе)мкпе (15) )сть урпепеяие В полных лпфх)аринина)тах, то оио может быть записано и инде 612 (х, у) -О. Обцгнй интеграл етого урагнеиия: О (х, у) — 6„ гле С вЂ” произаолькзя )юсц)яипая. Фупкцкя 1) (х, у) может быль язилсиа соилу)оп)км образом. Инте. д() грнруя рааекстао — Р(х, у) по х прн фикснрояапном у и заме- дх полу)нм функ- лена с точно«тью иск об)лего нктеьчу нз функций ит я яычяслецип к, пнч лежат и обях частных пряная точка.
'е я полных дяф)" урапне)гяе есть алесь пипюм 1пх, т (пс и, следоаа- 'г;:;,'2(аЯ„что пРоизкольнан постокикаа и атом слУчае () (х„у) = ~ Р (х, у) ах+ ф (у). )~~,',"!'')Зятем из раесистаа ду„. -'-) Р(к, )д+ф" (у)=:Е;, ) ,~1,:.'." .;Находим фуккпюо ф От)), подсгаиин которую а (12), гтию () (х, у) Очевидно, что искомая функция () (х, у) опреле до произяольиой еыдктиакой постоянной.
Для зап трала исходного )1зепсиня лостаточио аыбрзть о )6))т: получаеьюго с)мене)аз. Другой метод отыскапкя ф)икпни ()'(х, у) сосго крияолнкейиюо ))).)стрела 2-го рода (см. гл. 1О, 4 2, )к. а) Ц(к, у) =- ~ Р (х, у) ух+О (х, у) г(уо;, а>) к л л .. ~ Р(,,у,) д,+~ ()(,,у)ау=-~ 1)(х, у)д к и, а тие точки Ма (к„, уа) и й((к, у) и путь иптегриропа лести кег)рерыивосчй функций Р (х, у) и 9 (х, у) и изеодиых, причем Л1е (х„, у,) — некоторая фикснроазн П р и м е р 12.
Реюить урааиение и -'- ух+ (у"-1-1п х) ду =О, х ')1 "-'„;":::;претнарителы)о убедиашнсь, что зто есть урапнею .'Ймрснцпалах ) с)~!:.."!:; 'я6 Проверим условие (16) дР д)'у') 1 д(е д — — — — — --=- — (ут р рок)-..-. ду ду (, х ) х ' дх дх :;-:,': ." Условие (16) яыполпено, следовательно, заданное 2 .;))1)"';,—:;:::у)раянение и полных ли)рферекцкалак .У"'' у ',~~'":,!'-; ":," . Найдем фу цию (' (х, у), Перяый способ.
Ии)сгрируя по х прн постояю д() у ==Р (х, у) == —, Ох '' х' 1)' (х, у) == ~ — ах+)р )у) = у 1п х+ )р (у у *')е ::~:;-,;; '::-':;::.Заметки, что при яычнслении переообразиой мы 'л.'":"7'.;.'„:.."Ис(П)й 1п1х(, тзк как исходное ураняенке содержк ч)слепо, имеет см)аел лиюь прн х л О. Подстазляя (18) е разеиспю — '"=6(х, у)=~+(пх, )лл»+лд' (д)=ух+1!л«, 1 хр(д) — 4 уз+С . По«азана, например, С, -О, находим из (18) и ()О) » 1у (х, д) — у рл«+ — д».
4 Саедонательпо„общий интеграл заданного ураансння имеет аид 1 д1пк+ - у» — С. 4 Второй способ. О (к, д) ==. ~ йх-'„-(утай илх) йд. ки П ' р р к .-1 у -О Т дз р(к дл)-:О и 1 4) (х, у) =- ~ (ут -р1п х,' г1д . — уз -1- у 1п х. $!и $хеггли л ь дис)хрерснцналтилые уравнения, предварительно убедиешнст, что опн ивлгйотся уравнениями в полных дмс)лферен пиалах: 9.96. (2х+ у) с(х:, (» ~ 2д) г)д = О. 9.97. (!Оху — 6у+ !) с(»+ !5»т — 6»+ 3) г(д,= О. 9,90. (Зх'-р Оху — 2у') йх+ (Зхз — 4хд — Зд') ау=О. 9. 99.
