А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Особен3«остью настоящего сборника являлся включение В кего задач, требую«цих в процессе решения использования ЭВ33(; з3и задачи приводятся и со«пве3с«ву(схц3«х разделах. Далее, теория Об«цих фуикциоиалы3ых н степенных рягов излагается с исполь«оваиием теории. функции комплексной перемениои.
Такой п«ц(ход, иа каш Взглид, позволяет лучше понять сво33ства степенных рядов, представление функ«шй стегеииымп рядамк. Для тех вту- ВОВ, В кы3О(«ь«х изложение тео)уии рядов Ведется Отдельно В д«чктвнтельпой 33 3«омплексиой О«33«астях, В соо«вегствую" шнх 3«у«33«гах й 2 гл. )2 приводятся сначала задачи на ря)(ь3 с ф)33к3шямн 3ийствптелы3!93 33ереь«си««ой~ а В зада" чах й 3 переменную г мож33о с«3«ггз3ь дсйс«вителшюй, т. е.
положить а= — х. Как и В первой чос«п, начало рспюипй «Зримо(«ОВ и ззйзч помечз«.'.3си знаком м, коим( — з33иком Ф, началО указаний 3«зп)3«г3аы — з33ако«3 ° . КРАТН!)йЕ ИНТЕа РАЛ!3$ й !. Двойной интеграл (, Свойства двойного интеграла и его аычнслсние н декартовых прямоугольных коордниатак.
пусть фуикпкя ((«, р)=-)(Р) спрач. лека н иепрерыьиа иа замкнутой ограягыгкиой обласги 6 плоск«к«к ()ху, о=-(боа, Лом .,,, ЛОД вЂ” пскоторос разбиение обж3сти 6 иа алеМеитарные 3мдобласги Лоа„«мсдиадк КотоРых также обозначим через йод, а "иакстры — черта «)л. Заф«кскруем точки Рх ц Логе й = 3, ., и. Выргохскис иаамаается ккт«грал«кой суммой для фупкаки )(Р) ло области'6.
Вели сжкестауст предел оккледоаателг кости интегральных сумм о„ при п3ах «)л — еп (прк атом л — ««с) и сели кгот «3релел ле аааиспт 3 ЫЛ<ч йи от способа разбиения области 6 па елсмситаркые подпола«т«3 Г«оа. ик от выбора точек Рл ~ Лом то ~ и ягмыаастся «Чс33««ын 3«чгпгграх«ьк от фгп3кпии ( (х, р) п«области 6 к обозна гжатск чсрса ) ') ) («р) их ну. о" Так!3м об(разом, 3' г ч ) 1 )(х, К)ох ф.=-: Нж ~~' )(Рх) Ло;, ,. хах о «=3 Лля лаойиого и3ыеграла спраыллкаы саойстаа лкк«йаос«и и алли«ясности («м.
залечу 8.3). Выч3клеик«*,таой3!ого китс«33кл33 сабли«си к аычис«еяк«о ион«!ьр иых и3«тсг(«алое сле33у3о«к«««3 способом. пусть «х)ласте 6 (ркс. Вп) огра3жчепа хркаыми р.—. ф, (х), р.=ф«(х), х'= а, л — — (ч при'жм асхг«ту на (а, а) фУикиии 3Р3 (х) и ф, (х) иепРсРыкны и 3Р«(х) чс.фе(х), Тост«а ев И причем сначала аычкслясгси аиттреииар« интеграл по переменкой р (х — 'параметр), а полученный реаулгпат шпегрнруетск по х.
Заметки ори атом. по если кривая р« (х) (клк крияая Ч«т(х)) и промежутке ачцхчцз кидается рааными аналитическими Выражениями„ 9 «Р«(х) при о~хм с« е««(х) =. ч«« '(х) при» < хо" Ь, а )') у' ы! ук 1 'й )«т )«а Ркс. ВО Рс.а! (О то интеграл спрана ааписыаастск и киле суммы дарк н)«тетрадок а е)») с кт )«.) ь о)ь ~ »)х ~ ((х, у)»)у.- ~ »)х ~ ! (к, «Д»)у )-~ »)к ~ )(х,у) «)у. и ф,)ы е ело )„) »,),«й«)к) Аналоги «ио, если область 6 ограничена крнаыми к=«р) (у) х=фч(У), У. », У- ь«, причем нсюдт па [», д)! Фтнкцми т)«)(У) и «!«(у) «««««рсрык)««к н Ф«Обсев«(у) (р«)».
