А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тонкая пластиьька имеет форму кругового кольца С РаДИУСаь»П г»»г Н гс»е (ге, < ге',). УДЕЛЬНаЯ тЕПЛОЕМКОСтЬ пластинки мепяг"ься по закону с,=-)ху(, плотность посто- янна и равна 7. Найти количество теплоты (Е, получен- ,':Ной ПЛВСтнПКОй При ЕЕ ИатрЕВаинн От тЕМПЕратурм !е дО =.'температуры !а, 8.!07й. На тонкой пластинке, имеющей форму пара:;-болического сегмепьа, ограниченного осью Ох н парабо, лой ах»+)ьгу=)1', распределен Влектрнчегский заряд с по ,:„'уверхностыой плотььостььг» О= 2х ) у. Найти полный заряд Е .! йластппки, 9 2. Тройной интеграл ). Тройкой нн»еграл н его йычнсленне в Вез»ар»оных прнмоугохькмк йоорлйнатай. ТГ»оппым п»»п»егп»»»»»н от»»е»»гепыакс»й фун»»пйй 7(х, у. г) по ы яаййпапыа замкну»па простгыктаыьноа областй Т ее»В:-„" назыйаемй предел меле»паательпосгй сс»»»т»»етстараьдььх йптегпальм»» "~;;! -,,; Срым пгн ось»»»оп пан й»»)л»с» йанбольикГО нз М»»меткой и» зпемей,»,'!»:!Астнр»»ы» облзсгсй лса.
ес»й зтсп пге»ел пе ззайсй» йн от сж;с»са ',„-' рхзбнепнй пбла»-сй» йа элементарные .»оаобласьй б»х, йй от выбор. »С*. НРО»мй»Ь ГО»»»ЫХ )Н буог=- 11 ~п )(ХЫ ум~~)б Ь (1) ех»а ех Гас (»»и пь гх)баса. '1срез лоь о»ознапаетсп как злеькйтзгььзй Ф',::. обдаст».. т»й н ес объем. Па»лстйз»роа~»ы» й»пегрыйз анапогн'п»м сахикхнйм дылгоых йюесрзлой Вьеьйо»с»»ье »1»»»ььноьо йптсгралз а дсйартоамх йо»р;»попа» см дйтрй й йоследоаа»ельнпму йы»нсьеййю од»ха о»ыпсйгз»його й»ы»»от лйойпоьо айте»палое н.»й и йы и»еле»ь»»й» ьгех»п»»п:йра» ь»»»»»»теть з Вбтпь Еслй, йзпьй»ыр, обз1асть йптсгяпьюпзйпй Т осязай»ейз с».*нз» нойепм:осьыс г чь (х, У), спея»У ь»оась»х~»»»ст»»о г» мй»(х, Я) (сг, (х, д)- ем э» (х„е)) й»' » ойм ! 1»пмь и пнлй»»гь»сей, мпсййсм кптпь»ого ~ »сьо.
стььо, ьыраласлый В пл»сйосьн О»у, »ьл»»е сй с слыть б, то тгогп»оя йьпсг;п»л 11) йыейсльетсй по фоь»»»)ле е,!», ы ') ) ') )(х, п, г) с»хпьь»г — ( ) с)хек ~ )(х. В. ) Дг. Рй ;1",'с . т " о е<»х,ы Запнсынай дь»сгпыг ьйзесгал пс облзстй О *ырсз ода йз повтор кых, полу ыен ~~)(х. )ь г)лх»,клг —.)пх ~ )у ~ )(х, ьл )«'г= г е м (х) е б м х, В » Е, 1», г) = (»)11 ( лх ~ )(х, ьь ысг (а) »» ПП Е 1». »д Пр н ме р 1. Ныпнсмнть 1 (") г»)х»11»бг, есль обметь Т огра йчыьз плоскостйма х.ь-у,'-г.-1, г=б, у.=о, х=- О 1 1-х 1-х-а Ц ~ 2 дх да де =. ~ (х ~ др 7 о о аа') дх ) г дг —..
о ! 1 — х ! (' да 1 ( 1 д ) х д 2,) (г дх=- — дт (1 — к)г дх .. бд Расставить пределы интегрирования в тройном инте- грале 1') '),1(х, у, г)е(хг(убг для указанных областей Т: 8.108. Облас1ь Т вЂ” тетразд~), отрзпяченный плоскостями 2х + Зд+ 4г .=. 12, г —" О, у =- О, х =- О, к' рх 8.109. Обласгь Т вЂ” ядедтреииость эллиегсоида —,- + Та + г* + — ==. 1 8.116.Область Т ограничена поверхностями у*+2га = 4х, х=-2.