~ у + —,'- ~ й» + ( х — —, ~ с(д = О. алз+ д укз+ г *:. олгт 9.$06. — йх — — — '' ' с)(у=- О. дз уз Э. $0!. ~...: ==.-+ у ') ух+ ~х + — — -- ..=--.) с(у = О. т з у' 'т лл у" кз уз Э.$02. (2»--уе ") г)к ', й *йл, — О. 9.$03. (2»+е'»)с)х+(х! — — )еы»с!у=О. 9. $04. 2х созз у с(х+ (2у — хз а,'и 2д) пу = О. 9,$06. ( х)ну — у»мпк ( — ) лак+ ° х соа у+ соя х —. ( ) г(у = Ол В. Теорема сущсстаоазнкя н еднкстаеиностн рещеиня.
Особые реимння, задачей доили длн дщ)фсреникзльяого срази«пня у'-.-)(к,д) (Влилдынаегся задача об отыскании тесного рещещщ зтого уранию..ия, . доилетяоряюлпело аадзнному начальному условию у (к ) --у, Т со р е м з Котик. Сс ' здиФФ«ргияиакь о ур е»пт д'=! (х д) „'лт)$Углхнил )(к. д) »лепр«Риала а лхкотодглт области О пкоогости Окд "«„,"М."".,'нинетт а втой области о 'РапичаниУю часп'идю лдоимодкдю )л (х, У), ;:; '!)ги)для любой люми (лги д») Е с а иелолкром л ктсреакг х, - а~ко е',!'. (К»з+й сдисестлУ«т и адатом едлгпстгнкисн Рсимпаг У (х) атоса л",!".!уримиъил, удозлетзорчюиуг л~ачакью,му условию у(к,.
д Геометрически вго значает, что через каллдую то;ку М области .~"'"!$) п)лоходнт олнз и тол ко одна кнтегркч3 кзз мрназя у'раап«пня ".::-11' —,— ! (», У) Точки области Р, а ьонлрых нарущается едлп~стзгниость рещекия ~акадачи Ко~аи, пазыаеюгся особыми точками дифференциального . рая!д~еитля. реал«яке (нгтс' р.*. и, я кркзак) уразнсщ:я у' =-) (х, д), н кащ ;С,'.:,"»(уй толк«которого ч.
р тз,т: я е:ннстаепность де~пения задачи Комн ',-Вфрыазется талым рсшеликм (.'-ооой икглсеральпой кража) втого "ИТ)$аинекия. Особое 1«лп кщ пе мотя«т ныть оол: ~ено кз обхпего нн '-'Нгри,какгьт знз синях С (зкл» щя н С =. + со) Огислающзя семсйстза нотегральпьщ кривых определяемых обптим '"*усвоением гг ...лр (к, с) в ~к общим кнтегрзчом бл (х.
о, с) — О, яплясг«я ,:*;фсйбой нпгегрзльпой криьой. Оиа находится путем ясключення, сели -„;-.'а«то,яозможпо, параметра С яз системы да) х у разнекнй у..ф(к, С), бл(к. д, С) - О, ил н О: рс (к С) ' (Рс (». у, С) , О. ''~'р)зад«мну»о тзщ,м путем функцщо «лсдует пол«тяпать и данное днф. ,~йрсрсллл|ияльпос уран»:ение и убелиться„что онз яплястся его рещеннем. Пример )д Нал)ти об;ать, а которо»1 урзалщще у' = х $« 1 — уз .,лс!яа)еет едипстасп нею рс.,» ал е. 'лЖЗ~~' )(к у) .: $» 1 — кл — Фзякя мс 1«рыппал при 1у!»' ;м$етиая хр кззодипя !» (х д).-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