а!), то л а )е) ~~ )(к„у) «)х«(у.== ~ »)у ~ )(к, у) ух. (2) о » ф, вд даой««ой интеграл, предстаалениыа н аиде (!) или(В), иааыааетси так)ке псе)«нр«иам ингегрк«пм. При мер !. Расстаинть пределы ннтегрироааиик карми спосока байи н еыимлкть даоа)«ой интеграл ! —.. ") ( — Икар, если область иптегрнроеанки 6 огра)«нчы)а линками у=-.к, у=.—, х=-й. мр Форма области 6 (рнс. 32) поаеолкет применить Формулу (!) прн Ф«(к) =- —, Ч«е (х) =х, а=-(, а=в) Если к»с длн нычнсленик да««кого интегРала )«рнмеинть Формулу«(х), та след)ет полок«кть ! — при — ~у „), Р) (У)= У ' ' * 1., (х) -- з, у прн ! С ум.2, с)неладно, ч«о перный способ аы«)«»««е««нл и данном примере пеле»осе. Р Р В П рк мер 2.
Иамыноь норклок а««егрнроаа«««)к а )конторки«« пнт«.') раке )-к «В Стропи о)«««асти икте)РиРона««««к 6 но пРсделам ннтегрирона)ак: «р) (у) — —. — аг! —.у', «)а(у) -= ! — у, у=-е, у-:.-! )Р«)с. Оз). клерку область 6 огранке»иа криков — прн — ! с~к~о« ! — х прн О<к:;), а снизу — примой у=о. Поглому имеем ) «-ч ~ бу ~ )' (х„у) «)у== о ) ) « ) )-х = ) пх ) )(к, у)ну+)(х ~ г(к, у)ду. )~ — ) «) о 8.1.
Польз)ись определением двойного интеграла доказать саедуи)в«ие е)о свойства) (! «) линейностьа Б(Их,'У) а(х, д))5х (У=- ='- ~~ ~(х, у) с!хдд+(( д(х, у)с(худ ~ ~ Ч (х, у) 22х с)у х=- Х ) ~ ) (х, у) с(х УУ (5 ~ ~); б) алдитнвностсс если 6 —.6, 662, то ) ) г (х.
У) ссуду =- ~ ~ Г (х, У) ссхссд+ ) ( Г (х, у)ссхс(д. Вычисли ~ ь псувтс3(н!ыс* интегралы: 2 хУ3 8.2. ~ Лх ', (ха+ д) Уу. 8-5. ( Их Ъ 'с 8.4. ~ Уд ~ - — "—;-,-. 2 хд2 а С! аах т2 л 2 2ааху 8.5. ~ Усз ~ ГУГ. 8.6. ') С1со ~ ГУС( . О а аа -ау О Длуу данных повторных пса сгралов написать уравнения кривых, с2гранпчива;осинх области интегрусрования, и построить эиу области: ау 1 1 2-х' 8.7. ~ дх ~ )(х, д)ду. 8,8. ( дх ~ )(х, д)с(у. хх 2 2 1-ух ! 2'2-хх 8.9. ~дд ) )(х, д)дх. 8.!О, ) ссх ~ )(х, у)с(у.
о 2-2 о Йля указанных киже областей 6 записать двойной интеграл ) ~ Г'(х, у)с(хау в виде повторных, взятых в различных порядках: 8.!1. 6 — прямоугольник с верпсинамус А (1, 2), В(5, 2), С(5, 4)„)ОУ(1, 4). 8,12. 6 — параллелограмм, огракнченный прямыми у=х, у=х — 5, У=2, У=-4. !х 8ЛЗ.
6 — областьу ограниченная кривыми х'+у' 2а'-, :и ху =ау(а > О, у > О), 8.И. 6 — -область, ограпусченная кривыми у' ох„ ;;:,':::зхх.+Ух:=-2кх, у== О (а > О„д > О) ,:,:!:: ";,: 8.15, 6 — область, ограниченная кривымн Хс+ уа ох, 2,"+у' — -2пх, У вЂ” О (а > О, у > О) 8Л6, По какой переменной взят внегляий интеграл и' повторном инсеграле 2 х' Г(х, д) саудх х и какова обласгь ипуегрировапияу Изменить порядок уистегрирсаванпя в следуюгпих повторных интегралах: 8.17.
~ ссх ~ ((х, у) Ьь -3- У 12 у Ух-х~ 2 2 — у а с ~ь-з 8.!8. ( й~ ~ )(х, у)с(х. 8.19. ~ с!х ~ )(х, д)с(у. у"-1 В ах —. ° с 3 8.20. ) с(у ( )(х, д) с(х 1- ) с~д ) ((х, у)с(х, ух 2 ВЬ3 2 8.21. ) Ух ( )(х, у)с(дзх ~ сат ~ )(х, д)Й!. а Уа'-х" 8.22.