8.111. Область Т огра1п1чена поаеркиостямп х'+ у*=-г', гам 1. Вычислить интегралы1 х зх еа« 8,112. ~ е(х ~ е(д ) ге(г. 3 ах ' гехк 8.!!3. ~:е)х) ((д ) 2((г. о о а а 1 ах г (а-х( 6.114. ~ 11х ) у е(д ) е(2. 0 а а х 8.115. ~ ') ) (к+у+ г) е(хо(у е(г, где область Т-- тетраэдр, ограниченный плоскостямн х-, д-,— г — и, х=-б, у== О„г=-б, 6.116. ~)) хдгг(хе(де(г. где область Т ограничена по- верхностями у--.х', х=у', г==ху, 2=-0. 2б 8,117.
')1 ~ (хх-,' еех) б«хдде(г, где область Т ограничена хди«овердностязги г=«дз — х', г=-б, у===1. 2. Замека керемеикык в трояком интеграле. Если в трояком ч ~ ( '( ) (х, у, г) Ь др аг '-"'(! нароизаодитск зах«ека коре««ехиигх ко Формулам к — — х (и, т, и), д,ад(и, с, и), г — г (и, х, и), прячем фуикк«е х(и, е, «х)„«е (и, о,м), г'=-(и, а, и) ск утк««лы,кате ьзаккко одкозкаккое отображекие сдл асти Т КР«гстРа««стал Ох«~." кз ~о~а~~~ У„к)кхтрае«стал О,иска и икобиа«« "„. вреобразокаккк ле обрмкаетск а куль в области Тг. (дх ок сх ~дй да йа (др др др едллаа Формула ), х «(адг-.=.. е укотребклелъкымк из к, лилккеккмх коорлкчат кклк«отея «ческке к«орли««атс«е, «р, г (р'к.
63): х=есоз«(., р.==х зыдч : т-" Р м. аа г — г, ккобкаи которых У =-е, и сфедические е(длика радиус-вектора)« р (долеотз), а («р а)(ркс, Ю): = «Ч . зО, р= -. к г.=-ез1к а, кксбкак которых ! =-е" соа О. Ф«~рыхла (4) кркккмавв йг '.фй.:: то мерла ,ьф-::,:. ~ц,е(х ;)'й чиле«ядр« = ~ ~ ~ 1(х («лечит), и(««, «ч аз, г(л. о, к)) (( («ы да а«еа. (4) соотватствеиио впд ~ ) ~ т'(х, у, г) «)х «)у «)г . ~ ~ ~ т («соя р, гара «р, г) т ахи р «)г (6) т 2; ~~~ 1(х, у, г) «)х «)у«)г, =-~~~ )(т«.оя«р соя 6, тип «р соя О, тип и) т'соя О«)г«)ср«)О. (6) Пр н ме р 2.
Перса.«н к цилиндра какам ко )«д«««««««таь«, выавклить )) г ртх' 6)тв«(к«««««уг, тле область ть»да»«а кераясатвзмно= х 2. т 0 с-"у-:.Рг2х — хв, О ад ге, о (рис. 90), «$ таа как )равна««ис у=-рг2х — хв в ннлииарииескоа скстеме кооряинат принимает виа г=-. «.2«ояу (0«: «р~н,2), то по формуле (5) ~ ~ ~ ргхв ) у»г«)х«)ууг = ~~~ т»гдтд«р«)г' — '...
п2 '«.Е«»в а а и:2 2««»«Г ав = ~ др ~ тв«) ~ г«)га-- — ~ «ар 2 О О 'О 'О Оав ~', 6 9 — — соя»2««ар = — пв. Вь О П р и и с р 3. Псрсйлн к сферическим иоордиааалн». вычислить ~ ~ (хв-(-ув) ««ад ««г, сслн область Тесть полу«пар хв ! ув-(-гв~тсв, т г сь О. «В Ллн соласти Тв протеям изменении сфсркнескнк координат суть: 0 . «р»=2л, О~О~ л 2, 0~» и:)с. Инес»«по формуле (6): ) ~ (ха +ув) «)х «)у«)г = ) ~ ~ тв соя'» О »в соя 6«)г др «ГО гп нл Л 4 066~ у.=- и, 1м 15 Вычислить интегралы, перейди к пилиндрическим коОрдынатам: В.118.
~~ ~ дс(хс(де(г, где область Т ограничена поверхностями х' 1 д' — а', г — -- О, г Д. 26 В.119. ') ~ ~ г е(х с(д дг, где. область Т ограничена поверх!:::;:"В»остями х'+д'=-г', г=-а. уз ь 3-в* Ь'4-л -а' В.12В. ~бх ~ (у ~ (г. О о 'и эчтз а)ь у ." Ов «у» В.12!. ~ с(у ~ с(х ~ )т х'+ у" т(г. о а О а ь ~/ха « а — 2 а«- «» а « В.123. ) т(х ~ с(у ~ (х' ту') т(г. Вычислить интеграпы перейдя и сферяеческим коор дипатам: ва««. (((»Р«-в -»«»ьа»в*.
в а т — ' ат реииость епаропого сектора с нентром в начале коордуиат,.радиусом и и углом при верен»лье 2а (О«<сг< 22), если ось симметрии сектора припять аа ось ()г В.125 )) ~ хугве(хс«(«дг, где область Т ограничена ча-~~'-;,:,: "ст620 сферы хв '- у'-'; г'==1 и координатными плоскостями ,"~;-':,:.";:;;-;: (Х->О, у > О, г с» О). В,12В. ~~ )) = — ' —, где область Т вЂ” сферический ";"' слой между поверхностями х'д у" + г'=а'„х'+ у'+ :..:, -+.гв= 4ттв. НФ 2 3'~; т И*-»»-аа В.127. ~ с(х ') с(у ') с(г. о О 2«х«»»« а 3/а«-к» Ь'а«««2» , В.12В. )2(.
~ г(у ~ ге( . О О О а Ри-.-х* и'6 -»«-у 2.12В'. ~ б ~ (д ~ Р'г бг. и' ил~ „в о $, 1)унлюмеини туюйиык нито«униан. Оааеи у ироетранспииноя овластн Т равен у=Ц1нхауа т Моего М тела с перемепной плотностью т(х, у, г), азиниаюн(его область Т: М=- ~~~ т(к. у, г) г(х«гуг(к Сгпптичеслие ломаным тела относи«ельни яоорлннзтных плоско- атег)г: М «« — - ( ( ( лт (х, у, г) г)х г)у ох, М:. ~) ) у)г(х, у, г) ухо») Нг, М « —.. ) ) ) хт (х, у, г) чех лу ггг, Коордилюглы Чентро магм гела: М«» — М»х — М».« М ' М ' М Монелшы пигрппи тела отиошггельгггг села иоорлииа~".
l» — ~~~(уз+ге) т(х, у, г) г)хг(уг(г, у« --- ( ~ ~ (га+ке) у (к, у, г) )х г(у ог, ) = ~ ~ ~ (ха+ у«) т (к, у, х) и'к г)у г)г. Г (( р и м е р 4, Изени координаты центра мясе полушара ««+у«+хе»» гг», х,»0, если плотность а наыкоа точКе ПропоРцно- иальна раеетопннго от точки ло центра. «3 Имеем т(х, у, г)=-Ь)г к«) гр г.г» и ислелстпиеснмметрня х=у=о, Вычисления пропелем и сфернчеси«гк коорлинзтхю М, „=:.
Л ~ ~ ~ г Гт х' (-у' р г' г(х г(у г)г =.. Ь ~ ~ ~ г' з) и 6 соа 6 «ГГ г(яг ч(6 —. т т, е; п)г и 1 .=Ь~ )Ч ~авв ззвув~гча.=»-Ьж', = 5 о з о М=-Ь ~~) )»«+у«+г«пхнула — Ь ~) ) «»гозвД«г(грг(0=. гп и)« М„и =Ь ( Н~р ( еоавгВ~Г«г)т — — -Ьит(', г=- — = — — „Я.
2 ' М о о з Таким образом, а ~0. О, — Й) . )6» 5 30 :., "»6.136. Найти объем тела,'ограниченного пга)ерхнйятями г 6 — хе.(-уе, г — 2(х'-; у'). у — х, у«=х. 3.131*. При каком значении а обьем тела, ограничен.ного поверхностями х'-+у'=аг, ха 4-у'=--ах, г-,—.О, равен ( "::" )(в»иному числу уз 6.132*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой 'йоверхпосгьв (х': д' 4 «')'=-2ахуг (а > О) 8,133". Найти объем тела, огракнченного замкнутой » ха у«гэ т« ха у« пов»рхностьиз ( — ! — -; — )» .
ь ° ) ''о ' ь'' 8.134* ° Навгн объем тела, ограниченного сферой да+уз 4 г'=-4а' и параболондом х'-( у«=-. Эаг (внутри параболопда). 6.135ю. Найти объем тела, огрюпгчшвюго замкнутой поверхвостьв (х'-', у«+ г')' =- азг (а ' = О) 3.136. На«пв массу п среднюю плотность тела, ограниченного поверхвостячи х" ( дз — г'== а'„г =-О, г =-а > О, «слн плотность в каждов «очке пропорпвональпа апплнкате г н в плоскости г-ма раина ум 6.137.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