~ дх ) )(х, д)лу. 8.25. ~ Уу ~ )(х, У)дх, С уах-.о 3У 2 т 3 ~О-х 8.24. ( с!х ) )(х, д)с(у У ~ Ух ~ ((х, у)с~у. 8.25. Показа2ж, что ( с(х( ) (х, у) бу = г) ау г) ((х, у) с(х, О О и, пользуясь этой-формулой, дсжазать формулу Дирихлй ) с(х ') ((у) ау=-) (! — У)1(д) с(д. О 0 О Вынь(слить следукицне интегралы: 8.29, 3) (х'+ уз)«(х«/у, где область 6 ограничена кривымн у=-х, х+у=2а, х=-О. 8.27. ~~ )' ху — у'«/ха/у, где 6 — трапеция с верн«ивами Л (1. 1), В(5, 1), С(10, 2), /У(2„2).
6.28. ) *) »д«(х«/д, гйе облас~ь 6 ограничена кривыми + у == 2, тсз + уз =- 2у (» > О). 6.29, 1) у «(х «(1«, где С вЂ” треугольник с нер«паиззми 0(О, 0), А(1, 1), В(0, 1). 8.30. ~ ~ (х,'- 2д) ах«/д, где область 6 ограничена кривыии д.=-х' и у--. )«х. 8.31. ) ~ (4 — д)о«х«(у, где область С ограничена кривыми Ф вЂ” --4у, у=.1, =0 (»' 0). ггхдкау 8.32. ) 1 —;,—,—,, где область 6 ограничена крввымп ,), кт+ уз ' д = х!6 х, д — -- х, х = л«8 (х ~ ~л/8). 833. () )«Из-"~~«/х«/д, где область 6 ограничена кри~ымн у'--х*=а', х=а, х= — О, у=-0 (у> О, а> О).
8.34. Цез«а«(хо«д, где область'6 ограничена крнвымв у==-ез, х -О, у=2. 8.33'. ~~ а,"д«(х«/д„где область 6 лежит в первой четверти, ограничена осями координат и дугой эллипса д=--асов/, у=уз( / (О==/:ал/2). 6,36. ) ) х«(х«(д, где область 6 ограничена осью Ох и аркой цнклоидых=-а(/ — з)п/), д-.=а(1--сов/)(О .
/т .2л), 6.37. ) ) д«(х«/д«, где область 6 ограничена осями коордвват и дугой зстровдых==-асов'(, д=-аз(па/(0~1 л/2). 8.38". Найти среднее значение функции /(», у) .—. созе х соз- 'у в области 6 =- ((х, у) ) 0:„х ~ л/2, 0 ~ д а-.. ==. л,2). Н 6.39а. Одев««ть величину интеграла «(х «ту Д О ( воз к ';-вил(к Ф у) ' 1з(ь(З1 < а 9.40. Найти среднее значение фу««киви /(х, у) -3»+29 и- треугольнвке с вергпввамк 0(0, 0), А (1.
О), В(0, 1). 2. Звмева веременнмк в двойном вите«разе. Г(усть Ф,нкккк к--«р(и, г) к у--. Ф(й, «) (9 осу«згестеля«от калнина «ояозяачвое ненрерыкжз днф(срейвнртем е отображение обласзн Г влоскостн 6'й«на область 6 влоойстн оку. зто оэн ает, " сз ге уст сбр а- рср .- д ФФ (сна ру«'. мае отображение и В(к, у) н «.=-2(к, у) области 6 на область Г к,в блж Г ..: «;ну. ба .Р.бр уч рч ((й, «)-- ., ~ФВ (и, «е Г. а««':. Вел««овны к к й можно рассматривать как врямоугольные координаты для точек оболов«Г к в то же время как к р н а ел к кейны с койра««ната«то ~си областк 6. Если в двойном нате«раде ') ~ /(к, и) «(зад "о орокавестк эаисну н«рсиснкыз о«Ф«рму«ам (3), то овла«тыо моте«варева«и«я йолучеевого ж«те«вала будет уже «алас«а Г, коз«ргя йрк кадлежлй«ез«выборе Функвнй ч (и„с) к Ф(и, «) может ~ казаться авачйтельво и(кайс обчас«к 6, и нисе« м~ст~ 4«Фйула ~ г(к, и) дк 'у = ~ ~ /(«Г (й, «)„Ф (и, «П ,', /(и, «/( аи «Ь о г Для вычисления нитеграла ао «В" асти Г ««ркз«ен«ноток наложенные а в, ( сколы сасзсивя двойкой«кнтегралэ к йово«рньзи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
